王宗強, 吳燕生, 張 兵, 常曉華

（1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2. 中國航天科技集團公司，北京，100048）

被動段擾動引力對閉路制導的影響及補償方法研究

王宗強1, 吳燕生2, 張 兵1, 常曉華1

（1. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076；2. 中國航天科技集團公司，北京，100048）

針對被動段擾動引力對彈道式飛行器落點精度的影響問題，提出閉路制導對被動段擾動引力的實時補償方法。建立動坐標系下自由段運動模型，導出由被動段攝動量計算落點位置的計算公式；分析擾動引力對閉路制導精度的影響機理，得出被動段擾動引力對閉路制導的影響僅與關機點位置相關的結論；進一步利用均勻設計理論，將被動段攝動量擬合為關機點位置偏差的函數(shù)，提出將攝動量作為擾動引力修正項引入閉路制導回路的實時補償方法。仿真結果表明：驗證補償后落點偏差小于5 m，滿足制導精度要求。

擾動引力；被動段；閉路制導；均勻設計；補償方法

0 引 言

彈道式飛行器廣泛采用閉路制導方法，利用需要速度的概念將飛行器當前位置和目標位置聯(lián)系起來。需要速度指若飛行器在當前位置處關機，經(jīng)被動段飛行后到達目標點應具有的速度[1]。在正常引力場作用下，以需要速度關機后飛行器將準確到達目標，但實際被動段飛行過程中飛行器受到擾動引力的影響，必然會造成落點偏差。由于彈道式飛行器的被動段飛行僅受引力與再入氣動的作用，無主動控制力，若要提高考慮擾動引力時的精度，可在主動段需要速度計算中引入擾動引力補償項進行補償[2]。

針對被動段飛行特性，一些文獻研究了球諧函數(shù)法計算被動段擾動引力的合理截斷階數(shù)，對遠程彈道式飛行器受被動段擾動引力影響下的落點偏差進行了定量分析[3，4]。但以上研究都是在發(fā)射系下建立自由段運動方程，難以剖析擾動引力對被動段運動的影響機理。鄭偉等對考慮擾動引力場時的顯式制導方法進行初步探討，提出結合球諧函數(shù)換極法[5]對擾動引力的影響進行實時補償?shù)姆桨竅2]，但計算速度仍然難以滿足實時計算的需要[6]。

本文不考慮再入氣動的影響，研究被動段擾動引力對閉路制導的影響機理，提出相應補償方法：a）在動坐標系下建立自由段運動模型，將自由段受攝動項影響的位置偏差分解為射程角偏差、飛行時間偏差及側向角偏差3個攝動量，導出由攝動量計算落點經(jīng)緯度的公式；b）分析被動段擾動引力對閉路制導的影響，得出與擾動引力影響直接相關的為閉路制導關機點位置的結論；c）根據(jù)均勻設計理論，將擾動引力對攝動量的影響擬合為關機點位置偏差的函數(shù)，給出預測擾動引力引起落點偏差的方法；d）將攝動量作為擾動引力修正項引入虛擬目標求解中，實現(xiàn)對擾動引力的實時補償，并通過仿真驗證補償效果滿足制導精度要求。

1 數(shù)學模型

1.1 自由段運動模型

定義動坐標系如圖1所示。

圖1中，由自由飛行起始點K處的 rK與 vKA構成的平面稱為標準軌道面，在攝動力作用下飛行器將偏離標準軌道面。O與 P1重合，r軸在標準軌道面內(nèi)由地心OE指向O； 軸在標準軌道面內(nèi)且垂直于r軸；z軸垂直于標準軌道面，與r軸、β軸構成右手系。飛行器在任一點P處的地心矢徑 rP可寫成兩個分量r和z的和，即：

式中re，βe，ze為動坐標系中沿坐標軸方向的單位矢量，進一步可將飛行器自由飛行運動分解為在標準軌道面內(nèi)的分運動和垂直于標準軌道面的分運動。

根據(jù)理論力學知識，經(jīng)過推導可以得到在動坐標系下以射程角 為自變量的運動微分方程組[7]：

式中 為地球引力常數(shù)； 為側向角偏差，且η= a rctan(z r)； Vr為徑向速度；Vβ為周向速度； Vz為側向速度；t為飛行時間；δar，δaβ，δaz分別為攝動加速度在動坐標系的分量。

由式（2）可得自由段運動給定地心距處的運動狀態(tài)。與標準橢圓軌道相比，得到與落點位置計算有關的3個攝動量：射程角偏差βΔ、飛行時間偏差tΔ及側向角偏差 。

1.2 落點經(jīng)緯度計算

假設在旋轉地球上有一與地球表面重合但不隨地球旋轉的慣性球殼，如圖2所示，橢圓彈道在慣性球殼上的落點為 TA。已知關機點處地心緯度為φ，橢圓彈道在K′K點的方位角為射程角為 ，飛行時間為慣性球殼上實際落點為 CA，地心緯度為φc，對應攝動量偏差為Δβ，Δt， 。

