王克美

方差生活秀

王克美

數(shù)學(xué)源于數(shù)學(xué)，生活中處處有數(shù)學(xué).本文通過生活中的一道中考題的解析與變式，探究平均數(shù)與方差解決實(shí)際問題的思路與策略，以幫助同學(xué)們找尋和感悟通過建立數(shù)學(xué)模型解決此類問題的一般思路與方法.

一、從生活中來

為了選拔一名同學(xué)參加某市中學(xué)生射擊競賽，某校對(duì)甲、乙兩名同學(xué)的射擊水平進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果如下：

現(xiàn)要挑選一名射擊手參加比賽，若你是教練，你認(rèn)為挑選哪一位比較適宜？為什么？

【解析】我們先來算一算甲和乙命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)吧：

平均數(shù)一樣，那怎么比較兩人成績的好壞呢？我們來畫折線圖直觀地比較一下.

甲、乙兩人的平均成績相同，但是甲每次的射擊成績都接近平均數(shù)8，而乙每次的射擊成績偏離平均數(shù)較大.在評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性中，我們通常將各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的波動(dòng)程度作為指標(biāo).

直接計(jì)算射擊成績與平均成績偏差的和，發(fā)現(xiàn)它們是一樣的.

甲射擊成績與平均成績的偏差的和（7-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（9-8）=0.

乙射擊成績與平均成績的偏差的和（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=0.

現(xiàn)在我們?cè)儆?jì)算一下甲、乙兩人每次射擊成績與平均成績的偏差的平方和.

甲：（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2=2.

乙：（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=16.

你發(fā)現(xiàn)了甲、乙的區(qū)別了嗎？

上述各偏差的平方和的大小還與什么有關(guān)？

——與射擊次數(shù)有關(guān)！

可用各偏差平方和的平均數(shù)來衡量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，一般地，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的方差，公式為：

特別地：如果方差與標(biāo)準(zhǔn)差為零，說明數(shù)據(jù)都沒有偏差，即每個(gè)數(shù)都一樣.

二、到生活中去

王大伯幾年前承辦了甲、乙兩片荒山，各栽100棵楊梅樹，成活98%，現(xiàn)已掛果，經(jīng)濟(jì)效益初步顯現(xiàn)，為了分析收成情況，他分別從兩山上隨意各采摘了4棵樹上的楊梅，每棵的產(chǎn)量如折線統(tǒng)計(jì)圖所示.

（1）分別計(jì)算甲、乙兩山樣本的平均數(shù)，并估算出甲乙兩山楊梅的產(chǎn)量總和；

（2）試通過計(jì)算說明，哪個(gè)山上的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定？

【解析】（1）因?yàn)榧?、乙兩山的樣本的平均?shù)相等，都為40kg，又由甲、乙兩山各栽100棵楊梅樹，成活率為98%，進(jìn)而得出甲、乙兩山楊梅的產(chǎn)量總和約為2×100×98%×40=7840（kg）；

（2）對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的值進(jìn)行比較，得出乙山的楊梅產(chǎn)量較穩(wěn)定.

三、在生活中深化

某社區(qū)準(zhǔn)備在甲、乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓(xùn)，兩人各射了5箭，他們的總成績（單位：環(huán)）相同，小宇根據(jù)他們的成績繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，并計(jì)算了甲成績的平均數(shù)和方差（見小宇的作業(yè)）.

甲、乙兩人射箭成績統(tǒng)計(jì)表

（1）a=___，x乙=___；

（2）請(qǐng)完成圖中表示乙成績變化情況的折線；

（3）①觀察圖，可看出___的成績比較穩(wěn)定（填“甲”或“乙”）.參照小宇的計(jì)算方法，計(jì)算乙成績的方差，并驗(yàn)證你的判斷.

②請(qǐng)你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰將被選中.

【解析】（1）由題意得：甲的總成績是：9+4+7+4+6=30，

則a=30-7-5-7-7=4，x乙=30÷5=6，

故答案為：4，6.

（2）根據(jù)（1）中所求得出a的值進(jìn)而得出折線圖如圖所示：

②因?yàn)閮扇顺煽兊钠骄剑ㄆ骄鶖?shù)）相同，根據(jù)方差得出乙的成績比甲穩(wěn)定，所以乙將被選中.

（作者單位：江蘇省宿遷市泗洪縣第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

（3）①觀察圖，可看出乙的成績比較穩(wěn)定，故答案為：乙；