薛 丹

(常州市清潭中學(xué)，江蘇 常州 215000)

兩點(diǎn)間距離公式在中考難題中的應(yīng)用

薛 丹

(常州市清潭中學(xué)，江蘇 常州 215000)

常州中考是“畢業(yè)考試”與“升學(xué)考試”兩卷合一，這就要求在命題上兼顧“水平測試”與“選拔性考試”的雙重功能，在這大背景下，中考能力題難度加大大勢所趨，這就更需要學(xué)生對初中數(shù)學(xué)知識能綜合靈活運(yùn)用，但某些難題如果借助高中數(shù)學(xué)知識可以輕易解決．因此，教師在日常教學(xué)中可以適當(dāng)介紹一些利用初中數(shù)學(xué)知識可推導(dǎo)得出的高中數(shù)學(xué)公式，譬如本文所涉及到的平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式．

中考；兩點(diǎn)間距離公式；應(yīng)用

一、預(yù)備知識

1.若兩點(diǎn)都在x軸上，且已知A(x1，0)，B(x2，0)時(shí)，有|AB|=|x2-x1|，即AB2=(x2-x1)2．

2.若兩點(diǎn)都在y軸上，且已知A(0,y1)，B(0,y2)時(shí)，有|AB|=|y2-y1|，即AB2=(y2-y1)2．

3.若已知兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1)，B(x2,y2)．作點(diǎn)A關(guān)于x軸的垂線，再作點(diǎn)B關(guān)于y軸的垂線，兩條垂線交于C點(diǎn)．如右圖：

顯然∠C=90°，這樣我們就構(gòu)造出了一個(gè)直角三角形ABC，而我們要求的AB就是這個(gè)直角三角形的斜邊.由題意得C(x1,y2)，則AC2=(y2-y1)2，BC2=(x2-x1)2.

即兩點(diǎn)間的距離等于這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的平方與這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差的平方和的算術(shù)平方根．

引例(1)已知A(3，0)，B(0，4)，求AB；(2)已知C(2，1)，D(-1，-1)，求CD.

解(1)AB2=(3-0)2+(0-4)2=25，則AB=5.

二、兩點(diǎn)間距離公式在中考難題中的應(yīng)用

1.數(shù)量關(guān)系

解由題意得：點(diǎn)A(2，0)，點(diǎn)B(0，1)，

2.最值問題

例2 (2014年常州市中考模擬第17題)已知點(diǎn)A(0，-4)、B(1，0)、C(a，-a)，若過點(diǎn)C的圓的圓心是線段AB的中點(diǎn)，則這個(gè)圓的半徑的最小值等于________．

解∵點(diǎn)A(0，-4)，B(1，0)，

∵點(diǎn)C(a，-a)在⊙O上，

3.等腰三角形

②若AB=BC，則AB2=BC2，即

4.直角三角形

例4 (2016年常州市一模第27題)如圖，已知直線y=x+b(b>0)與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C(1，0)，過點(diǎn)C作垂直于x軸的直線l．在直線l上取一點(diǎn)P，滿足PA=PB．點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，以D為圓心，DP為半徑作圓D．試說明：直線BP與圓D相切．

解由題意得：B(0,b)，D(2+b,0)，P(1,-1).

則BD2=(2+b)2+b2，PB2=12+(b+1)2，PD2=(b+1)2+12.

易得BD2=PB2+PD2，則DP⊥BP.

又∵BP經(jīng)過圓D半徑外端，

∴直線BP與圓D相切.

綜上所述，如果在平面直角坐標(biāo)系中線段兩端端點(diǎn)可用未知元素表示，則我們可以利用兩點(diǎn)間距離公式將其所對應(yīng)的線段長表示出來，線段長可表示即可尋找等量關(guān)系構(gòu)造方程進(jìn)行求解，從而將未知元素求出．而如果純粹使用初中數(shù)學(xué)知識對類似問題加以解決的話，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的識圖能力，能對初中數(shù)學(xué)知識加以綜合運(yùn)用，這樣的要求對絕大多數(shù)考生而言略高．所以教師在中考總復(fù)習(xí)中還應(yīng)適當(dāng)補(bǔ)充學(xué)生能理解能使用的簡單高中數(shù)學(xué)公式．

[1]李朝東.2013年江蘇十三大市中考試卷匯編[M].寧夏:寧夏人民教育出版社，2013.

G632

A

1008-0333(2017)23-0005-02

2017-07-01

薛丹(1980.12-)，男，江蘇常州人，中學(xué)一級教師，大學(xué)本科，主要研究中考解題技巧.

[責(zé)任編輯李克柏]