胡意榮

廣東省新興縣第一中學(xué) (527400)

用洛必達(dá)法則巧解函數(shù)含參問(wèn)題

胡意榮

廣東省新興縣第一中學(xué) (527400)

法則一：設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足：

(2)在U°(a)內(nèi)，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；

法則二：設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足下列條件：

(2)在U°(a)內(nèi)，f′(x)和g′(x)都存在，且g′(x)≠0；

例1 (2016年全國(guó)新課標(biāo)卷2文科第20題)已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).

(Ⅰ)當(dāng)a=4時(shí)，求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f(x)>0，求a的取值范圍.

(1)當(dāng)a≤2，x∈(1,+∞)時(shí)，x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0，故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，因此g(x)>0；

(2)當(dāng)a>2時(shí)，令g′(x)=0得

綜上，a的取值范圍是(-∞,2].

綜上，a的取值范圍是(-∞,2].

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)比上述兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)，解法一用的是分類(lèi)討論的方法，分類(lèi)時(shí)要注意不重不漏，還要簡(jiǎn)潔，對(duì)解題者的要求較高；而解法二用的是分離參數(shù)法，通過(guò)分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)，最后用洛必達(dá)法則求極限值，思路清晰，避免了分類(lèi)討論的麻煩，可以看出洛必達(dá)法則在解決此類(lèi)問(wèn)題的優(yōu)越性.

例2 已知函數(shù)f(x)=

圖1

能利用洛必達(dá)法則求解參數(shù)取值范圍的試題還有很多，這類(lèi)試題也是近些年來(lái)高考中的熱點(diǎn).下面給出同類(lèi)型的幾道試題，供讀者練習(xí).

1.(2016年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ文科第21題)

已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

2.(2013年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ理科第21題)

已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過(guò)點(diǎn)P(0，2)，且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.

(Ⅰ)求a，b，c，d的值；

(Ⅱ)若x≥-2時(shí)，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

3.(2011年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ理科第21題)

(Ⅰ)求a、b的值；

通過(guò)上述這些試題，不難看出，在函數(shù)問(wèn)題中求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，如果能夠分離出參數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，這時(shí)就可以利用導(dǎo)數(shù)求解所構(gòu)造函數(shù)的最值，如果最值不存在，只有極限值，那么此時(shí)往往可以用到洛必達(dá)法則來(lái)求解，從而避開(kāi)分類(lèi)討論的麻煩，達(dá)到提高解題效率的目的.