賀勝平

重慶商務(wù)職業(yè)學(xué)院

積分在工程投資回報(bào)中的應(yīng)用

賀勝平

重慶商務(wù)職業(yè)學(xué)院

積分在經(jīng)濟(jì)生活以及實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，而數(shù)學(xué)建模又是把實(shí)際問題化為數(shù)學(xué)命題來解決.本文著重通過數(shù)學(xué)建模的方式，結(jié)合定積分的計(jì)算和微分方程的相關(guān)內(nèi)容介紹其在工程投資回報(bào)中的應(yīng)用.

積分；工程投資回報(bào)；應(yīng)用

當(dāng)大家在開拓某一項(xiàng)目時(shí)，投資回報(bào)題目總要思量的，即在必然的時(shí)期內(nèi)與一定的收益率要預(yù)期到達(dá)某一目標(biāo)，必需投入一定的現(xiàn)值；或在一定的收益率下，投入一定的現(xiàn)值，要達(dá)到某預(yù)期的目標(biāo)，項(xiàng)目的投資回收期等問題。

由于定積分可計(jì)算在某一范圍內(nèi)，已知變化率求總量以及增量的問題。所以下面我們先通過數(shù)學(xué)建模的方式解決工程投資回報(bào)的題目。

一、數(shù)學(xué)建模解決

為了便于對(duì)投資項(xiàng)目有一個(gè)領(lǐng)會(huì)，我們可通過創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)模型，對(duì)這一動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)題目加以分析.

1.模型假設(shè)

(1)假設(shè)項(xiàng)目作持續(xù)復(fù)利計(jì)算，且資金的年利率r相對(duì)穩(wěn)定；

(2)若設(shè)此項(xiàng)目的收益率在t(年)時(shí)是f (t)(萬元)，那么該貼現(xiàn)率就是f (t)e-rt；

(3)項(xiàng)目在投資過程中我們暫時(shí)不思量其他滋擾的成分.

2.模型建立

該項(xiàng)目在時(shí)間[0, T ]內(nèi)的總收益是

3.模型求解

若是收益率f (t)=A(A是常數(shù))，稱此時(shí)是平均收益率，那么總收益的現(xiàn)值是

假設(shè)期初的投資額是a，那么此投資的純收益貼現(xiàn)值是

4.模型應(yīng)用

(1)假設(shè)連續(xù)3年的年貼現(xiàn)率是5%，且收益率固定保持在200(萬元/年)，那么它的現(xiàn)值又幾何？

由公式得

其現(xiàn)值是557.2萬元.

(2)如果此項(xiàng)工程投資800萬元，年利率為5%，且10年內(nèi)的均勻收益率是200(萬元/年)，求投資回收期與投資所得的純收益分別是多少？

由公式得

因而投資所得純收益是

投資回收期是

所以可得，在10年中該投資可得的純利潤為1728.5萬元，4.46年即為投資回收期.

二、積分計(jì)算解決

對(duì)于下列殘值、增量以及總量等涉及經(jīng)濟(jì)問題，我們還可直接通過積分計(jì)算來解決.

案例1、要是某一條小河已被污染得比較嚴(yán)重，且現(xiàn)擁有V(單位：km3)庫存量.經(jīng)測(cè)量，現(xiàn)在的污染物總量已到Q0(單位：噸)，且污染物平均地分部在水里.假設(shè)現(xiàn)已不再向小河排污，凈水以不變的速率r (單位：km3/年)流入小河，并立即和小河的水相混合，小河的水也以相同的速率r流出.如果起初的時(shí)刻是t=0.

(1)求當(dāng)在時(shí)刻t時(shí)，小河中殘留污染物的數(shù)量Q(t).

(2)若要使小河中污染物的數(shù)目回到起初的10%，還得經(jīng)過幾年.

解 (1)由題意可得，當(dāng)時(shí)間t(t ≥ 0)，Q(t)的變化率＝－(污染物的流出速率).

分離變量得

案例2、設(shè)某產(chǎn)品是連續(xù)生產(chǎn)的，總產(chǎn)量Q是時(shí)間t的函數(shù).如果總產(chǎn)量的變化率是(單位：噸/日)，問投入生產(chǎn)后由t=3到t=30此27天的總產(chǎn)量是多少？

解 總產(chǎn)量Q(t)是其變化率Q′(t)的原函數(shù)，所以從t=3到t=30這27天的總產(chǎn)量是