趙瑞生

摘要：“抽象”是數(shù)學的本質(zhì)特征之一，它既是數(shù)學教學中常見的思維活動，也是數(shù)學活動中最基本的思維方法。針對具體的學習內(nèi)容，引導學生在體驗中抽象、在操作中抽象、在比較中抽象、在探究中抽象、在“創(chuàng)新”中抽象等，長期訓練，不僅有利于學生掌握數(shù)學知識、學會抽象的方法，還將有助于數(shù)學素養(yǎng)的提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學活動抽象創(chuàng)新策略

“數(shù)學教學不能停留在直觀和操作的水平，必須發(fā)展到‘形式化階段，在抽象的層次上思維。”[1]數(shù)學中的抽象指的是“抽取事物在量的關(guān)系和空間形式等方面的本質(zhì)屬性?！盵2]“抽象”是數(shù)學的本質(zhì)特征之一，它既是數(shù)學教學中常見的思維活動，也是數(shù)學活動中最基本的思維方法。不僅“數(shù)學知識”的形成依賴于抽象，從歷史的角度來看，數(shù)學的發(fā)展也是人類不斷抽象的結(jié)果。在小學數(shù)學教學中，結(jié)合具體的內(nèi)容，設計體驗、操作、比較、探究、“創(chuàng)新”等活動，引導學生經(jīng)歷抽象過程，不僅能獲取抽象的數(shù)學知識，還將學會如何抽象以及感悟數(shù)學抽象的基本特征，促進數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展。

一、在體驗中抽象

體驗是指學生在親身經(jīng)歷的活動中獲得的數(shù)學理解、情感體驗以及生成新意義的過程。長期以來，我們的數(shù)學教學比較多地停留在知識教學的層面，數(shù)學知識只是作為一個符號留在學生的記憶深處，而沒有引起學生強烈的情感體驗和內(nèi)在感受。走進教室的學生不是一張白紙，他們在生活中已經(jīng)積累了一些關(guān)于數(shù)學的知識和初始經(jīng)驗。盡管這些“初始經(jīng)驗”可能“模糊、膚淺、零散、混亂”，甚至可能還沒有明確的數(shù)學意義，但卻是學生進行數(shù)學思考不可或缺的基礎(chǔ)。設計數(shù)學體驗活動，可以嘗試從學生的“初始經(jīng)驗”入手。因為學生對熟悉的內(nèi)容會感到親切，接下來的學習就會覺得有趣并樂于接受挑戰(zhàn)。

如教學“分數(shù)的初步認識”（把一個蛋糕平均分為2份，每份是它的二分之一）時，可以先讓學生用圓片代替蛋糕折一折、畫一畫，接著讓學生演示。演示中，會出現(xiàn)兩份一樣大或者一份大一份小的情況。再讓學生解釋為什么這樣操作，你認為哪種折法是對的在比較、辨別中，學生理解了“平均分成2份”的意思是分成的兩份要一樣大。這兩份分別叫作“一等份”“一等份”，合起來就是“兩等份”，其中的一等份占兩等份的二分之一。這就是把一個蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一的數(shù)學含義。

小學生由于受到年齡特征和知識水平的限制，往往不能參加“純抽象”的數(shù)學活動，通常要借助有趣和有數(shù)學味的已有經(jīng)驗，借助“直觀”進行“抽象”。本例中，學生經(jīng)驗中相等的“半個”“大半個”“小半個”是在生活中積累起來的。通過“折一折”，認識活動本身與學生的原始經(jīng)驗發(fā)生了關(guān)聯(lián)，在好奇心、求知欲的參與下，經(jīng)驗被激活，學生基于自己的理解表達出了心中的二分之一。在“辯一辯”環(huán)節(jié)，學生的情感與思維更是介入了對這個知識的理解，有同學會發(fā)現(xiàn)自己的錯誤并及時改正，主動吸納別人的方法?；顒拥慕Y(jié)果，除了收獲對所學知識產(chǎn)生的情感體驗外，還生成了對二分之一的理解。錯誤的原始經(jīng)驗得到改造，成為同化新知的基礎(chǔ)。學生在新的基礎(chǔ)上，逐步理解了諸如三分之一、四分之一、五分之一等的含義，此時抽象“分子”“分母”的意義，初步認識分數(shù)。

二、在操作中抽象

“兒童的智慧集中在指尖上?！睂W生在操作時，手指間的觸覺產(chǎn)生的刺激能迅速傳遞給大腦，引起大腦的興奮，從而產(chǎn)生思考的愿望。操作后，要求學生離開具體的實物，腦中把剛才的操作過程回憶出來，根據(jù)操作中獲得的具體經(jīng)驗和形成的表象，進行分析、綜合、比較等思維活動，并及時抽象，獲取數(shù)學知識。

如學習“長方形的面積計算”時，我首先安排操作：用幾個1平方厘米的正方形擺出3個不同的長方形，并填寫下表。

然后引導學生思考這幾個問題：長方形的長和寬與什么有關(guān)系小正方形的個數(shù)與什么有關(guān)系小正方形的個數(shù)與長方形的面積有什么關(guān)系

