張艷龍，石建飛，王 麗

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730070； 2.蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,蘭州 730070)

周期激勵Ueda電路系統(tǒng)的雙參數(shù)特性分析

張艷龍1，石建飛1，王 麗2

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,蘭州 730070； 2.蘭州城市學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院,蘭州 730070)

數(shù)值計算周期激勵Ueda電路系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的最大Lyapunov指數(shù)，得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上周期運動、擬周期運動和混沌運動的參數(shù)區(qū)域。結(jié)合單參數(shù)分岔圖和龐加萊截面圖討論多參數(shù)耦合對系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的影響以及系統(tǒng)在參數(shù)平面上的分岔混沌過程，表明在不同的參數(shù)匹配下系統(tǒng)的局部動力學(xué)特性非常復(fù)雜，參數(shù)之間的相互耦合關(guān)系對系統(tǒng)分岔與混沌過程的影響非常明顯：當(dāng)外激勵幅值小于1.0時，系統(tǒng)在外激勵頻率小于1.181或大于1.936的區(qū)域內(nèi)均為擬周期運動；當(dāng)外激勵幅值大于1.0時，系統(tǒng)在外激勵頻率小于0.9和大于2.5的區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)混沌運動和周期運動相交替的現(xiàn)象；選取合適的參數(shù)，系統(tǒng)由擬周期運動經(jīng)鎖相退化為周期運動，后經(jīng)倍周期分岔序列進(jìn)入混沌運動；在給定系統(tǒng)參數(shù)下，當(dāng)外激勵頻小于0.2時，系統(tǒng)振子發(fā)生顫振。

振動與波；Ueda電路；多參數(shù)匹配特性；Lyapunov指數(shù)；分岔

Key kords:vibration and wave;Ueda circuit;multi-parameter matching characteristic;Lyapunov exponent;bifurcation

非線性動力學(xué)系統(tǒng)隨系統(tǒng)參數(shù)變化而出現(xiàn)分岔和混沌是非常普遍的現(xiàn)象[1–3]。目前，很多學(xué)者通過計算系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔圖，研究系統(tǒng)隨雙參數(shù)變化時的分岔特性，如文獻(xiàn)[4]對兩自由度碰撞振動系統(tǒng)的多參數(shù)分岔以及各參數(shù)之間的匹配規(guī)律進(jìn)行了研究，得到系統(tǒng)在參數(shù)平面上的各種分岔曲線以及不同類型周期運動的參數(shù)區(qū)域；文獻(xiàn)[5]對參數(shù)周期轉(zhuǎn)換洛倫茲系統(tǒng)的雙參數(shù)分岔進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[6]對耦合發(fā)電機(jī)系統(tǒng)的分岔和雙參數(shù)特性進(jìn)行了研究，研究發(fā)現(xiàn)不同控制參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響特性有所差異；文獻(xiàn)[7–9]對多參數(shù)非常規(guī)分岔以及多參數(shù)分岔的分形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了一定的研究；文獻(xiàn)[10]利用PNF和分岔延續(xù)算法相結(jié)合的方法研究了行星齒輪傳動系統(tǒng)在一組給定參數(shù)下共存的周期運動，并判斷了各共存周期運動的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[11]根據(jù)特征值理論研究了Laser系統(tǒng)在雙參數(shù)條件下的分岔特性。對于系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上最大Lyapunov指數(shù)的計算與分析卻鮮有文獻(xiàn)報道。

周期激勵Ueda電路是一個高度非線性的動態(tài)系統(tǒng)[12]，它既具有Duffing方程中的非線性能量存儲項，又具有Van der Pol方程中的非線性阻尼項。文獻(xiàn)[13]研究了周期激勵Ueda電路中的Hopf分岔，基于Hopf分岔條件給出了一個確定混沌參數(shù)區(qū)域的方法。而對周期激勵Ueda電路系統(tǒng)多參數(shù)匹配特性的研究卻很少見有文獻(xiàn)報道，系統(tǒng)在運動過程中不可能只受單參數(shù)的影響，為了得到系統(tǒng)在參數(shù)大范圍內(nèi)變化時的動力學(xué)特性，有必要對系統(tǒng)的多參數(shù)耦合特性進(jìn)行研究。