橢圓彈道與實際彈道間的方位角差為AαΔ，由球面三角公式可得：

則，實際軌道在K′處的方位角為

K′CA為實際軌道射程角，記為β*，

則，

由上述公式可得到實際落點緯度φc及落點與關機點絕對經(jīng)差，則相對經(jīng)差為

式中eω為地球自轉角速度。

1.3 需要速度迭代計算

根據(jù)定義，需要速度實際上是要求根據(jù)實際目標位置實時考慮各種攝動因素求取的。為簡化需要速度計算提出虛擬目標的概念，以虛擬目標為邊界條件，給定關機點速度傾角約束，按照橢圓軌道理論計算得到需要速度[8]，以此速度關機經(jīng)被動段飛行后恰好到達實際目標，虛擬目標按照文獻[9]的方法確定。

2 擾動引力對制導精度的影響分析

不考慮擾動引力時，采用閉路制導方法可以獲得滿足精度要求的需要速度，但實際飛行中，由于擾動引力的存在，必然會使落點偏離目標點，造成落點偏差。采用球諧函數(shù)法[10]可得到飛行器所受擾動引力在北天東坐標系下的投影：

由坐標轉換關系可得擾動引力在動坐標系下分量為

將擾動引力項并入攝動加速度中，可以得到擾動引力引起的位置攝動量，進而計算出落點偏差。被動段擾動引力對精度的影響分析如圖 3所示。擾動引力對落點偏差的影響與關機點的位置和速度有關，而按照閉路制導的要求，關機點的速度應該等于該點需要速度，而且當目標位置給定后，飛行過程中任一點的需要速度僅與該點的位置有關，因此對于采用閉路制導方法的彈道式飛行器而言，被動段擾動引力的影響僅由關機點位置決定。

對于標準彈道而言，只需針對標準關機點位置進行一次計算即可得到擾動引力對攝動量的影響。但實際飛行中，由于各種干擾因素的影響，飛行器的實際關機位置與標準關機點有一定的偏差，導致擾動引力作用下的攝動量發(fā)生變化，若仍以標準關機點位置下的攝動量計算，則對落點位置的預測值將產(chǎn)生偏差。

若在飛行過程中計算被動段擾動引力，實時計算量過大。本文采用均勻設計方法建模，將擾動引力引起的攝動量擬合為關機點位置偏差的函數(shù)，事先裝訂到飛行器上，利用該擬合函數(shù)在飛行過程中實時計算攝動量，無需實時計算被動段擾動引力，可滿足計算快速性的要求。

3 均勻試驗設計在落點偏差預測中的應用

3.1 方法

均勻設計方法是一種考慮試驗點在試驗范圍內(nèi)均勻散布的試驗設計方法，其數(shù)學原理是數(shù)論中的一致分布理論[11]。針對本文研究內(nèi)容，均勻設計步驟為：a）確定影響因素及水平；b）選擇均勻設計表，制作試驗方案表；c) 利用仿真程序計算攝動量；d）試驗結果統(tǒng)計分析，求攝動量的最優(yōu)預報公式。

3.2 仿真試驗條件

通過第 2節(jié)的分析可知，閉路制導中與被動段擾動引力的影響相關的因素為關機點位置偏差，令xi(i =1, 2, 3)為x，y，z方向的位置偏差。各因素取值范圍取為：

x方向偏差 ΔxK：-50 km ≤ x1≤ 50 km；

y方向偏差 ΔyK：-40 km ≤ x2≤ 40 km；

z方向偏差 ΔzK：-10 km ≤ x3≤ 10 km；

水平數(shù)統(tǒng)一取為11。選定均勻設計表U11(113)，如表1所示。按照表1進行11次不同條件下的仿真計算，得到擾動引力引起的攝動量Δβδ，Δtδ和ηδ如表2所示。

表1 U11(113)均勻設計表

表2 均勻設計仿真結果

3.3 試驗結果回歸分析

為了得到影響因素對于攝動量影響的數(shù)學關系式，還需利用回歸分析方法進行數(shù)據(jù)處理。本文按照二次多元逐步回歸模型來篩選變量，取Fin= Fout= 2，F(xiàn)檢驗顯著性水平為0.01。以Δβδ為例，得到回歸方程為

回歸分析結果如表3所示，全相關系數(shù)R2= 1.00，殘差標準差s = 0.0013，查表可知F0.01(6, 4) = 15.2，滿足F ＞ Fα(s, n-s-1)，因此回歸方程十分顯著。

表3 方差分析表

同理可得到Δtδ與ηδ的回歸方程：

得到關于攝動量的 3個回歸方程后，為評估回歸模型精度，針對幾個典型偏差條件對落點偏差進行預測，與實際落點偏差的比較如表4所示。由表4可知，關機點偏差在預定范圍內(nèi)時落點偏差預測精度優(yōu)于0.3 m，由均勻試驗設計方法得到的回歸模型精度較高，回歸模型可信。

