陳曉霞

(江蘇省海門市城北初中，江蘇 南通 226100)

學會“構(gòu)造”，領(lǐng)略數(shù)學之美

陳曉霞

(江蘇省海門市城北初中，江蘇 南通 226100)

本文通過構(gòu)造圖形、代數(shù)式和函數(shù)三個方面介紹了構(gòu)造思想.構(gòu)造法中滲透著猜想、轉(zhuǎn)化和概括等數(shù)學方法，是一種富有創(chuàng)造性的解題思維.學習構(gòu)造法可以培養(yǎng)學生的多元化思想和發(fā)散性思維，讓學生感受到解題的樂趣，欣賞數(shù)學之美.

構(gòu)造法；數(shù)形結(jié)合；發(fā)散思維

數(shù)學之美，體現(xiàn)在各種數(shù)學思想中，而構(gòu)造思想對數(shù)學之美起到了錦上添花的作用.構(gòu)造法是數(shù)學創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)，但是構(gòu)造是建立在扎實的基礎(chǔ)知識上的，需要對所學的知識融會貫通，是一種富有創(chuàng)造性的解題方法.本文從三個角度論述了構(gòu)造法在初中數(shù)學中的應用，希望能讓學生對構(gòu)造法產(chǎn)生深入的認識.

一、數(shù)形結(jié)合，事半功倍

對于一些難題，條件和結(jié)論之間的聯(lián)系比較隱蔽，直接解答非常有難度.一般可以通過構(gòu)造圖形來使二者之間的聯(lián)系變得直觀化，然后再解決問題.可以先找到題目中代數(shù)式的基本特征，再運用“數(shù)形結(jié)合”的思想，聯(lián)想到代數(shù)式與幾何圖形之間的關(guān)系，然后再構(gòu)造出滿足這種關(guān)系的圖形.

例1x、y、z是大于0且小于1的正數(shù).求證：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1.

解析根據(jù)題中的條件可知x、y、z均是大于0且小于1的正數(shù)，可以認為x、y、z是無差別的三個變量，而所要證明的式子中出現(xiàn)了x(1-y)、y(1-z)、z(1-x) 這三個關(guān)于x、y、z的代數(shù)式，直接證明顯然是不可行的.但是通過構(gòu)造的思想，運用發(fā)散性思維，就可以很好地解決問題.不妨構(gòu)造如圖所示的正方形，此正方形邊長為1，陰影部分的三個矩形面積分別為x(1-y)、y(1-z)、z(1-x).從圖中可以直觀的看出陰影部分的面積之和小于正方形的面積，顯然所要證明的結(jié)論成立.

點撥本題中的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系就比較隱蔽，對于學生來說具有一定難度，可以采用構(gòu)造圖形的方法來解答此題.當然本題還有其它的證明方法，但是都不如構(gòu)造圖形來的方便實用.構(gòu)造圖形使問題變得更加直觀，使得解題過程事半功倍.

二、仔細觀察，構(gòu)造代數(shù)式

在初中數(shù)學的學習過程中，會遇到某些求值之類的問題通過直接運算會非常繁瑣，但是如果能認真觀察算式，發(fā)現(xiàn)算式的內(nèi)在規(guī)律，探索構(gòu)造出簡單的代數(shù)式，比如“倒數(shù)式、對稱式、有理化因式子”等，則可以讓解題過程明朗化，避免陷入勞而無功的境地.

點撥本題通過構(gòu)造法巧妙地解決了問題，避免了冗長的計算，收到了事半功倍的效果.在此有一個要點需要說明：對于一元二次方程，如果它們的根是非對稱式的值，應當先構(gòu)造出“配對對偶式”，那么它們的和與差就是關(guān)于方程根的對稱式，接著根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出原非對稱式的值.

三、構(gòu)造函數(shù)，發(fā)散思維

對于某些數(shù)學問題，根據(jù)已知的條件，構(gòu)造出一個新的函數(shù)，可以將原來比較復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的函數(shù).構(gòu)造函數(shù)是一種發(fā)散性思維方式，具有極大的技巧性和靈活性.在運用構(gòu)造函數(shù)的過程中應當根據(jù)實際情況隨機應變，靈活運用.

例3 若a

解析分析題目中的條件，對于二次方程實根分布的問題，可以構(gòu)造二次函數(shù)來解決問題.可構(gòu)造f(x)=(x-a)(x-c)+(x-b)2，有f(a)=(a-a)(a-c)+(a-b)2=(a-b)2，f(b)=(b-a)(b-c)+(b-b)2=(b-a)(b-c)，f(c)=(c-a)(c-c)+(c-b)2=

(c-b)2.根據(jù)a0，f(b)<0，f(c)>0，所以二次函數(shù)的圖象在a和b之間與x軸相交，在b和c之間也與x軸相交，所以原二次方程有兩個不同的實根，一個根在a與b之間，另一個根在b與c之間，所以結(jié)論得證.

點撥本題中根據(jù)題設(shè)條件，構(gòu)造出新的輔助函數(shù)，使得問題在新的觀點下實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.輔助函數(shù)只是解題過程的一個工具，為題設(shè)中的條件找到一個新的載體，在這個載體下可以更好地解決問題.如果能夠選好輔助函數(shù)，對我們的解題將會大有裨益.

綜上所述，通過構(gòu)造法解題的思路非常巧妙，能起到意想不到的效果.構(gòu)造法的難點在于“構(gòu)造”，只有通過細心的觀察和分析，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，才能用好構(gòu)造法.以上關(guān)于構(gòu)造法的應用只是冰山一隅，在數(shù)學中“構(gòu)造”的應用非常廣泛.因此，這就需要老師從多方面去激勵和引導學生，以培養(yǎng)學生的多元化思想和發(fā)散性思維，讓學生感受到解題的樂趣，欣賞數(shù)學之美.

[1]潘瑞.基于數(shù)學命題教學下的勾股定理教學設(shè)計研究[D].四川師范大學,2014.

[2]王春山.用圓研究一元二次方程實根的分布[J].文理導航,2015(05).

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1008-0333(2017)23-0040-02

2017-07-01

陳曉霞(1978.08-)，女，江蘇海門人，中學一級教師，大學本科 ，初中數(shù)學教學思想的研究

[責任編輯李克柏]