徐珊　廖小勇

【摘要】我國(guó)當(dāng)前進(jìn)行的新課程改革，對(duì)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展提出了更高的要求.本文結(jié)合具體中學(xué)數(shù)學(xué)解題案例，淺述優(yōu)化數(shù)學(xué)教師MPCK的兩點(diǎn)啟示：（1）數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，教師應(yīng)將MPCK教育理論與教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合；（2）教師要建構(gòu)起自己的MPCK，將其內(nèi)化為教師解釋、認(rèn)識(shí)、評(píng)價(jià)教學(xué)解題方法教學(xué)過程的框架和模型，從而有助于數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步發(fā)展專業(yè)知識(shí)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教師；MPCK；數(shù)學(xué)解題；教學(xué)啟示

【基金項(xiàng)目】本文系黃岡市教育科學(xué)研究院研究生工作站研究項(xiàng)目“初中數(shù)學(xué)教師MPCK現(xiàn)狀調(diào)查與發(fā)展策略研究”（JSXM2016012）資助.此段話請(qǐng)務(wù)必保留。

【中圖分類號(hào)】O1-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）07-0191-02

一、研究背景及問題

20世紀(jì)80年代中期，美國(guó)著名教育家舒爾曼（Shulman）最早提出了“缺失的范式”（Missing Paradigm），即教師專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)理論，他把教師的專業(yè)知識(shí)分為七類，其核心是學(xué)科教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（Pedagogical Content Knowledge），簡(jiǎn)稱PCK。此后，國(guó)外許多學(xué)者對(duì)此作了大量研究。綜合其觀點(diǎn)：就數(shù)學(xué)教育而言，掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)并不能有效地促進(jìn)教師的專業(yè)發(fā)展，教師更需具備“MPCK”（Mathematics Pedagogical Content Knowledge）.它是三個(gè)基本集合MK、PK、CK的公共部分。其中，數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（Mathematics Knowledge）簡(jiǎn)稱MK，一般教學(xué)法知識(shí)（Pedagogical Knowledge）簡(jiǎn)稱PK，有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（Content Knowledge）簡(jiǎn)稱CK。

進(jìn)入21世紀(jì)，我國(guó)進(jìn)一步實(shí)施了教育新課程改革，對(duì)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展提出了更高的要求，其目的是讓教育滿足時(shí)代的教育需求。然而，在數(shù)學(xué)新課程改革的現(xiàn)階段，許多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)當(dāng)中仍然存在著教育學(xué)知識(shí)與學(xué)科知識(shí)保持著分離，教師在實(shí)際的學(xué)科教學(xué)實(shí)踐中難以結(jié)合所學(xué)的教學(xué)理論等問題。為此，國(guó)內(nèi)學(xué)者們關(guān)注并借鑒了舒爾曼所提出的PCK的概念，提出了運(yùn)用MPCK解決數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展和新課程改革中出現(xiàn)的教學(xué)相關(guān)問題。數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的核心問題就是發(fā)展他們MPCK，同時(shí)MPCK也是區(qū)分高水平教師與一般教師的重要特征之一。

一些專家學(xué)者和教師已經(jīng)對(duì)MPCK進(jìn)行了研究和實(shí)踐，如朱紅梅指出，教育體系不斷發(fā)展完善，學(xué)校注重學(xué)生的全面發(fā)展，PCK 對(duì)于促進(jìn)高質(zhì)量教學(xué)及培養(yǎng)教師的高素養(yǎng)有著重要作用[1]；鄭明筑以“函數(shù)的單調(diào)性”一課為例，基于PCK結(jié)構(gòu)談?wù)勅绾斡行У剡M(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)[2]；楊小麗選擇勾股定理這個(gè)內(nèi)容研究了數(shù)學(xué)教師MPCK[3]。賀明榮結(jié)合解題案例，提出了優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的MPCK，促進(jìn)專業(yè)發(fā)展的思考[4]；陳子薔、胡典順、何穗等人詳細(xì)的闡述了中國(guó)目前MPCK的研究背景、研究進(jìn)展、研究前瞻[5]；李渺、寧連華對(duì)MPCK的構(gòu)成成分表現(xiàn)形式及其意義進(jìn)行了論述，并指出MPCK 對(duì)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展意義重大，它有助于數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步加深對(duì)教師專業(yè)的認(rèn)識(shí)，有助于數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步發(fā)展專業(yè)知識(shí)[6]。

