楊馬榮

(云南省曲靖市富源縣勝境街道第一中學(xué)，云南 曲靖 655500)

學(xué)會(huì)逆向思考，讓學(xué)習(xí)事半功倍

楊馬榮

(云南省曲靖市富源縣勝境街道第一中學(xué)，云南 曲靖 655500)

在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維非常重要，在學(xué)生們的學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到一些題目，這些題目看起來(lái)是不難，但是會(huì)感到無(wú)從下手，即使會(huì)做也要耗費(fèi)大量時(shí)間.但是如果學(xué)生們能夠熟練運(yùn)用逆向思維，做到事半功倍會(huì)是一件輕而易舉的事情.

化簡(jiǎn)為繁；反向推理；正難則反

逆向思維是初中教學(xué)過(guò)程中的難點(diǎn)，逆向思維的教學(xué)需要受到我們老師的高度關(guān)注.許多題目正面解決往往并不可行，耗費(fèi)了時(shí)間卻無(wú)法真正解決問(wèn)題，而且一些證明題直接證明對(duì)于學(xué)生也有難度，而通過(guò)逆向思考，不但可以大大節(jié)省時(shí)間，還能明晰學(xué)生的解題思路，只要花費(fèi)很少的時(shí)間就能解決問(wèn)題，真正做到事半功倍.

一、化簡(jiǎn)為繁，巧妙化簡(jiǎn)

對(duì)于一些分式化簡(jiǎn)的題目，直接地化簡(jiǎn)有時(shí)候會(huì)非常繁瑣，用常規(guī)的方法很難做出結(jié)果，但是如果此時(shí)根據(jù)實(shí)際題目，巧用逆向思維，往往會(huì)有意想不到的效果.

點(diǎn)撥對(duì)于本例，如果不能根據(jù)式子對(duì)1進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即使花費(fèi)大量時(shí)間，也不能得到正確的結(jié)果，本題的關(guān)鍵在于“1”的妙用，進(jìn)行反向思考，化簡(jiǎn)為繁，向后退一步的目的是為了邁出更大的一步.當(dāng)然化簡(jiǎn)中的反向思考也不僅僅局限于此，其它的數(shù)字，其它的式子也都可以反向思考，而這就需要細(xì)心觀察，做好積累.

二、反向推理，巧妙證明

對(duì)于平面幾何的證明題，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的老大難問(wèn)題，究其原因，學(xué)生的熟練程度固然是一個(gè)方面，另一方面就是學(xué)生對(duì)于反向推理比較陌生.如果學(xué)生能夠掌握反向推理，根據(jù)所給的結(jié)論進(jìn)行逆向推理，許多看似無(wú)法下手的證明題便會(huì)迎刃而解.

例2 如圖，AB=AD，CB=CD,E、F分別為AB、AD的中點(diǎn).求證：CE=CF.

解析本題看似條件充足，但是細(xì)看之后便會(huì)感覺(jué)無(wú)從下手，題干中所給的條件似乎無(wú)法聯(lián)系起來(lái)，此時(shí)不妨反其道而行，從所要證明的結(jié)論入手，進(jìn)行反向推理，然后可以發(fā)現(xiàn)題干中各個(gè)條件之間的聯(lián)系.

根據(jù)結(jié)論CE=CF，可以考慮什么條件下結(jié)論會(huì)成立，而根據(jù)已知條件CB=CD，BE=DF，自然而然的應(yīng)該知道△DFC≌△BEC，我們繼續(xù)反推，要想△DFC≌△BEC這一條件成立，要滿足什么條件呢？根據(jù)已知條件，已經(jīng)有兩條邊相等，需證明∠B=∠D，要想證明∠B=∠D，則可證明△ABC≌△ADC，我們可以添加輔助線AC，三邊相等，易得△ABC≌△ADC，然后剩下來(lái)的可以依次推倒，在此不再贅述.

點(diǎn)評(píng)在本例中，通過(guò)將所要證明的結(jié)論當(dāng)作已知條件，進(jìn)行反向推理，這樣做在推理過(guò)程中可以做到思路清晰，按部就班，對(duì)于此類證明題是很好的解決方法.學(xué)生掌握好反向推理，懂得逆向思維之后，對(duì)于此類平面證明題必然會(huì)游刃有余，不再慌亂.

三、正難則反，巧解實(shí)根

學(xué)生在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到一些問(wèn)題，這些問(wèn)題如果直接求解會(huì)有許多種情況需要考慮，需要耗費(fèi)很多時(shí)間，如果正面求解會(huì)使得學(xué)生本就寶貴的時(shí)間更加匱乏.這種情況下不妨從問(wèn)題的反面入手，通過(guò)仔細(xì)閱讀題目，找到問(wèn)題的反面，也許求解過(guò)程會(huì)容易許多，能夠事半功倍.

例3 假設(shè)一下三個(gè)方程x2-2mx+m2-m=0，x2-(4m-1)+4m2+m=0和4x2-(12m+4)x+9m2+8m+12=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求m的范圍.

解析題干中“至少有一個(gè)方程有實(shí)根”，這就會(huì)牽扯到很多情況，是哪一個(gè)方程呢？有幾個(gè)方程呢？有實(shí)根的方程是有幾個(gè)實(shí)根呢？如果將那些情況都一一考慮，既耗費(fèi)大量時(shí)間，又會(huì)容易做錯(cuò)，筆者認(rèn)為這種方法不可行，違背了數(shù)學(xué)思想中所追求的簡(jiǎn)潔.此時(shí)，如果我們從逆向思考，“至少有一個(gè)實(shí)根”它的反面不就是“一個(gè)實(shí)根也沒(méi)有”，故我們只需考慮“一個(gè)實(shí)根也沒(méi)有”的情況，然后在根據(jù)結(jié)果求出“至少有一個(gè)實(shí)根”條件下m的范圍.

假設(shè)題中三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，那么

點(diǎn)撥在本例中，通過(guò)考慮問(wèn)題的另一面，使得問(wèn)題的解決容易許多.筆者認(rèn)為，老師應(yīng)當(dāng)在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中提醒學(xué)生注意“至少”、“只有”等一些詞語(yǔ)，這些詞語(yǔ)的出現(xiàn)往往就意味著需要用到反向思維，學(xué)生們?nèi)绻茏⒁獾竭@一點(diǎn)，往往會(huì)少走許多彎路，節(jié)省本就寶貴的時(shí)間.

本文通過(guò)三個(gè)例子，論述了逆向思考的一些應(yīng)用，逆向思考在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用比較廣泛.要想訓(xùn)練學(xué)生的逆向思考能力，需要老師們的不斷努力，從日常的教學(xué)工作中總結(jié)、歸納和升華，讓學(xué)生們?nèi)轿坏馗惺苣嫦蛩季S，掌握逆向思維，讓學(xué)習(xí)事半功倍.

[1]趙春祥.補(bǔ)集思想在集合中的應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)理化,2013(07).

[2]韓承昀.怎么證明至少有一個(gè)方程有(無(wú))實(shí)根[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2013(03).

G632

A

1008-0333(2017)23-0025-02

2017-07-01

楊馬榮(1980.4-)，男，云南曲靖人，中學(xué)高級(jí)教師，大學(xué)本科，初中數(shù)學(xué)教學(xué).

[責(zé)任編輯李克柏]