曹元元， 左可正， 熊 瑤

(湖北師范大學 數學與統(tǒng)計學院， 湖北 黃石 435002)

矩陣的兩個冪等矩陣組合的可逆性

曹元元， 左可正*， 熊 瑤

(湖北師范大學 數學與統(tǒng)計學院， 湖北 黃石 435002)

利用冪等矩陣的性質及兩個冪等矩陣的和與差的可逆性，研究了兩個冪等矩陣P，Q在條件(PQ)2=PQ下，它們的組合T=aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP+fQPQ+g(QP)2，(a，b，c，d，e，f，g∈，ab≠0)的可逆性，并給出它的求逆公式．

冪等矩陣; 可逆性; 組合

冪等矩陣及冪等算子在線性代數與算子代數中是很重要的研究對象.1990年，武培元在文獻[1]中證明了每個復數域上的無限維希爾伯特空間上的有界線性算子是不超過五個冪等算子的線性組合.2004年，Rabanovic在文獻[2]中證明了特征為零的域上任意一個矩陣都可以表示成三個冪等矩陣的線性組合，可見冪等矩陣及冪等算子對于其它矩陣及其他算子的研究起著重要的作用．

近年來，國內外很多學者對各種特殊矩陣的組合及組合的相關性質進行了廣泛和深入的研究，并得到了一些很好的結果，而這些結果都是將其應用到實際的重要前提.如在文獻[3]和文獻[4]中，Gro和Trenkler，Koliha等研究了兩個冪等矩陣的和與差的可逆性問題.在文獻[5]中，Baksalary和Baksalary給出了兩個冪等矩陣的線性組合仍是冪等矩陣的完全分類.在文獻[6]中，Baksalary和Baksalary給出了兩個冪等矩陣線性組合的可逆性與組合系數的關系.在文獻[7]中，杜鴻科、姚喜研和鄧春源討論了希爾伯特空間上兩個冪等算子組合的可逆性與組合系數的關系.在文獻[8]和文獻[9]中，Koliha和Rakocevic、左可正研究了兩個冪等矩陣的線性組合aP+bQ及兩個冪等矩陣的組合aP+bQ-cPQ(其中P，Q是兩個n階冪等矩陣，a，b，c均為復數，且ab≠0)的可逆性問題.在文獻[10]中，左可正得出了幾個冪等元之差可逆的充要條件.在文獻[11]中，左可正和謝濤研究了兩個冪等算子組合aP+bQ-cPQ-dQP-ePQP(其中P，Q是兩個n階冪等矩陣，a，b，c，d，e均為復數，且ab≠0)的可逆的充要條件.在文獻[12]和[13]中，Koliha和Rakocevic研究了不同冪等矩陣組合的可逆性．

本文將進一步研究兩個冪等矩陣P，Q在條件(PQ)2=PQ下，它們的組合T=aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP+fQPQ+g(QP)2，(a，b，c，d，e，f，g∈，ab≠0)的可逆性，并給出它的求逆公式．

(a，b，c∈，ab≠0)且:

1)當a+b+c=0時，aP+bQ+cPQ可逆當且僅當P-Q可逆;

2)當a+b+c≠0時，aP+bQ+cPQ可逆當且僅當P+Q可逆．

1 T=aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP+fQPQ+g(QP)2的可逆性

本節(jié)給出T=aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP+fQPQ+g(QP)2(a，b，c，d，e，f，g∈，ab≠0)的可逆性的充要條件，我們要分a+b+c+d+e+f+g=0與a+b+c+d+e+f+g≠0兩種情況來討論．

證明必要性.當T可逆時，對?α∈N(P-Q)有Pα=Qα，從而

Tα=(aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP+

fQPQ+g(QP)2)α=

(a+b+c+d+e+f+g)Pα=0，

由T可逆得出α=0，從而可得P-Q可逆．

充分性.當P-Q可逆時，對?α∈N(T)有Tα=0，即

Tα=(aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP+

fQPQ+g(QP)2)α=0，

(1)

將(1)左乘P，并注意到(PQ)2=PQ可得

(aP+bPQ+cPQ+fPQ+dPQP+

ePQP+gPQP)α=0.

(2)

將(1)左乘PQ，可得

(aPQP+bPQ+cPQ+dPQP+ePQP+

fPQ+gPQP)α=0.

(3)

組合(2)式和(3)式，并注意a≠0，得

Pα=PQPα.

(4)

將(1)左乘Q，并利用(4)式計算可得

(aQP+bQ+cQPQ+dQP+eQP+

fQPQ+gQP)α=0.

(5)

將(2)左乘QP，并利用(4)式計算可得

(aQP+bQPQ+cQPQ+dQP+eQP+

fQPQ+gQP)α=0.

(6)

組合(5)式和(6)式，可得出

Qα=QPQα.

(7)

由(4)式和(7)式可得出

(P-Q)3α=(P-PQP-Q+QPQ)α=0，

這樣由P-Q可逆知α=0，從而得出T可逆.

證明充分性.當P+Q可逆時，對?α∈N(T)有Tα=0，類似于定理1中充分性證明的推導可得出

Pα=PQPα，Qα=QPQα.