本文試結(jié)合具體數(shù)學(xué)解題案例，淺述如何優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的MPCK的教學(xué)啟示，以期幫助數(shù)學(xué)教師思考促進(jìn)專業(yè)發(fā)展問題，以期同行指正。

二、基于MPCK解題的案例分析

數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)，離不開數(shù)學(xué)解題，即使學(xué)生理解了數(shù)學(xué)概念、定理等，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)未必熟練掌握，也不一定能具有計(jì)算能力、數(shù)據(jù)處理能力、推理能力等。數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的鞏固只有在相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題情境中才能體現(xiàn)，學(xué)生必須通過處理相應(yīng)的問題，將數(shù)學(xué)知識(shí)和技能內(nèi)化，才能真正掌握。

下面我們將結(jié)合教學(xué)實(shí)例，基于MPCK結(jié)構(gòu)，談?wù)劷處煈?yīng)如何有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)。

例1.已知，求證.

MPCK（職前教師）：將二元轉(zhuǎn)化為一元進(jìn)行求解.因?yàn)?，所以，代入不等式左邊得?/p>

.

MK的視角：本題涉及教師對(duì)初中教學(xué)大綱的把握，并且涉及到二次函數(shù)最值得求解問題。

PK的視角：解題伊始，學(xué)生不知從何下手去解決這道題，只知道一個(gè)條件，就是，并且要求的問題中含有兩個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)都是2，像這類二元二次方程問題以前的學(xué)習(xí)中很少見過。因此，教師在講解的過程中，引導(dǎo)學(xué)生將二元轉(zhuǎn)化為一元進(jìn)行求解，降低運(yùn)算難度從而達(dá)到了簡(jiǎn)化題目的目的。在教學(xué)的方法上應(yīng)采用嘗試、探究，合理點(diǎn)撥等多種方式激發(fā)學(xué)生的思維。

CK的視角：當(dāng)前，初中數(shù)學(xué)教材對(duì)代數(shù)及函數(shù)有關(guān)知識(shí)的要求有所提升，初中生對(duì)這部分知識(shí)相對(duì)而言，其熟悉的程度不低，但運(yùn)用不夠靈活，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這部分的相關(guān)知識(shí)做適當(dāng)?shù)耐卣古c深化，體驗(yàn)滲透化歸、轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想方法。

MPCK（經(jīng)驗(yàn)教師）：將原問題，看成點(diǎn)P（1，1）到直線的距離問題?？梢钥闯牲c(diǎn)P（1，1）到直線上的點(diǎn)（a，b）的距離，即求兩點(diǎn)之間的距離的取值范圍。通過分析可知，點(diǎn)P（1，1）到直線的距離為點(diǎn)P（1，1）到直線上點(diǎn)（a，b）的距離的最小值。用點(diǎn)到直線的距離公式得：

MK的視角：本題涉及教師運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決的情況。

PK的視角：在具體的教學(xué)中，可引導(dǎo)學(xué)生觀察不等式的結(jié)構(gòu)特征，再通過引導(dǎo)學(xué)生的發(fā)散思維，將特征進(jìn)一步顯性化，教師可采取嘗試、探究、啟發(fā)等手段，以實(shí)現(xiàn)合理引入點(diǎn)到直線的距離計(jì)算，并利用點(diǎn)到直線的距離公式解題。

CK的視角：由于高中學(xué)生具有一定的認(rèn)知水平，可以讓他們?cè)诟橄笠饬x下認(rèn)識(shí)問題，體驗(yàn)解題的策略與方法。

例2.過橢圓內(nèi)一點(diǎn)（1，0），引動(dòng)弦AB，求AB的中點(diǎn)M的軌跡。

MPCK（職初教師）：設(shè)AB的斜率為k，得直線AB的方程，求點(diǎn)A，B坐標(biāo)，再求中點(diǎn)M坐標(biāo)，消去k，得軌跡方程。endprint

設(shè)過點(diǎn)D的直線AB的方程：………… （1）

又…………（2）

聯(lián)立（1）（2）兩式，可得：，整理得：.

所以：

.

從而，整理得：；

，整理得：.

所以有，因此點(diǎn)M的軌跡方程為.