接著，安排第二次操作：用1平方厘米的正方形量出下面長方形（長5cm、寬3cm）的面積并交流拼擺的方法。依次交流：全部擺滿，每行擺5個，擺了3行，擺了15個小正方形，面積是15cm2。不擺滿，第一行擺5個，擺3行，面積是15cm2。不用擺，直接在腦子里想擺的過程：長5cm，一行可以擺5個；寬3cm，擺3行；面積是15cm2。比較三種方法，可以得出：不用親自去擺，只要在腦子里想擺的過程，就可以推算出長方形的面積。

最后，讓學生推算長方形的面積。如長12分米，寬8分米；長8米，寬6米。交流推算過程?？梢赃@樣想：根據(jù)長是（），知道每行擺（）個；根據(jù)寬是（），知道擺了（）行；面積單位的個數(shù)有（）個，長方形的面積是（）。在此基礎(chǔ)上，總結(jié)長方形的面積計算方法。

抽象是“過程的內(nèi)化、壓縮到對象化的轉(zhuǎn)變過程”?！斑^程的內(nèi)化”是一個操作過程。本例中，通過第一次操作，發(fā)現(xiàn)三組關(guān)系：長方形的長和寬與每行擺的個數(shù)、擺的行數(shù)的關(guān)系；小正方形個數(shù)與長和寬的關(guān)系；長方形的面積與長和寬的關(guān)系?！皦嚎s”是把熟悉的操作過程轉(zhuǎn)化為一種心理操作，可以離開實物進行。通過第二次操作，發(fā)現(xiàn)可以“在腦子里想擺的過程”：知道長是幾，就知道每行擺幾個；知道寬是幾，就知道可以擺幾行，求面積單位的個數(shù)可以借用“長寬”算出來?！皩ο蠡眲t是徹底擺脫具體實物的限制，發(fā)現(xiàn)了數(shù)學現(xiàn)象背后隱藏的規(guī)律（在此即長方形的面積計算公式），從整體上把過程的實質(zhì)抽取出來。

三、在比較中抽象

有比較才有鑒別。比較是區(qū)別對象的相同和相異時常用的方法。運用比較的方法不能僅僅局限在同類對象或某一對象的不同側(cè)面，不同類對象之間也可以進行比較。教學中，教師創(chuàng)設富有挑戰(zhàn)性和探索性的問題或情境，引導學生進行比較，既可以促進學生深度理解和掌握知識，還能促進學生思維品質(zhì)的發(fā)展。endprint

學生通過自主探索得到的方法是個體的“創(chuàng)造”，這樣的學習成果既包含個體對數(shù)學的理解，更體現(xiàn)了可貴的探索因子，但個體的成果還需在比較中優(yōu)化。第一次比較，各種算法在交流中顯現(xiàn)各自的特點。第二次比較，會發(fā)現(xiàn)各種算法的長處與不足，會發(fā)自內(nèi)在地覺得“通分”方便，自覺進行算法優(yōu)化。有了這樣的體驗過程，在計算中就會主動使用“通分”的方法。第三次比較，會發(fā)現(xiàn)各種加減法計算的本質(zhì)相同——都是“相同單位的數(shù)相加減”。此時的例題教學已經(jīng)從單一的異分母分數(shù)計算深入到探索已學過的所有加減法之間的內(nèi)在聯(lián)系，在掌握新知的同時更加著力于培養(yǎng)學生思維的深刻性。

四、在探究中抽象

“猜想—驗證是探究教學的核心成分?！碧骄坑袥]有方向以及能否持續(xù)進行，關(guān)鍵在于能不能提出假設（猜想）。如果能提出解決問題的假設，探究就會進行下去，否則，探究就無從進行或陷入盲目的“嘗錯”活動。因為有了假設，就會形成一種懸而未決但又必須解決的求知狀態(tài)，就能激發(fā)學生的認知沖動和創(chuàng)造性思維，學生就會針對假設搜集資料、尋找證據(jù)，開展驗證假設的活動，對各種假設做出合理解釋，直至找到問題的答案。

如教學“3的倍數(shù)的特征”。由于已經(jīng)學了2和5的倍數(shù)特征，受思維定勢的影響，學生自然認為3的倍數(shù)的特征也和個位上的數(shù)字有關(guān)。因此，做出類比猜想：“個位上是0、3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)”。舉例驗證，發(fā)現(xiàn)猜想是錯誤的，同時也可以得出結(jié)論：不能僅憑個位上的數(shù)字來判斷一個數(shù)是不是3的倍數(shù)。那又該從什么角度思考呢學生產(chǎn)生了新的認知沖突。此時，可以安排如下的教學過程：（1）猜想：出示百數(shù)表，按順序找出3的倍數(shù)并圈出來。自己觀察，大膽猜想3的倍數(shù)有什么特征。（2）交流：組內(nèi)交流、小組匯報，得出結(jié)論：各個數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)就是3的倍數(shù)。（3）驗證：百以內(nèi)3的倍數(shù)有這樣的特征，百以上的數(shù)呢引導學生想出驗證的方法，在小組內(nèi)對猜想進行驗證。（4）辨析：不是3的倍數(shù)的數(shù)會不會也有這樣的特征（5）總結(jié)：各個數(shù)位上數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)一定是3的倍數(shù)。經(jīng)歷上述過程，學生不僅學到了數(shù)學知識，還在不知不覺中學習了科學的探究方法，獲得類比可能無效、碰壁后需要改變策略等的寶貴經(jīng)驗。

