何麗晶

(北京市文匯中學(xué)，北京 100022)

圓來是你
——識(shí)別基本圖形，突破圓綜合

何麗晶

(北京市文匯中學(xué)，北京 100022)

初三幾何《圓》這一章屬于幾何的提高階段，要求學(xué)生綜合運(yùn)用前面所學(xué)過的知識(shí)，解決問題.圓通常作為背景圖形，要用到圓的相關(guān)定義，定理，掌握一些輔助線的基本做法.同時(shí)，《圓》這一章作為幾何的綜合章節(jié)，會(huì)把以前學(xué)過的其它章節(jié)融入其中，使得圓的問題更加綜合，更加復(fù)雜，也使得很多學(xué)生束手無策，望圓興嘆.如何解決這一問題呢，筆者通過對(duì)大量初三模擬題，中考題的研究，發(fā)現(xiàn)其中不乏一些解題的技巧和規(guī)律，下面將逐一探討.

圓；做法；技巧

圓之所以難，在于圖形復(fù)雜.所以要破解圓，最主要的是要發(fā)現(xiàn)其中的核心圖形，基本圖形.抓住這個(gè)牛鼻子，圓的問題就迎刃而解了.本文探討了圓中的基本模型.

一、垂徑定理模型

垂徑定理定理是圓中重要定理.其定理和推論可概括為①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣??；知二推三.由半徑，弦心距，半弦長(zhǎng)組成基本量三角形，如圖1，在這個(gè)直三角形中可應(yīng)用勾股定理.在解題中給出弦長(zhǎng)或給出弦心距時(shí)，要注意到這個(gè)垂徑定理模型的應(yīng)用.

例1 如圖2，已知：AB是⊙O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過C作CG∥AE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.求證：CG是⊙O的切線.

圖1圖2

分析要證CG是⊙O的切線，需連接OC,證明∠GCO=90°.題中給出C是劣弧AE的中點(diǎn)，由垂徑定理知OC滿足條件過圓心，平分劣弧.所以O(shè)C⊥AE.再由CG∥AE,可知∠GCO=90°，此題得證.

二、平行線相似模型(A字模型)

圖3圖4

例2 如圖4，AB是⊙O的直徑.半徑OD垂直弦AC于點(diǎn)E,F是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠CDB=∠BFD.

(1)判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明； (2)若AB=10,AC=8，求DF的長(zhǎng).

解析(1)∵∠CDB=∠CAB,∠CDB=∠BFD，∴∠CAB=∠BFD.∴AC∥DF.又由于OD⊥AC，可得∠FDO=90°,即DF與⊙O相切.

(2)由(1)問知AC∥DF,而DF在由上述平行線形成的A型相似中，所以如果知道這里的其它線段AE,EO,就可以由相似的比例關(guān)系，求出DF.

三、雙垂模型

在圓中，根據(jù)圓的性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角是直角，切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.圓中經(jīng)常會(huì)有垂直條件，因此在圓中雙垂模型(兩個(gè)垂直條件)如圖5，得到的線段或角的關(guān)系有著廣泛的應(yīng)用.

圖5圖6

例3 已知如圖10，在ΔABC中，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，且AD=CD.

(1)求證：AB=BC；

(2)過點(diǎn)B作⊙O的切線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，且CF=CD，求sin∠CAE的值.

解析(1)由于AB為直徑，所以∠ADB=90°，且AD=CD，由垂直平分線的性質(zhì)知AB=BC.

總之，對(duì)于圓的綜合題，是初中幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn).方法靈活多樣，需要我們?cè)诤粚?shí)基本定義定理的基礎(chǔ)上多多感受和總結(jié).如果能夠在復(fù)雜的圖形背景中識(shí)別出這些常見的幾何模型，將會(huì)對(duì)圓的綜合能力提高有很大幫助，希望本文這些歸納能對(duì)你的學(xué)習(xí)有所裨益，有柳暗花明之感，“圓”來是你.

[1]左文慧.淺析初中數(shù)學(xué)中圓的解題方法[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2016(10)：103.

[2]崔楓,鮑俊林.中學(xué)數(shù)學(xué)幾何課教學(xué)模式探討[J].中學(xué)教學(xué)參考,2013(2)：28.

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2017-07-01

何麗晶(1981.3-), 女, 黑龍江省佳木斯市,北京科技大學(xué)碩士，中學(xué)一級(jí) ,從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究.

[責(zé)任編輯李克柏]