☉江蘇省如東高級中學(xué) 施建新

一道拋物線問題的多角度探究

☉江蘇省如東高級中學(xué) 施建新

數(shù)學(xué)是思維的體操.筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)通過對問題的多角度變式探究能激發(fā)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的熱情，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面以一道拋物線問題為例談?wù)劰P者的一些嘗試和思考，與同行共同探討.

圖1

引例 如圖1，已知直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點，經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D.

（1）若直線l的斜率為1，求線段AB的長

（2）求證：直線BD平行于拋物線的對稱軸.

本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，直線與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用，根與系數(shù)的關(guān)系，以及直線平行的判定，同時考查考生的準(zhǔn)確推理及計算能力.下面從解法展示、結(jié)論探究、變式拓展等角度，對問題進(jìn)行分析.

一、解法展示

解析：（1）拋物線y2=4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，所以直線AB的方程為y=x-1，與拋物線方程y2=4x聯(lián)立得x2-6x+1=0.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=6，x1·x2=1.

由拋物線的定義可知|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=8.

設(shè)直線AB的方程為x=my+1，與拋物線方程y2=4x聯(lián)立，得y2-4m-4=0，所以yy=-4，即y=-，所以y=y.所122D2以直線BD平行于拋物線的對稱軸.

評注：處理解析幾何問題的核心方法——坐標(biāo)法.求解中將直線與x軸平行問題轉(zhuǎn)化為兩點縱坐標(biāo)相等，借助根與系數(shù)的關(guān)系，整體代換求解.

方法2：如圖2，過點A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E.設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），由拋物線的定義可知|AE|=|AF|=x1+1，|BF|=x2+1.

設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點為M，由題意易知Rt△AED∽Rt△OMD，所以=1+x.1

圖2

設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），與拋物線方程聯(lián)立，得k2x2-（2k+4）x+k2=0，所以x1x2=1，所以=0，即，所以DB平行于x軸.

二、結(jié)論探究

在順利完成問題的解答后，可將問題引申，繼續(xù)探討這一結(jié)論在一般的拋物線方程是否成立？教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，此一般結(jié)論恰好是人教A版《選修2-1》中的一道例題，筆者的想法與教材不謀而合.

例1過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，如圖2，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

解法1：（教材提供）不妨設(shè)拋物線的方程為y2=2px（p＞0），設(shè)點A，y），則直線OA的方程為y=x（y≠0）.00

所以DB平行于x軸，結(jié)論成立.

評注：本題B點縱坐標(biāo)的求解，也可采用引例中的方法，即設(shè)直線AB的方程為x=my+，代入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得y0yB=-p2，即yB=-進(jìn)而簡潔證明欲證結(jié)論.

解法2：如圖2，過點A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為E.設(shè)點A（x1，y1），B（x2，y2），由拋物線的定義可知|AE|=|AF|=x1+，|BF|=x+2

評注：本解法從幾何關(guān)系入手，結(jié)合拋物線的定義，以三角形相似為切入點，將問題BD平行于x軸，轉(zhuǎn)化為，從而輕松解決.

三、變式拓展

例2過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，通過點B作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D，連接AD，證明直線AD經(jīng)過拋物線的頂點.

解法1：不妨設(shè)拋物線方程為y2=2px，A（x1，y1），B（x2，y2），因為BD平行于x軸，所以點D（），接下來證明直線AD經(jīng)過點O.

解法2：設(shè)A（x，y），B（x，y），AB方程為x=my+，代1122入拋物線方程得y2-2pmy-p2=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2=-p2，y1+y2=2pm.①

問題得證.

評注：拋物線焦點弦的性質(zhì)：過焦點的直線與拋物線交于兩點，則兩點的橫坐標(biāo)之積為定值，縱坐標(biāo)之積為定值-p2.當(dāng)直線斜率不存在時，此結(jié)論仍成立.解題中可直接應(yīng)用此結(jié)論.

綜上，對一道問題從多種角度進(jìn)行探究，有利于學(xué)生鞏固，并靈活應(yīng)用所學(xué)知識.教學(xué)中教師要注重引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行變式、拓展，由此及彼、觸類旁通，有助于學(xué)生將所學(xué)知識系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，進(jìn)而提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力.