☉四川省資中縣第二中學(xué) 李英剛

一道高考題的解法剖析

☉四川省資中縣第二中學(xué) 李英剛

2017年高考已經(jīng)落下帷幕，閑暇之余，做些整理歸類之事.在2017年新課標(biāo)Ⅱ理科數(shù)學(xué)高考卷上，發(fā)現(xiàn)一道求異面直線所成角的題目，有些隨想，寫下來，與讀者共勉.

題目 （2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理10）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（ ）.

本題主要考查了直三棱柱的概念、異面直線所成角、余弦定理的應(yīng)用等主干知識，涉及知識面廣，解題方法多元化，全面考查了學(xué)生分析問題及解決問題的綜合能力，對提高學(xué)生的綜合發(fā)散思維能力及數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大幫助.

要正確解決本題，學(xué)生必須認真讀題、審題，了解該題所涉及的知識點，并能夠正確回憶出相關(guān)概念、公式：

（1）直三棱柱.側(cè)棱與底面垂直的三棱柱叫直三棱柱.學(xué)生如若對直三棱柱理解不到位，就不能正確畫出本題的具體圖形，更無法求出相關(guān)線段的長度，那么此題就無法正確解答下去.

（2）異面直線所成角.在異面直線所成角的定義中，空間中的點O是任意選取的，異面直線a和b所成角的大小，與點O的位置無關(guān)，且異面直線所成角的取值范圍是（0，].

求異面直線所成角的基本思路是：通過平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的兩條相交直線，進而利用平面幾何知識求解.

（3）余弦定理公式.在立體幾何中，計算相關(guān)線段長度、三角形的內(nèi)角大小時，余弦定理是必不可少的重要工具.

學(xué)生只有對上述知識點有了清晰的認識與掌握之后，才能進入到后續(xù)的解題，當(dāng)然，解題思路與方法的選擇與學(xué)生個人對相關(guān)知識的掌握和熟練程度有關(guān).下面給出三種思路下的解題策略.

一、平移法

平移法就是通過平移作出這兩條異面直線所成角.

簡析：如圖1，分別取線段BB1的中點D，線段B1C1的中點E，線段AB的中點F，連接DE，DF，EF，這樣，利用中位線將異面直線AB1與BC1所成角轉(zhuǎn)化成相交直線DE與DF所成角.易求得，DF=，DE=，EF=，由余弦定理得cos∠EDF=-，所以異面直線與BC所成角的余弦值為，選C.1

圖1

點評：平移法的基本方法就是通過平行線將兩條異面直線轉(zhuǎn)化成同一平面的兩條相交直線，然后在三角形中求角.本題借助了三角形中的中位線來達到平移的效果，涉及了由空間向平面轉(zhuǎn)化的思想.

二、補形法

補形法是立體幾何中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理.

圖2

簡析：如圖2，在直三棱柱ABCA1B1C1上補上一個相同的直三棱柱，使之變成直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，連接DB，DC1，易證得DC1∥AB1，這樣，就將異面直線AB1與BC1所成角轉(zhuǎn)化成相交直線BC1與DC1所成角.易求得BD=，BC1=，DC1=，由余弦定理得cos∠BCD=，所以異面直線AB與BC所成角的余111弦值為，選C.

點評：利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一.本題正是通過補形，將直三棱柱補成一個直四棱柱，這樣容易將兩條異面直線轉(zhuǎn)化到同一平面中.

三、向量法

向量法，即在規(guī)則的幾何體中，利用空間向量，將兩條異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化成直線的方向向量所成角的問題.

圖3

點評：準(zhǔn)確地建系，寫出向量坐標(biāo)，就成功了一大半，然后利用向量中的夾角公式求夾角，最后注意理清異面直線所成角與向量夾角之間的關(guān)系，以及異面直線所成角的范圍既可.

異面直線所成角是立體幾何中重要的概念之一，也是度量空間兩條直線位置關(guān)系的重要工具，因此，在高考中備受青睞.但是，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分知識時，由于缺乏良好的空間想象能力和一定的識圖、作圖能力，常遇到異面直線的概念難以理解、異面直線所成角無法準(zhǔn)確判斷、角的大小不知如何計算等問題，所以，在平時教學(xué)時，要多多強化訓(xùn)練.其中，傳統(tǒng)的平移法，通常都需要作輔助線，并且要進行大量的轉(zhuǎn)化，向量法將問題的處理變得輕松起來，降低了思維難度，可以有效提高正確率.