“2和5的倍數(shù)”的特征和“3的倍數(shù)”的特征真的沒有聯(lián)系嗎為什么判斷“2和5的倍數(shù)”只要看個位而判斷“3的倍數(shù)”卻需要看各數(shù)位上數(shù)字之和呢因為一個整十、整百、整千數(shù)一定是2和5的倍數(shù)，如一個三位數(shù)472，可以寫成：1004+107+2，1004+107一定是2和5的倍數(shù)，所以只要看個位上的數(shù)字。472=1004+107+2=994+97+（4+7+2），994+97一定是3的倍數(shù)，而（4+7+2）就是各數(shù)位上數(shù)字之和。如果一個三位數(shù)用100a+10b+c表示（想想為什么），你會推理嗎如果是四位數(shù)呢

根據(jù)“2和5的倍數(shù)”的特征類推出“3的倍數(shù)”的特征，原本容易產(chǎn)生負遷移，卻因深究其內(nèi)在本質(zhì)而聯(lián)系起來，這樣探究的價值在于引導學生透過表面看到知識的內(nèi)在規(guī)律，經(jīng)過這樣的感染與訓練，將促進學生認識數(shù)學的理性特征。

五、在“創(chuàng)新”中抽象

“創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應該從義務教育階段做起，貫穿數(shù)學教育的始終”。學生與生俱來就有探究的興趣和愿望，因而結(jié)合具體的學習內(nèi)容，引導學生創(chuàng)新符合學生個體內(nèi)在的發(fā)展需要。數(shù)學學科特有的直觀與抽象、邏輯的嚴密、廣泛的運用，為學生發(fā)揮潛能、進行創(chuàng)新提供了廣闊的空間。因此，數(shù)學教學要喚醒學生固有的天性，以教學創(chuàng)新帶動師生關(guān)系、學習方式等方面的實質(zhì)性變革，引導學生經(jīng)歷“再創(chuàng)造”的過程，真正獲得富有生命活力的數(shù)學知識，將知識的獲得過程和生命的提升過程協(xié)調(diào)起來，讓每一個學生的自由個性獲得可持續(xù)性發(fā)展。

如教學“兩位數(shù)乘一位數(shù)”，首先呈現(xiàn)情境：湖面上飛過3隊大雁，每隊12只。一共有多少只學生列出算式123后，讓學生先用小棒擺一擺，再說說可以怎樣算。因為小棒操作直觀形象，突出了計算原理，所以學生會有如下的算法。方法1：12+12+12=36；方法2：3個2是6，3個10是30，合起來是36；方法3：23=6，103=30，6+30=36。這三種不同的想法之間是相互聯(lián)系的，為接下來理解豎式計算的過程做好了鋪墊和準備。

接著，要求學生把這樣的想法寫成豎式。學生通常會這樣寫：

學生解釋每個豎式的意義后，提出新的要求：計算是有一定速度要求的，寫三個豎式很麻煩，能不能把它們合并在一個豎式里

解釋豎式2每一步的意義，著重討論“+”能不能省去不寫。因為寫“+”表示求和，“+”省去不寫，大家也明白算的是加法，所以“+”可以省去。

進一步指出：“0”也可以省去不寫。因為第二步算103=30，可以看成1（個十）3=3（個十），所以“0”省去不寫。但是，“3”必須寫在十位上。這樣就把“兩位數(shù)乘一位數(shù)”變成了兩次“一位數(shù)乘一位數(shù)”，一次是23，另一次是1（個十）3，方便計算。

在此基礎(chǔ)上，觀察簡便豎式，抽象概括計算方法。先用一位數(shù)乘兩位數(shù)的個位，積的末尾寫在個位上；再用一位數(shù)乘兩位數(shù)的十位，積的末尾寫在十位上。按照這個步驟演算就能得到計算的結(jié)果。經(jīng)歷這樣的學習過程，學生不僅理解了兩位數(shù)乘一位數(shù)計算法則的推導過程，還經(jīng)歷了一次從已知到未知，從特殊歸納出一般的抽象體驗。

獲取數(shù)學知識需要抽象，學會抽象的方法更要融入到具體的數(shù)學知識的學習過程中，經(jīng)過長期訓練，學生將逐步獲得“抽象”這一數(shù)學學習的法寶，實現(xiàn)數(shù)學素養(yǎng)的提升。

參考文獻：

[1]張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學教育學導論[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]侯正海，徐文彬.試論小學數(shù)學抽象教學的時機把握[J].課程·教材·教法，2013（09）.

[3]李士锜.PME：數(shù)學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2001.

[4]岳欣云，董宏建.探究式教學的“扶”“放”之度與層次性——由一則小學數(shù)學教學案例引發(fā)的思考[J].課程·教材·教法，2013（07）.endprint