廣東省深圳市龍崗區(qū)吉溪初級中學 劉 芝 陳繼廣

淺析初中數(shù)學命題之妙用三角板

廣東省深圳市龍崗區(qū)吉溪初級中學 劉 芝 陳繼廣

義務(wù)教育階段數(shù)學課程標準強調(diào)從學生已有的生活經(jīng)驗和知識出發(fā)，使實際問題抽象成數(shù)學模型來應用。初中數(shù)學在命題中常運用三角板進行問題設(shè)計，利用學生熟悉的日常學習工具來設(shè)計題目。在近幾年的考試中，以三角板作為出題形式非常頻繁，對學生的知識運用能力要求高，本文給出一些啟示。

初中數(shù)學；試題；三角板

三角板作為初中數(shù)學學習中必不可少的學習工具，對于學生而言是熟知之物，圍繞三角板為素材編制數(shù)學問題，使數(shù)學命題更貼近生活，同時，增強了學生將數(shù)學知識能力運用到生活實踐中的意識。以下將結(jié)合教學實踐，從不同角度談?wù)勅前逶跀?shù)學命題中的應用。

一、用三角板構(gòu)造角與角間的關(guān)系

例1 已知一副三角板ABE和ACD。

（1）將兩個三角板如圖1（a）放置，連接BD，求證∠1+∠2=105°；

（2）將圖1（a）的三角板BAE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角α。

圖1

①當α=15°時，AB∥CD，如圖1（b）所示，求證α+∠1+∠2=105°；

②當α=45°時，如圖1（c）所示，求證α+∠1+∠2=105°；

③當B點在直線CD的上方時，如圖1（d）所示，α、∠1、∠2間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？為什么？

④當點B在直線CD的下方時，如圖1（e）所示，α、∠1、∠2間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？為什么？

例2 已知直線 l1∥l2，將等腰直角三角板按如圖2所示放置，頂點在l1上，一邊與l2相交，若∠1=120o，則∠2的度數(shù)為 。

圖2

點評：例1、例2都是三角板與三角板、平行線的結(jié)合，都以直角三角板角度作為隱含的條件設(shè)計題目。解答時，可把隱含的角度大小標示在圖形中，并簡化圖形，再進行邏輯推理，算出角度的大小。

二、用三角板組合，求線段之間的關(guān)系

例3 兩個大小不同的等腰直角三角板如圖3（a）所示放置，圖3（b）是它抽象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，連接DC。指出線段DC和線段BE的關(guān)系，并證明。

圖3

圖4

例4 已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個三角板的直角頂點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點D、E。

（1）如圖4（a）所示，當CD⊥OA于D，CE⊥OB于E時，求證：CD=CE；

（2）當三角板繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，在圖4（b）這種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明：若不成立，請說明理由。

點評：例3、例4利用直角三角板隱含的角度、線段條件作為解題要點。例4利用隱含條件證明三角形全等解答題目。解答時應認真整理出有用的條件，從而使問題迎刃而解。

三、用三角板解決數(shù)學問題

例5 沒有量角器，利用刻度尺或三角板也能畫出一個角的平分線嗎？下面是小彬的做法，如圖5，他的畫法正確嗎？請說明。

如圖5，①利用三角板在∠AOB的邊上，分別取OM=ON；

②分別過M、N畫OM、ON的垂線，交點為P；

③畫射線OP。所以射線OP為∠AOB的角平分線。

圖5

點評：例5通過直角三角板的特性解決數(shù)學題。解答時，應分析題目的數(shù)學性質(zhì)并運用到解題中，同時引導學生應善于用現(xiàn)有條件解決問題，從而培養(yǎng)學生將所學知識運用到日常生活中的意識。

四、用三角板組合，求面積問題

例6 將兩塊三角板按如圖6放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6，求重疊部分四邊形DBCF的面積。

圖6

圖7

例7 如圖7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，將一塊三角尺的直角頂點與斜邊AB的中點M重合，當三角尺繞著點M旋轉(zhuǎn)時，兩直角邊始終保持分別與邊BC，AC交于D，E兩點（D，E不與B，A重合）。求四邊形MDCE的面積。

點評：例6、例7利用了兩個常見直角三角板設(shè)計面積問題。例6利用了直角三角板邊長作為解題重點，例7是應用直角三角板邊、角的性質(zhì)證明三角形全等從而解決問題，所以隱含的條件為解答題目的重要突破點。

啟示：例4、例7運用直角三角板構(gòu)建具有動態(tài)性質(zhì)的題目。例4和例7的變化體現(xiàn)了相同的知識點不同的呈現(xiàn)方式，題目從三角板與一般幾何圖形的結(jié)合出題方式到采用兩個常見三角板組合的出題方式，從中我們得到一個啟示：對于應用等腰直角三角形性質(zhì)或30°直角三角形性質(zhì)的題目，以后都可以轉(zhuǎn)化成這兩個直角三角板組合的出題方式。

總而言之，數(shù)學知識運用到生活實踐中去越來越受到重視，三角板已越來越多地被用于數(shù)學題目的設(shè)計之中。三角板的妙用不僅使數(shù)學更加貼近生活，且利用學生熟知的事物探索數(shù)學問題，也有利于喚起學生創(chuàng)新探索的欲望。要求老師注重培養(yǎng)學生理解題目隱含條件，簡化題目，轉(zhuǎn)化成所學知識并解決題目的能力，同時培養(yǎng)學生將數(shù)學知識運用到生活實踐中的意識和能力。

[1]吳從田．神奇三角板 魅力數(shù)學園——三角板在初中數(shù)學命題中的應用[J]．中學生數(shù)理化（教與學），2011（07）．

[2]何名躍．淺議三角板對數(shù)學教學的輔助作用[J]．中國西部科技（學術(shù)），2007（06）．

[3]鄺國寧．淺談初中數(shù)學考試命題的一些技術(shù)問題[J]．廣西教育，2011（14）．