丁益民

江蘇省蘇州實驗中學(xué) (215011)

解析幾何解題教學(xué)的一些思考

丁益民

江蘇省蘇州實驗中學(xué) (215011)

1.師生的“認(rèn)識”引發(fā)的思考

前幾天聽到有學(xué)生問一道解析幾何題：“老師，該題是設(shè)坐標(biāo)還是設(shè)斜率？”這不禁讓筆者想起在2013年蘇州高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)研討活動中，有位教師開了一節(jié)題為“解析幾何的解題策略選擇”的公開課，課上教師提出“設(shè)坐標(biāo)”和“設(shè)斜率”兩種策略.解析幾何的解題教學(xué)定位到底是什么？莫非以這種刻意劃分的“設(shè)坐標(biāo)”、“設(shè)斜率”的策略教學(xué)為教學(xué)目標(biāo)？筆者認(rèn)為，解析幾何解題教學(xué)中涉及的算法設(shè)計與分析、變式教學(xué)、背景探求等都應(yīng)是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.可實際教學(xué)現(xiàn)狀令人堪憂：教師只側(cè)重于方法的講解展示，熱衷于解題方法的分析，局限于對某單個問題的個體研究.整個教學(xué)過程儼然就是大容量、快節(jié)奏的題海戰(zhàn)術(shù)演練，學(xué)生的行為完全被支配于低層次的“同化”狀態(tài)，學(xué)生經(jīng)歷的是被動的碎片化的思維訓(xùn)練，學(xué)習(xí)效果自然不理想，久而久之便形成了高耗低效的惡性循環(huán).

要改變?nèi)绱司硾r，教師必須要改變以往“大容量、快節(jié)奏”的課堂教學(xué)觀，控制容量，放慢節(jié)奏，以提升學(xué)生核心素養(yǎng)為基本抓手，讓解析幾何解題教學(xué)多點“數(shù)學(xué)味”.本文試以一道橢圓問題談?wù)劷馕鰩缀谓忸}教學(xué)的一些想法.

圖1

2.關(guān)注解題教學(xué)的過程分析

2.1 聚焦運算節(jié)點，對運算進行“微研究”

在研究解析幾何問題時，很多學(xué)生一旦有了思路便急于下筆，洋洋灑灑寫了很多，忽覺運算愈加繁雜，運算信心受挫，最終只能望“算”心嘆.這種現(xiàn)象在教學(xué)中尤為常見，是導(dǎo)致解析幾何解題教學(xué)難以突破的一大主因.一直以來，教師善于引導(dǎo)學(xué)生分析思路，然后便急匆匆地板書或讓學(xué)生自己驗算，在這樣的過程中，教師既沒有對已有算法進行合理性分析，也沒有帶領(lǐng)學(xué)生對已有算法的運算長度進行預(yù)估，學(xué)生在此情形下實施的要么是照搬教師黑板板書，要么就是停留在原有經(jīng)驗中的運算程式，獲得的“運算求解”基本經(jīng)驗幾乎沒有.其實，完全可以在有思路之后，引導(dǎo)學(xué)生對思路進行算法的設(shè)計，并力求理清思維走向中的每個運算節(jié)點，對每個節(jié)點中可能的思維障礙、運算實施進行預(yù)估，并及時作出改進與優(yōu)化方案.

就本題而言，思路形成后的算法設(shè)計如下：

S1：設(shè)出P、M、N坐標(biāo)(節(jié)點①)，并表示直線PM、PN的方程；

S2：求得兩條直線與x軸交點的橫坐標(biāo)xR、xS(節(jié)點②)；

S3：計算xR·xS(節(jié)點③).

這樣的算法設(shè)計就是學(xué)生解題時的“方向儀”，在此基礎(chǔ)上，可對其中的運算節(jié)點做進一步的“微研究”：

在節(jié)點①中，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析選擇不同的變量對后續(xù)運算的影響.一般而言，橢圓上的點有兩種設(shè)法：直角坐標(biāo)(x0,y0)或三角參數(shù)形式(acosα,bsinα).兩種設(shè)法各有優(yōu)劣，應(yīng)讓不同層次的學(xué)生感受到不同的設(shè)點方式下導(dǎo)致的運算長度和可能狀況不一樣.

分析：設(shè)成直角坐標(biāo)(x0,y0)直接簡明，但可能因為變量(字母)較多，后續(xù)消元時易迷失方向；設(shè)成參數(shù)形式(acosα,bsinα)變量較少，化簡方向不會亂，但對三角恒等變換的要求高.

據(jù)此分析，學(xué)生將會結(jié)合自身實際情況選擇合適的設(shè)點方式，進而形成基本活動經(jīng)驗.