本文針對周期激勵Ueda電路系統(tǒng)，通過數(shù)值計算系統(tǒng)在參數(shù)平面ω-f上最大Lyapunov指數(shù)(the Top Lyapunov Exponent，簡稱TLE)來研究參數(shù)匹配對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響，結(jié)合系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖、龐加萊截面圖對系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上TLE的分布進(jìn)行分析和驗證。最后研究參數(shù)μ對系統(tǒng)在參數(shù)平面ω-f上TLE分布的影響。

1 系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上TLE的分布

無量綱化后，周期激勵Ueda振蕩電路[12]描述為

式中μ是系統(tǒng)參數(shù)，f和ω分別是外加周期激勵信號的幅度和頻率。

數(shù)值仿真f=0.2、0.6、1.0、1.5、2.0、3.0、4.0變化時參數(shù)平面ω-f上最大Lyapunov指數(shù)的變化區(qū)域。由于篇幅限制僅以μ=0.2時為例，結(jié)合單參數(shù)分岔圖和龐加萊截面圖討論了多參數(shù)耦合對系統(tǒng)運動穩(wěn)定性的影響以及系統(tǒng)在參數(shù)平面上的分岔混沌過程。圖1為周期激勵Ueda振蕩電路系統(tǒng)在μ=0.2時參數(shù)平面ω-f上TLE的分布圖，其中深灰色區(qū)域為系統(tǒng)TLE近似等于0的擬周期運動區(qū)域；黑色區(qū)域為系統(tǒng)TLE大于0的混沌運動；淺灰色區(qū)域為系統(tǒng)TLE小于0的穩(wěn)定周期運動。

圖1 系統(tǒng)在參數(shù)平面上TLE的分布圖，μ=0.2

圖中ω在1.5附近時，隨f的增加，存在淺灰色周期區(qū)域，且該周期區(qū)域面積不斷向兩邊擴(kuò)展；當(dāng)f較小時(圖1底部)，在左下部和右下部均為深灰色擬周期運動區(qū)域，當(dāng)ω較大時右下部深灰色區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)了較小魚鱗狀的黑色區(qū)域，系統(tǒng)在該區(qū)域內(nèi)仍為擬周期運動，其TLE在0附近的擾動范圍有所增大；當(dāng)f較大，系統(tǒng)在ω較小和較大時(圖1左上部和右上部)均出現(xiàn)黑色混沌帶，在該區(qū)域內(nèi)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運動和周期運動相交替的現(xiàn)象，動力學(xué)特性很復(fù)雜。

2 系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上的分岔過程

取μ=0.2，f=0.5計算系統(tǒng)隨ω變化的單參數(shù)分岔圖和相應(yīng)TLE圖分別如圖2(a)和圖2(b)所示，在圖2(b)中當(dāng)ω∈[1.181,1.936]時系統(tǒng)TLE明顯小于0，系統(tǒng)在該參數(shù)區(qū)間內(nèi)表現(xiàn)為穩(wěn)定周期運動，當(dāng)ω＜1.181或ω＞1.936時其TLE在0附近上下擾動，而且當(dāng)ω＞1.936時，隨著ω的增大其擾動幅度也越來越大，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定性越來越強(qiáng)。圖2(c)為ω=2.0時的龐加萊截面圖，表現(xiàn)為1個閉合的極限環(huán)，表明系統(tǒng)為擬周期運動，對應(yīng)圖2(b)其TLE=-0.000 8。