MK的視角： 本題是教學(xué)大綱要求掌握的知識(shí)點(diǎn)，主要考察圓錐曲線的相關(guān)求解。

PK的視角： 在具體教學(xué)中，圓錐曲線這類題目有較為固定的解題方法，可引導(dǎo)學(xué)生自行探索解決，其思路雖簡(jiǎn)單，但運(yùn)算量較大；

CK的視角： 不同的學(xué)生對(duì)該題所采取的切入方式不盡相同，應(yīng)針對(duì)他們的認(rèn)知實(shí)際水平啟發(fā)他們對(duì)解決問題進(jìn)行方法的優(yōu)化與問題本身的適當(dāng)拓展。

MPCK（經(jīng)驗(yàn)教師）：設(shè)點(diǎn)，AB中點(diǎn)，則有

， …………（3）

且成立 .

由（3）式中兩式相減，可得： ，又 ，聯(lián)立兩式得：

.

MK的視角：線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式及圓錐曲線相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用，數(shù)學(xué)知識(shí)的橫向聯(lián)系，對(duì)問題的歸納與推廣。

PK的視角：本題涉及教師在解題教學(xué)中如何立足課本，將問題還原到學(xué)生已有的知識(shí)水平和思維層次下，如何從不同的角度看到全局，將所學(xué)知識(shí)連貫起來綜合解決問題。在實(shí)際教學(xué)中，可采取獨(dú)立思考與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，并注意啟發(fā)與引導(dǎo)等多種恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式。

CK的視角：對(duì)不同認(rèn)知水平的學(xué)生應(yīng)注意他們理解到什么程度，并能解決到何種層次等均需針對(duì)具體情況而定。

三、基于MPCK解題的教學(xué)啟示

1.數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，教師應(yīng)將MPCK教育理論與教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合

學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高的具體表現(xiàn)在于解題的質(zhì)量而非數(shù)量。顯然，分析和研究典型題目的解題思路、探究解題過程不僅是學(xué)生學(xué)會(huì)解題和掌握數(shù)學(xué)技能的有效途徑，而且對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維、提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力大有裨益。顯然，在數(shù)學(xué)解題方法研究的過程中我們必須將MPCK 運(yùn)用于整個(gè)教學(xué)過程中。有研究表明，經(jīng)驗(yàn)教師的MPCK較職前教師豐富，經(jīng)驗(yàn)教師更能了解學(xué)生在學(xué)習(xí)特定內(nèi)容方面的思維特點(diǎn)；在診斷學(xué)生的錯(cuò)誤概念方面，雖然職前教師也能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的錯(cuò)誤，但不能很好地揭示學(xué)生錯(cuò)誤的本質(zhì)，而經(jīng)驗(yàn)教師能夠根據(jù)知識(shí)之間的前后聯(lián)系，識(shí)別出學(xué)生錯(cuò)誤的根本原因，并能從相關(guān)概念的意義入手，通過多種表征方法，啟發(fā)學(xué)生理解概念的本質(zhì)。這正是MPCK教學(xué)理論與教學(xué)實(shí)踐是否相結(jié)合的具體表現(xiàn)。

總之，數(shù)學(xué)教師不僅自己要知道有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，而且還要在解題過程中向?qū)W生解釋這些數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際問題當(dāng)中。此外，數(shù)學(xué)教師還要知道學(xué)生的學(xué)習(xí)疑難點(diǎn)以及準(zhǔn)備用什么樣的教學(xué)策略來解決這些疑難點(diǎn)等等，所有這些都需要數(shù)學(xué)教師將數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)、學(xué)生思維特點(diǎn)方面的知識(shí)以及其他方面的知識(shí)融合起來，即需要MPCK。

2.教師要建構(gòu)起自己的MPCK，將其內(nèi)化為教師解釋、認(rèn)識(shí)、評(píng)價(jià)教學(xué)解題方法教學(xué)過程的框架和模型

