許 龍

(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

再探高考試題中的圖像變化規(guī)律

許 龍

(安徽省太和一中,安徽 太和 236600)

用高等數(shù)學積分知識解決高考試題中圖像變化問題,并探究圖像中特殊點的含義．

高考;圖像;高等數(shù)學;積分

高考試題選擇題中常有分析兩物理量之間的函數(shù)變化問題,對高中生而言只要能定性分析其變化規(guī)律即可,無需定量研究物理量之間的函數(shù)關(guān)系,但許多學生并不太明白物理量為何滿足這種變化規(guī)律,這里筆者結(jié)合幾道高考試題并用高等數(shù)學方面的有關(guān)知識來做定量分析計算,探究其圖像變化規(guī)律．讓學生明白在高考試題中這些圖像并不是隨手一畫,簡單滿足定性規(guī)律就可以的,而是滿足嚴格的函數(shù)關(guān)系．

例1.(2014年重慶理綜卷)以不同初速度將兩個物體同時豎直向上拋出并開始計時,一個物體所受空氣阻力可忽略,另一個物體所受空氣阻力大小與物體速率成正比．圖1中用虛線和實線描述兩物體運動的v-t圖像可能正確的是

圖1

例2.(2012年江蘇卷)將一只皮球豎直向上拋出,皮球運動時受到空氣阻力的大小與速度的大小成正比．圖2中描繪皮球在上升過程中加速度大小a與時間t關(guān)系的圖像,可能正確的是

圖2

積分可得

代入初始條件t=0時,v=v0,即得

將C代入速度表達式后可得

亦可求解出當物體減速為0時所需的時間為

同時可求導得到物體在運動過程中加速度隨時間變化規(guī)律為

分析可知當物體速度為0時,僅受重力,其加速度應(yīng)為重力加速度g．亦可由上述表達式計算驗證,將物體減速到0的時間,代入加速度隨時間變化關(guān)系有

負號表示方向,此時方向與正方向相反——豎直向下,與前面定性分析一致．

另一個不受阻力的物體,其速度時間表達式為v=v0-gt．通過Mathematica軟件模擬其圖像,如圖3.

圖3

圖4

圖5

例3.(2013年新課標高考Ⅱ卷)如圖5,在光滑水平桌面上有一邊長為L、電阻為R的正方形導線框;在導線框右側(cè)有一寬度為d(d>L)的條形勻強磁場區(qū)域,磁場的邊界與導線框的一邊平行,磁場方向豎直向下．導線框以某一初速度向右運動,t=0時導線框的右邊恰與磁場的左邊界重合,隨后導線框進入并通過磁場區(qū)域．如圖6，v-t圖像中,可能正確描述上述過程的是

圖6

解析:設(shè)線框進入磁場初速度為v0,以初速度方向為正方向,則有線框切割磁感線,產(chǎn)生感應(yīng)電動勢和感應(yīng)電流,導體棒受到安培力阻礙其運動.

在光滑地面上僅受安培力,即得

可得

由初始條件t=0時,v=v0,可得C=v0,即得

完全進入磁場后線框內(nèi)磁通量無變化,此時線框無感應(yīng)電流,線框不會再受到安培力,將做勻速直線運動,直到右邊框離開磁場,又會受到安培力,阻礙其運動,其v-t圖像如圖7.

圖7

同時由v-t關(guān)系積分可得其位移時間關(guān)系為

整合易得

由此可知線框運動過程中速度與運動位移成線性關(guān)系,隨著線框逐漸進入磁場，其速度逐漸降低,完全進入磁場后勻速運動,離開磁場速度再隨位移線性減小,所以如果將(B)選項的橫軸改為位移的話就正確了．

雖然高中生對高等數(shù)學知之甚少,不需要對某些定性分析的問題進行定量計算，但高中教師在研究高考試題時不但要知其然還要知其所以然,只有不斷提高自身的專業(yè)素養(yǎng)才能在今后的教學中對許多知識點信手拈來,應(yīng)用自如．

2017-04-12)