(8)

那么

(P+Q)3α=(P+2PQ+PQP+Q+2QP+

QPQ)α=2(P+Q)2α.

(9)

這樣由P+Q可逆及(8)式可得出

(P+Q)α=2α.

(10)

將 (10)式分別左乘P和Q可得出

Pα=PQα，Qα=QPα.

(11)

由Tα=0及(8)、(11)式可得

Tα=(a+c+e)Pα+(b+d+f+g)Qα=0.

(12)

將(12)式分別左乘P和Q可得

(a+b+c+d+e+f+g)Pα=0，

(a+b+c+d+e+f+g)Qα=0，

這樣由a+b+c+d+e+f+g≠0可得Pα=Qα=0，(P+Q)α=0，而P+Q可逆，所以α=0，從而得T可逆．

必要性.當T可逆時，對a，b，c，d，e，f，g作如下分類來證明P+Q可逆：

情形1當b+c+f=0時，對?α∈N(P+Q-PQ)，有(P+Q-PQ)α=0，左乘P得出Pα=0，PQα=Qα，此時Tα=(b+c+f)Qα=0.所以由T可逆知α=0，從而P+Q-PQ可逆，由引理2得出P+Q可逆．

情形2當a+d+e+g=0時，對?α∈N(P+Q-QP)，則(P+Q-QP)α=0，左乘Q得出Qα=0，QPα=Pα，此時Tα=(a+d+e+g)Pα=0.因為T可逆，所以α=0，從而知P+Q-QP可逆，由引理2得出P+Q可逆．

①a+b+c+d+f≠0時，T可逆當且僅當P+Q可逆;

②a+b+c+d+f=0時，T可逆當且僅當P-Q可逆．

①a+b+c+d+f≠0時，T可逆當且僅當P+Q可逆;

②a+b+c+d+f=0時，T可逆當且僅當P-Q可逆．

①a+b+c+d+f≠0時，T可逆當且僅當P+Q可逆;

②a+b+c+d+f=0時，T可逆當且僅當P-Q可逆.

其中，定理1和定理2推廣了Koliha和Rakocevic在文獻[8]以及左可正在文獻[9]、[11]和[14]中的結論．

2 T=aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP+fQPQ+g(QP)2的逆的表達式

本節(jié)給出在P-Q可逆與P+Q可逆的條件下T的逆的表達式．

證明因為P-Q可逆，所以由引理1知P+Q可逆，這樣由定理1和定理2知，T總是可逆的.因為P-Q可逆，所以由引理1知I-PQ也是可逆的，從而由(PQ)2=PQ得出PQ=0，此時T=aP+bQ+dQP，下面來計算T-1．

P=U(Ir⊕0)U-1，

(13)

其中r=r(P).令

(14)

其中Q1∈r×r，Q2∈r×(n-r)，Q3∈(n-r)×r，Q4∈(n-r)×(n-r)．

由PQ=0，通過(13)式和(14)式計算可得出Q1=0，Q2=0．

(15)

由(3.1)式和(3.3)式計算可得出

P+Q-QP=I.

(16)

由(13)、(15)結合(16)式，并注意到PQ=0，所以有

(17)

通過(17)式可計算出

證明因為T可逆，所以由定理2知P+Q可逆，通過簡單的計算可得出下式:

(18)

因為P+Q可逆，這樣由(18)式得出

(19)

對(19)式分別左乘P和右乘Q可得出

PQ=PQP，PQ=QPQ，

(20)

從而

(QP)2=PQP=PQ，

(21)

組合(19)式和(21)式可得

P+Q-QP=I，

(22)

下面通過矩陣分塊來計算T-1．

由(22)式結合(13)、(14)式可得出

Q2=0，Q4=In-r，

(23)

(24)

由(24)式對Q1，Q3作進一步的分塊可得

Q1=L(Ir1⊕0)L-1，Q3L=(0，Y)，

(25)

其中Y∈(n-r)×(n-r)，L是一個r級可逆陣．

(26)

組合(20)式、(21)式和(26)式可得出

(27)

通過(27)式可計算出

3 實例計算

[1] WU P Y. Sums of idempotent matrices[J]. Linear Algebra Appl， 1990，142(142): 43-54．

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Invertibilityofthecombinationoftwoidempotentmatriceswhichproductsisidempotentmatrix

CAO Yuanyuan， ZUO Kezheng， XIONG Yao

(Department of Mathematics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002)

By using the nonsingularity of difference and sum of two idempotent matricesP、Q，we study the invertibility of the combinationT=aP+bQ+cPQ+dQP+ePQP+fQPQ+g(PQ)2，(a，b，c，d，e，f，g∈，ab≠0)under the condition of(PQ)2=PQ. Furthermore， the expression of its inverse is provided in this paper．

idempotent matrix; invertibility; combination

O151.2

A

2017-02-27.

國家自然科學基金項目(11271105); 湖北省教育廳重點項目(D20122202)．

*通訊聯系人. E-mail: xiangzuo28@163.com.

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.05.001

1000-1190(2017)05-0569-05