丁勝鋒

廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué) (527300)

丁勝鋒

廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué) (527300)

這是一道比較簡(jiǎn)單的不等式的證明，教材的意圖是想通過(guò)這道題目來(lái)說(shuō)明直接證明不容易，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，尋求成立的充分條件，從而讓學(xué)生掌握分析法證明的基本思想和操作方法.我們很多老師在實(shí)際教學(xué)中也就是按照課本上的方式處理問(wèn)題，然而，學(xué)生或多或少會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)，這道題除了分析方法外，難道就沒(méi)有其它的方法？筆者從函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)證明不等式問(wèn)題.

圖1

我們?nèi)1=3,x2=7，也得到不等式的證明.

例若a,b∈R,且e

根據(jù)上述結(jié)論，我們可得到如下結(jié)論：

上述結(jié)論都是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)來(lái)解決不等式的問(wèn)題，但如何恰當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)，這需要根據(jù)題目本身的結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造，有時(shí)候我只需根據(jù)題目的原型結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造，有時(shí)候需要適當(dāng)?shù)淖冃?，但具體選擇那種方式來(lái)構(gòu)造，這需要根據(jù)題目本身來(lái)決定.下面我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)多角度的說(shuō)明怎樣構(gòu)造函數(shù).

(1)求a,b值；(2)證明：f(x)>1.

試題分析：試題(1)問(wèn)不難，主要是考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在一點(diǎn)處的切線方程，只要學(xué)生對(duì)切線概念充分理解并能準(zhǔn)確求導(dǎo)，即可解決第(1)問(wèn).但第(2)問(wèn)中函數(shù)不等式對(duì)大多數(shù)學(xué)生設(shè)置了門檻，這個(gè)門檻主要是導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)不好求，因此需要對(duì)函數(shù)不等式做適當(dāng)?shù)淖冃魏笤贅?gòu)造函數(shù)來(lái)處理.

e-lnx≥e(-lnx)③,當(dāng)且僅當(dāng)-lnx=1時(shí)等號(hào)成立.

(1)若g(x)與f(x)在同一點(diǎn)處有相同的極值，求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若對(duì)一切x∈(0,+∞)，有不等式f(x)≥2xg(x)-x2+5x-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

因此關(guān)于不等式還是函數(shù)不等式的證明，我們可以通過(guò)題目本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)來(lái)構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)研究函數(shù)性質(zhì)來(lái)加以證明.為我們提供了解決不等式的一個(gè)有力工具.但我們?cè)跇?gòu)造函數(shù)時(shí)，又會(huì)出現(xiàn)構(gòu)造的函數(shù)“好”“壞”直接影響解題成敗，一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)盡可能的構(gòu)造較為簡(jiǎn)捷且很容易求出導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)，要做到這一點(diǎn)，需要我們熟悉初等函數(shù)之間的組合.

[1]吳振奎.中學(xué)數(shù)學(xué)證明方法[M].遼寧人民出版社，1985.

[2]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社，2010.

[3]王健.一道課本例題的多視角探究.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016，8.