取μ=0.2，f=1.5計算系統(tǒng)隨ω變化的單參數(shù)分岔圖和相應(yīng)TLE，如圖3(a)和圖3(b)所示，圖3(a)中隨ω的變化系統(tǒng)出現(xiàn)了多條寬度不同的黑色帶，對比圖3(a)和圖3(b)發(fā)現(xiàn)，ω在0.82和2.25附近的黑色帶所對應(yīng)的TLE明顯大于0，表明系統(tǒng)在該黑色帶內(nèi)表現(xiàn)為混沌運動；而其它黑色帶所對應(yīng)的TLE近似等于0，表明系統(tǒng)在該黑色帶內(nèi)為擬周期運動。圖3(c)為圖3(a)在ω∈[0.65,0.90]時的放大圖，系統(tǒng)在此區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)了周期運動和混沌運動或擬周期運動相交替的現(xiàn)象（后面詳細(xì)分析）。圖3(a)中，當(dāng)ω∈(0.9,2.2)時系統(tǒng)為穩(wěn)定的周期1運動，當(dāng)ω=2.21時系統(tǒng)經(jīng)鞍結(jié)分岔轉(zhuǎn)遷為混沌運動，隨著ω增加系統(tǒng)經(jīng)逆倍化分岔序列退化為周期3運動。圖3(d)為圖3(a)在ω∈[2.52，2.62]的放大圖，當(dāng)ω=2.538 9時系統(tǒng)由周期3運動轉(zhuǎn)遷為周期11運動，后由周期11運動進(jìn)入擬周期運動，隨著ω繼續(xù)增加系統(tǒng)由擬周期運動退化為較短暫的周期8運動，當(dāng)ω=2.606 6時系統(tǒng)由周期8跳躍為周期5運動，ω再增加系統(tǒng)由周期5運動進(jìn)入擬周期運動，隨后出現(xiàn)了周期2窗口，然后由周期2運動再次進(jìn)入擬周期運動。

圖3 系統(tǒng)分岔圖和TLE譜圖

圖4 與圖3 (c)對應(yīng)的系統(tǒng)龐加萊截面圖

下面結(jié)合Poncaré截面圖對圖3(c)吸引子的轉(zhuǎn)遷過程進(jìn)行詳細(xì)分析。隨ω的增加，系統(tǒng)由擬周期運動(如圖4(a))退化為周期4運動(如圖4(b)、圖4(c))，后經(jīng)較短暫的倍化分岔序列進(jìn)入混沌運動(如圖4(d))；隨ω的繼續(xù)增加，系統(tǒng)混沌運動退化為周期5運動(如圖4(e))，隨后系統(tǒng)由周期5運動轉(zhuǎn)遷為穩(wěn)定的周期1運動，當(dāng)ω=0.791時系統(tǒng)進(jìn)入極短暫的混沌運動，隨后退化為周期9運動(如圖4(f))；ω再增加，系統(tǒng)由周期9運動轉(zhuǎn)遷為混沌運動(如圖4(g))，隨后混沌運動退化為周期7運動(如圖4(h))；當(dāng)ω=0.848時系統(tǒng)出現(xiàn)了周期17運動，后經(jīng)極短暫的混沌運動退化為周期1運動。圖3(d)所示的轉(zhuǎn)遷過程與圖3(c)類似，限于篇幅本文沒有給出Poncaré截面圖。

由此可見，在參數(shù)平面ω-f上，當(dāng)f=1.5，ω∈[0.848，2.251]時系統(tǒng)為穩(wěn)定的周期1運動，當(dāng)ω＜0.848或ω＞2.251時出現(xiàn)了周期運動和周期運動、周期運動和混沌運動、周期運動和擬周期運動相交替的現(xiàn)象。

