◎羅奕辰

解析幾何中求參數(shù)取值范圍的方法

◎羅奕辰

幾何中的求解參數(shù)取值范圍是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中需要重點(diǎn)掌握的知識點(diǎn)，這不論是在平常的考試或者是高考中都占有較大的比分值。本文從數(shù)形結(jié)合、建立不等式、幾何圖形的性質(zhì)以及函數(shù)與方程思想四個方面對幾何中求參數(shù)取值范圍進(jìn)行了一定的分析，以期為廣大高中生提供參考。

解析幾何在高中的學(xué)習(xí)知識中，涉及的范圍廣，且大部分具有難度性，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)參數(shù)取值這方面的知識有一定的困難性。這類問題考查的綜合知識點(diǎn)強(qiáng)，給解題帶來了很多困難。所通過對幾何中參數(shù)取值范圍的解答進(jìn)行歸納和總結(jié)，找出其中的方法對問題進(jìn)行解決，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，掌握解題技巧，提高數(shù)學(xué)成績。

數(shù)形結(jié)合求參數(shù)取值范圍

數(shù)與形在一定條件下是可以轉(zhuǎn)化的，這也是數(shù)學(xué)中比較常見的解題方法。以這樣的方式可以使較為抽象的數(shù)學(xué)題變得更加淺顯易懂，利于我們快速的掌握幾何中參數(shù)取值范圍。在求解中，其基本思路就是數(shù)形的結(jié)合，重點(diǎn)把握點(diǎn)、線、面三者的性質(zhì)和關(guān)系。

解題分析：利用三角函數(shù)的解題思路，數(shù)形結(jié)合的即可進(jìn)行解答。首先將A(cosθ,sinθ)看做是一個單位圓，且為單位圓X2+Y2=1上的動點(diǎn)，B（-2，-1）為單位圓外的一點(diǎn)，進(jìn)行作圖即可得出。如圖1所示，得出當(dāng)K的取值范圍在[KBA1,KBA2],kBA1等于0，假設(shè)出直線方程BA2為：y+1=k(x+2),最后結(jié)果K的是且在區(qū)域?yàn)閇0,2]時，K的取值范圍為。對于數(shù)形這類知識點(diǎn)的解答，其基本思路一定要明確已知的條件，從題中的條件和結(jié)論出發(fā)，運(yùn)用圓的公式和定理進(jìn)行表達(dá)，畫出相符合的圖形，最后得出確定的答案。

圖1

建立不等式求參數(shù)取值范圍

幾何題中出現(xiàn)的不等式稱之為幾何不等式，可以利用題中設(shè)定的不等式關(guān)系，根據(jù)相關(guān)公式運(yùn)用不等式求參數(shù)的取值范圍。而如果在這道題中，給出了已知條件的不等式關(guān)系，就要假設(shè)其中存在的變量，找出它們之間相同點(diǎn)，構(gòu)建不等式，并通過求解不等式求出最后的答案。

例如：已知雙曲線x2-=1的左標(biāo)準(zhǔn)線為準(zhǔn)線，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，求出這條拋物線的方程式，并且如果當(dāng)直線z：y-1=k＊（x-1）實(shí)數(shù)K不為O的情況下，垂直平分拋物線，求實(shí)數(shù)K的取值范圍？

在已知雙曲線為x2-=1的情況下，根據(jù)雙曲線的基本方程式可以得出x=1/4，所以拋物線為y2=x.這道題考查的是直線與雙曲線關(guān)系的題，要想求出K的取值范圍，則首先要確定K的不等式方程。在拋物線C被直線z垂直平分的弦方程可為x+ky+c=0和拋物線的方程y2=x。解出則是y2+ky+c=0,得出弦的中點(diǎn)是N,將點(diǎn)N帶入方程式即可得到（k2-2k+2)〈0。所以實(shí)數(shù)的取值范圍是(-2,0).利用圓錐曲線的定義，以及標(biāo)準(zhǔn)方程式可以進(jìn)行簡單的求解。

幾何性質(zhì)求參數(shù)取值范圍

可以利用曲線方程中變量的范圍構(gòu)造進(jìn)行不等式。如在三角形ABC的面積為S,當(dāng)BC×AB=1，S的范圍是[2,12],求向量AB與BC的夾角取值范圍?這道題的分析可以從中建立夾角與面積S的關(guān)系，可得出tanθ=2S，12＜S＜2的情況下，所以夾角的取值范圍為1＜tanθ＜4。

根據(jù)曲線自身的幾何性質(zhì)，以不等式求出參數(shù)的取值范圍，幾何中的常見圓錐曲線本身都包含了一定的不等式關(guān)系。例如拋物線的離心率大于1，橢圓的離心率小于1，而且在圓錐曲線上的點(diǎn)其不論是橫坐標(biāo)或者縱坐標(biāo)都具有取值范圍，從而可以建立不等關(guān)系。例如點(diǎn)A(X,Y）與圓錐曲線方程F(M,N)=0存在三種關(guān)系：如果A在圓錐曲線上，則F=0，若A在圓錐曲線內(nèi)，則F小于0。若Q在A在圓錐曲線外，則F大于0，所以可以通過這些關(guān)系式來構(gòu)建不等式。

函數(shù)與方程思想求取值范圍

通過三角函數(shù)的界線對不等式進(jìn)行解答，當(dāng)遇到這類型的題時，應(yīng)該首先考慮從三角函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)構(gòu)建不等式關(guān)系。圓錐曲線的方程表明了曲線上存在的點(diǎn)與變量之間的關(guān)系，在遇到直線、圓與圓錐曲線時可以運(yùn)用三函數(shù)進(jìn)行解答，可以利用三角函數(shù)進(jìn)行特定公式代入，從而靈活建立不等式，得到取值范圍。

例如：雙曲線的兩個焦點(diǎn)為A,B，如果M是雙曲線上的一點(diǎn)，則 |AM|=2|BM|求雙曲線離心率e的取值范圍。在做題之前首先要考慮到這道題所考察的內(nèi)容到底是什么，然后通過與雙曲線有關(guān)的性質(zhì)與公式進(jìn)行答題，求離心率的方法，可以利用余弦定理與兩個焦點(diǎn)之間的關(guān)系求得答案。根據(jù)三角函數(shù)的取值范圍建立不等式就可得出正確答案。

假 設(shè) |BM| =x,∠AMB=θ 且0＜θ≤π,如果M在頂處，則θ等于π。離心率e=2c/2a=,e的取值范圍是(1,3]。除了利用三角函數(shù)進(jìn)行解答之外，也可以利用圖形進(jìn)行解答，即前提是兩邊之差小于第三邊。

在求解幾何中的參數(shù)取值范圍時，對基本理論的熟悉以及充分利用知識中相同點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。將已知公式帶入到題中的未知公式之中，綜合運(yùn)用圖形、不等式與三角函數(shù)知識進(jìn)行解答參數(shù)的取值范圍。以上是數(shù)學(xué)中比較常見的例題，在解答的時候需要我們注意轉(zhuǎn)換思維的角度，擴(kuò)寬題目的范圍，對解析參數(shù)的取值范圍是一種科學(xué)的、有效的方法。

（作者單位：湖南省長沙市第一中學(xué)）