表4 落點偏差預測值與實際值比較

4 閉路制導中對擾動引力的補償

4.1 考慮擾動引力時虛擬目標的修正

對于采用閉路制導方法的彈道式飛行器，可對虛擬目標進行進一步修正，以補償被動段擾動引力的影響。將擾動引力引起的射程角偏差、飛行時間偏差與側向角偏差以補償項的形式引入實時落點預測及虛擬目標計算，進而得到考慮被動段擾動引力作用下的需要速度，實現(xiàn)對擾動引力的補償。為評估該方案對擾動引力的補償效果，先通過迭代得到考慮地球扁率的需要速度，再對擾動引力的影響進行一次補償，此時的落點偏差即為對擾動引力的補償精度。假設某時刻tK，飛行器位置參數(shù)為，實時計算需要速度的步驟如下：

a）以實際目標點(或裝訂數(shù)值)為虛擬目標點，計算需要速度R；

c）由當前位置與標準點位置的差計算擾動引力引起攝動量δβΔ,tδΔ,δη；

d）預測被動段擾動引力作用下的實時落點位置，對虛擬目標點進行一次修正；

e）根據(jù)修正后的虛擬目標計算需要速度Rv。

4.2 補償效果仿真分析

對于航程大于10 000 km的彈道式飛行器，當關機點無位置偏差時，按照上述補償步驟，得到 3個需要速度，如表5所示。Rxv,Ryv,Rzv為需要速度在3個方向的分量，補償后落點縱向偏差為2.54 m，橫向偏差為4.32 m，補償殘差約占擾動引力影響的1%，滿足制導精度要求。

表5 3個狀態(tài)下的需要速度

針對關機點出現(xiàn)位置偏差的情況，對補償方法做有效性分析。將關機點位置偏差在預定范圍內(nèi)進行隨機選取并進行500次模擬打靶，圖4給出了補償后的落點偏差。對仿真數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，補償后的縱向偏差LΔ均值為2.54 m，標準差為0.015，橫向偏差HΔ均值為4.32 m，標準差為0.051，對擾動引力進行實時補償?shù)姆椒ㄕ`差小于5 m。且該方法只需利用擬合函數(shù)即可對擾動引力進行實時補償，滿足實時計算的需要。

實際飛行中，可能會出現(xiàn)關機點位置偏差超出第3.2節(jié)中選定范圍的情況，進一步對本文提出的補償方法做適應性分析。圖5給出兩個位置偏差都為范圍內(nèi)極大值時，第 3個位置偏差對補償方法殘差的影響。由圖5可以看出，即使關機點位置偏差超出預定范圍2倍，補償精度仍可控制在米級，說明該補償方法具有較強的適應性。

5 結 論

針對被動段擾動引力對閉路制導影響問題，分析了擾動引力對閉路制導過程的影響機理，得出關機點位置與擾動引力的影響直接相關這一結論，在此基礎上提出一種在閉路制導中對擾動引力進行實時補償?shù)姆桨?。采用均勻設計及回歸分析理論，將被動段擾動引力引起的攝動量擬合為關機點位置偏差的函數(shù)，并將攝動量作為擾動引力修正項引入閉路制導回路。仿真結果表明，對于航程大于10 000 km的彈道式飛行器，在引入被動段擾動引力補償項后，實時修正的方法誤差小于5 m，滿足彈道式飛行器的制導精度要求。

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Research on Compensation Method to Gravity Anomaly in Passive Ballistic Curve on Closed Loop Guidance

Wang Zong-qiang1, Wu Yan-sheng2, Zhang Bing1, Chang Xiao-hua1
(1. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing, 100076; 2. China Aerospace Science and Technology, Beijing, 100048)

For the problem that the impact of point deviation is influenced by the gravity anomaly in passive phase of the ballistic vehicle, a real-time compensation method in the process of closed loop guidance are proposed in this paper. Kinetic equations in free flight phase are formed. And equations to calculate the impact point by perturbations are derived. Research on how the gravity anomaly influences the hit precession is carried on, through which the factors related to the gravity anomaly are fetched. A polynomial function is established through Uniform Design to express the perturbations by position deviations on cutoff point. Then, a real-time compensation method is derived in closed loop guidance to improve the hit precision. Finally, a serious of simulation proves that after compensation, the impact of point deviation is less than 5m, which is sufficient to fulfill the guidance accuracy requirement.

Gravity anomaly; Passive ballistic curve; Closed loop guidance; Uniform design; Compensation method

TJ765.1

A

1004-7182(2017)05-0049-04

10.7654/j.issn.1004-7182.20170512

2016-12-05；

2017-01-12

王宗強（1993-），男，碩士研究生，主要研究方向為飛行器設計