MPCK不僅豐富了數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容，而且凸顯數(shù)學(xué)教師專業(yè)知識(shí)的發(fā)展途徑。解題是數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)基本功，在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師要學(xué)會(huì)并適應(yīng)將MPCK運(yùn)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。MPCK 的實(shí)踐性表明，教師知識(shí)的發(fā)展與教師的教學(xué)實(shí)踐緊密聯(lián)系。也就是說一名教師不可能僅僅通過閱讀有關(guān)MPCK的知識(shí)而成為一名優(yōu)秀教師，教師的學(xué)習(xí)離不開教學(xué)實(shí)踐。正如西方學(xué)者奧卡肖特所言：“（有種知識(shí)）僅存在于實(shí)踐中，并且獲取它的唯一方法是通過學(xué)徒制來掌握。這并不是因?yàn)閹煾的芙趟?，而是因?yàn)檫@種惟有通過持續(xù)不斷地與長(zhǎng)期以來一直實(shí)踐的人相接觸才能獲得?！蓖瑫r(shí)，在整個(gè)教學(xué)實(shí)踐學(xué)習(xí)過程中，教師需要仔細(xì)觀察優(yōu)秀教師的教學(xué)，用“心”學(xué)習(xí)其中的教學(xué)智慧，從而構(gòu)建自己的MPCK。這樣，才能使自己不斷獲得教育教學(xué)的真諦，才能使自己得到迅速的成長(zhǎng)。

教師一旦建構(gòu)起自己的MPCK，就會(huì)內(nèi)化為教師解釋、認(rèn)識(shí)、評(píng)價(jià)教學(xué)事件的框架和模型，并以這種框架或模型去分析、論證、評(píng)價(jià)教學(xué)中的問題，形成個(gè)人獨(dú)有的處理各種教學(xué)問題的原則和方法。正如人們常說的“教學(xué)既是科學(xué)也是藝術(shù)”，數(shù)學(xué)教學(xué)科學(xué)化即為數(shù)學(xué)教師的專業(yè)化，數(shù)學(xué)教師需要專門的職業(yè)訓(xùn)練，也要有特殊的職業(yè)要求。以上案例表明開展MPCK的研究，優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的MPCK對(duì)促進(jìn)教師的專業(yè)化成長(zhǎng)具有重要意義。我認(rèn)為，選擇代表性的案例對(duì)職初和在職教師進(jìn)行定期的專業(yè)化培訓(xùn)，從不同的角度向教師演繹高等數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的解題方法及數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)教師在初、高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)之間建立縱向聯(lián)系，豐富教師的數(shù)學(xué)內(nèi)容知識(shí)（MK）和數(shù)學(xué)教學(xué)方法知識(shí)（MPK），前移數(shù)學(xué)研究的立足點(diǎn)等，是幫助中學(xué)數(shù)學(xué)教師的MPCK的發(fā)展與重建，提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從一般教師向高水平教師轉(zhuǎn)化的一個(gè)有效途徑。

四、結(jié)語(yǔ)

以上案例表明基于MPCK開展的研究數(shù)學(xué)解題方法教學(xué)的質(zhì)量與數(shù)學(xué)教學(xué)的成敗有著直接的關(guān)系，優(yōu)化數(shù)學(xué)教師的MPCK對(duì)促進(jìn)教師的專業(yè)化成長(zhǎng)具有重要意義。教師不僅應(yīng)將MPCK教育理論與教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，而且教師要建構(gòu)起自己的MPCK，將其內(nèi)化為教師解釋、認(rèn)識(shí)、評(píng)價(jià)教學(xué)解題方法教學(xué)過程的框架和模型。這樣才能有助于數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步加深對(duì)教師專業(yè)的認(rèn)識(shí)，有助于教育學(xué)知識(shí)與學(xué)科知識(shí)更好的與教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，有助于數(shù)學(xué)教師進(jìn)一步發(fā)展專業(yè)知識(shí)。

參考文獻(xiàn)

[1]朱紅梅.PCK 視角下初中數(shù)學(xué)若干難點(diǎn)概念教學(xué)的研究[J].中學(xué)生數(shù)理化·教與學(xué)，2015，（6）：67.

[2]鄭明筑.PCK視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)——以“函數(shù)的單調(diào)性”一課為例[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2016，35（6）：16-19.

[3]楊小麗.勾股定理的MPCK內(nèi)涵解析[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2011，50（3）：40-43.

[4]賀明榮.淺析MPCK視角下的解題教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2013，（19）：27-29.

[5]陳子薔，胡典順，何穗.中國(guó)目前MPCK研究綜述[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（5）：15-18.

[6]李渺，寧連華.數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識(shí)（MPCK）的構(gòu)成成分表現(xiàn)形式及其意義[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（2）：10-14.endprint