其次，在運算“xS”時習(xí)慣于運用“同理可得”，可實際上很多學(xué)生并非真理解“同理”，“理”在何處？因此，在最初運用“同理”時應(yīng)講清原委，并盡可能地讓學(xué)生自己完成這樣的“同理可得”，讓他們真正體會到如何進行坐標(biāo)替換的思維操作.

可見，通過慢節(jié)奏對算法設(shè)計、運算節(jié)點進行“微研究”，學(xué)生的思維訓(xùn)練是由淺入深、從粗到細慢慢展開，既有對自己已有運算經(jīng)驗的調(diào)整訓(xùn)練，也有借鑒他人思維的模仿訓(xùn)練，還有對代數(shù)式觀察、運算方向監(jiān)控、運算長度預(yù)估等多重的思維訓(xùn)練，在這個過程中，學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)都將能得到相應(yīng)的提升.

2.2 算理提煉，形成基本活動經(jīng)驗

長期以來，數(shù)學(xué)運算的教學(xué)側(cè)重于技能的訓(xùn)練，將數(shù)學(xué)運算變成了追求速度、技巧、準(zhǔn)確率的技能訓(xùn)練，學(xué)生疲于“死算”，忙于“瞎算”，這樣的訓(xùn)練對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是極其不利的.任何運算都離不開算理的支撐，算理是客觀存在的規(guī)律，為計算提供了正確的思維方式，保證了計算的合理性和正確性.沒有算理指引下的運算是盲目的，學(xué)生更需要算理來指引運算，從而減少不必要的時間消耗.實際上，在每個運算過程中蘊含著“算理”，需要教師引導(dǎo)學(xué)生提煉出來，而且要讓學(xué)生體會到“算理”是進行一類運算的規(guī)律所在.

對本題的運算過程進行回顧，可以發(fā)現(xiàn)“消元”是基本算理，具體到兩種不同的設(shè)點方式：

設(shè)成直角坐標(biāo)最終必定通過“點在橢圓”上這一信息進行坐標(biāo)代換，而設(shè)成三角參數(shù)形式最終必定通過三角恒等式進行消元.通過對兩種設(shè)點方式的算理提煉，并及時指出兩種設(shè)點方式最終的“消元”方式不同，對知識要求和運算水平也不盡相同.這樣的過程可以讓學(xué)生根據(jù)自身情況選擇更適合自己的“算法”進行運算.算理的提煉解決了學(xué)生執(zhí)行算法時的盲目，學(xué)生獲得了進行類似操作的思維范式，對學(xué)生運算信心的提高也有很大的幫助.

3.重視解題教學(xué)的本質(zhì)揭示

正如波利亞所言：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”在解析幾何解題教學(xué)中，應(yīng)有意識地搜集“附近的蘑菇”，舉一反三，觸類旁通，揭示出問題本題，并通過合理的教學(xué)組織，發(fā)揮出應(yīng)有的教學(xué)功能.

很容易搜集整理到原題結(jié)構(gòu)相近的“姊妹題”：

圖2

圖3

(1)略；(2)若點P為橢圓C上異于A、B的動點，且直線AP,BP分別交直線y=x于點M、N，證明：OM·ON為定值.

圖4

有了這些形似的素材，可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特

點、思維水平設(shè)計不同層次的活動.如變式教學(xué)，將原問題變式為題1(或題2)，進而變形為題3，并分析題3與原題的聯(lián)系(過Q作QQ'⊥x軸于Q'，可知Q'、M、C'三點共線，問題就是題1了).還可以引導(dǎo)學(xué)生通過運算觀察、歸納猜想、推理論證等一系列的思維活動，將原問題拓展至一般情形，或?qū)⒃瓎栴}退化為“圓”探求其幾何背景.

活動1：將原命題推廣至一般情形：

圖5

活動2：退化到圓中探求幾何背景.

圖6

如圖6，易證ΔOPM∽ΔONP，于是OM·ON=OP2=OT2，這就是該命題在圓中的幾何背景.

從上面可以看出，通過對原有問題的類題搜集并進行有效地組織，使得教學(xué)成為多維度的系統(tǒng)研究，學(xué)生對知識本質(zhì)的理解上將會有更深的感悟，在思維訓(xùn)練上也得到了充分的訓(xùn)練，在邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、運算求解等數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面將有較大的發(fā)展.

4.結(jié)語

解題教學(xué)不應(yīng)該成為教師炫耀技巧和題型梳理的場所，而應(yīng)該是帶領(lǐng)學(xué)生去感悟數(shù)學(xué)本真，訓(xùn)練學(xué)生思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的舞臺，應(yīng)該是一個規(guī)范的系統(tǒng)的長期工程，需要我們不斷地探索研究并踐行.

[1]潘龍生.教學(xué)，少些一帶而過[J].數(shù)學(xué)通報，2015，1:14-16.

[2]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2010.4