取μ=0.2，f=3.0計算系統(tǒng)隨ω變化的單參數(shù)分岔圖和相應(yīng)TLE如圖5(a)和圖5(b)所示。當(dāng)ω較小時(ω＜1.0)系統(tǒng)出現(xiàn)周期運動和混沌運動交替現(xiàn)象。圖5(c)為圖5(a)在ω∈[0.05，0.25]時的放大圖，取ω的值分別為0.06、0.1和0.15計算系統(tǒng)相圖和相應(yīng)時間歷程圖，如圖6所示。結(jié)合圖5(c)和圖6可以看出，當(dāng)ω＜0.2時Ueda振蕩電路存在顫振運動，而且隨ω的增加顫震逐漸減弱。圖5(a)中，當(dāng)ω=2.503時系統(tǒng)進(jìn)入混沌運動，隨ω增加系統(tǒng)由混沌運動經(jīng)逆倍化分岔序列退化為周期2運動，隨ω繼續(xù)增加，系統(tǒng)由周期2進(jìn)入極短暫的混沌運動，隨后又退化為周期7運動，此后系統(tǒng)在頻率ω較窄區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)了高周期運動與混沌運動相交替的現(xiàn)象，如圖5(d)所示(圖 5(d)為圖 5(a)在ω∈[3.8,4.0]時的放大圖)。

圖5 系統(tǒng)分岔圖和最大Lyapunov指數(shù)以及局部放大分岔圖

圖6 系統(tǒng)相圖和對應(yīng)時間歷程圖

由此可見，當(dāng)f較大時，系統(tǒng)在ω=1.5附近為穩(wěn)定的周期1運動，當(dāng)ω較大或較小時系統(tǒng)的局部動力學(xué)特性變得很復(fù)雜。當(dāng)ω＜0.2時系統(tǒng)具有一定的顫震性，這種顫震性隨ω的增加而減弱，系統(tǒng)顫震出現(xiàn)在低頻率和高幅值情況下，這種現(xiàn)象在以前Ueda電路的研究中鮮有遇見。

3 參數(shù)μ對系統(tǒng)雙參數(shù)特性的影響

取μ的值分別為0.6、1.5、2.0和4.0，數(shù)值計算周期激勵Ueda振蕩電路系統(tǒng)在參數(shù)平面ω-f上TLE分布，如圖7所示，對比圖1發(fā)現(xiàn)隨參數(shù)μ的增加，圖中左邊區(qū)域內(nèi)的黑色混沌帶和分岔曲線以及深灰色區(qū)域面積不斷縮小并向下移動，使得系統(tǒng)在參數(shù)平面上混沌運動和擬周期運動的參數(shù)范圍越來越小，而穩(wěn)定周期運動的參數(shù)范圍不斷擴(kuò)大(圖7(a)－圖7(d)左邊區(qū)域)；圖中當(dāng)ω較小時(ω＜1.5)，系統(tǒng)在左上部表現(xiàn)為穩(wěn)定周期運動，在左下部為擬周期運動，而在中間系統(tǒng)出現(xiàn)周期運動和混沌運動相交替的現(xiàn)象。當(dāng)ω較大時(ω＞1.5)，如圖7右邊區(qū)域，對比圖1，黑色混沌帶和深灰色擬周期區(qū)域不斷被淺灰色周期運動所侵蝕，表明當(dāng)ω較大時，隨μ增加系統(tǒng)穩(wěn)定周期運動的參數(shù)范圍在擴(kuò)大，而擬周期運動和混沌運動的參數(shù)范圍在縮小，而且在深灰色區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)了許多黑色的離散點，表明系統(tǒng)在該區(qū)域內(nèi)TLE在不斷增加，但系統(tǒng)仍為擬周期運動。

由此可見，在參數(shù)平面ω-f上，當(dāng)外激勵幅值f較小時，系統(tǒng)在ω變化的大部分范圍內(nèi)表現(xiàn)為擬周期運動，隨μ增加，該擬周期區(qū)域面積有所減??；當(dāng)f較大、ω較小時系統(tǒng)表現(xiàn)為穩(wěn)定的周期運動，該周期運動區(qū)域面積隨μ的增加而不斷擴(kuò)大；當(dāng)f較大、ω較大時系統(tǒng)出現(xiàn)周期運動和混沌運動相交替的現(xiàn)象，隨μ增加，淺灰色周期區(qū)域的面積不斷增大，而黑色混沌區(qū)域和深灰色擬周期區(qū)域的面積在不斷縮小，系統(tǒng)在該區(qū)域的穩(wěn)定性開始增強(qiáng)。

圖7 不同參數(shù)μ下系統(tǒng)在參數(shù)平面上的TLE分布

4 結(jié)語

本文數(shù)值計算了典型周期激勵Ueda振蕩電路在參數(shù)平面ω-f上的TLE，得到系統(tǒng)在雙參數(shù)平面上不同運動形態(tài)的參數(shù)區(qū)域，結(jié)合系統(tǒng)單參數(shù)分岔圖和相應(yīng)的TLE以及龐加萊截面圖，對系統(tǒng)各參數(shù)之間的匹配特性進(jìn)行了分析，更為全面地反映了系統(tǒng)運動穩(wěn)定性與各參數(shù)之間的關(guān)系。

隨著μ的增加，在整個參數(shù)平面上系統(tǒng)穩(wěn)定周期運動的參數(shù)區(qū)域不斷擴(kuò)大，而混沌運動和擬周期運動的參數(shù)區(qū)域不斷縮小。當(dāng)μ較小，且ω在1.5附近較小區(qū)間內(nèi)取值時，系統(tǒng)在整個f參數(shù)范圍內(nèi)為穩(wěn)定的周期運動；當(dāng)f較小時，系統(tǒng)在ω較大和較小區(qū)域內(nèi)為擬周期運動；當(dāng)f較大時，系統(tǒng)在ω較大和較小區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)周期運動和混沌運動相交替的現(xiàn)象，系統(tǒng)在該區(qū)域的局部分岔特性非常復(fù)雜。

在一定參數(shù)條件下，系統(tǒng)會發(fā)生顫振運動，系統(tǒng)也會出現(xiàn)由擬周期運動經(jīng)鎖相、倍化分岔向混沌運動轉(zhuǎn)遷的特殊過程，當(dāng)系統(tǒng)處于擬周期運動時，其相應(yīng)最大Lyapunov指數(shù)在零附近較小范圍內(nèi)擾動。利用系統(tǒng)在參數(shù)平面上最大TLE的分布圖來研究非線性系統(tǒng)具有一定的有效性和可行性，以上研究對多參數(shù)系統(tǒng)在較寬條件下的非線性動力學(xué)行為研究及混沌控制具有參考價值。

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Double-parameter CharacteristicsAnalysis of Ueda Circuit Systems with Periodic Excitation

ZHANG Yan-long1,SHI Jian-fei1,WANG Li2
(1.School of Mechanical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China;2.School of Mathematics,Lanzhou City University,Lanzhou 730070,China)

The top Lyapunov exponent of the Ueda circuit system with periodic excitation on the double-parameter plane is calculated,and the parameter regions of periodic motion,quasi-periodic motion and chaotic motion of the system are obtained.With the single-parameter bifurcation diagrams and Poincaré section maps,the influence of multi-parameter coupling on the system motion stability is discussed,and the bifurcation and chaos processes of the system on the doubleparameter plane are also studied.The results show that the system local dynamic characteristics are very complex under different parameters coupling.The influence of the mutual coupling among the parameters on the process of bifurcation and chaos of the system is very obvious.When the external excitation amplitude is less than 1.0,the system exhibits quasiperiodic motion in the region where the external excitation frequency is less than 1.181 or greater than 1.936.When the external excitation amplitude is greater than 1.0,the system exhibits periodic motion and chaotic motion alternatively in the range of the external excitation frequency below 0.9 or above 2.5.When the system parameters are selected appropriately,the system motion will evolve into periodic motion from the quasi-periodic motion through phase lock,and then get into chaotic motion through multi-periodic bifurcation.Under the given system parameters,the system oscillator shows chatter motion when the external excitation frequency is less than 0.2.

O322；O241

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.05.007

1006-1355(2017)05-0033-05+45

2016-11-08

國家自然科學(xué)基金資助項目（11302092）

張艷龍(1981－)，男，河北省圍場縣人，副教授，博士生，主要研究方向為動力學(xué)與控制。

E-mail:zhangyl@mail.lzjtu.cn