☉江蘇省包場(chǎng)高級(jí)中學(xué) 龔 亮

一道?？碱}的解法賞析

☉江蘇省包場(chǎng)高級(jí)中學(xué) 龔 亮

高中數(shù)學(xué)教學(xué)是讓學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，培養(yǎng)解決問題的能力.這樣的目的需要我們緊緊抓住數(shù)學(xué)知識(shí)的概念并深刻理解，不斷思考解決問題的方法并變換角度進(jìn)行比較分析，尋找最合理的解決問題的方法，通過這樣的變化才能培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力.然而現(xiàn)行的高中教學(xué)普遍存在一個(gè)現(xiàn)象，即將學(xué)數(shù)學(xué)與做題目等同起來.下面筆者通過一道題的解法探究，提高學(xué)生對(duì)這道題的理解，增加解題經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)教學(xué)的一點(diǎn)啟示.

圖1

一、專題呈現(xiàn)

題目 如圖1，某城市有一塊半徑為1（單位：百米）的圓形景觀，圓心為C，有兩條與圓形景觀相切且互相垂直的道路.最初規(guī)劃在拐角處（圖中陰影部分）只有一塊綠化地，后來有眾多市民建議在綠化地上建一條小路，便于市民快捷地往返兩條道路.規(guī)劃部門采納了此建議，決定在綠化地中增建一條與圓C相切的小道AB.問：A，B兩點(diǎn)應(yīng)選在何處可使得小道AB最短？

這是一道模擬考試題，全班答題情況很不理想.筆者課后及時(shí)了解學(xué)生解決這個(gè)問題的知識(shí)儲(chǔ)備和方法掌握情況，調(diào)查學(xué)生的典型解法和錯(cuò)誤，分析解法形成的思維過程和錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源.利用上課時(shí)間和學(xué)生一起交流分析，暴露學(xué)生的思維，讓學(xué)生正真體會(huì)到成功的快樂.

圖2

二、解法賞析

解法1：由題意，分別以兩條道路所在直線建立直角坐標(biāo)系xOy，如圖2，設(shè)A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），則直線AB的方程為=1，即bx+ay-ab=0.因?yàn)橹本€AB與圓C相切，得=1，化簡得ab=2（a+b）-2.利用公式（a+b）2=a2+2ab+b2來消除差異，目標(biāo)可化為AB==|a+b-2|.因?yàn)?＜a＜1，0＜b＜1，所以AB=2-（a+b）.又ab=2（a+b）-2≤，解得0＜a+b≤4-2，或a+b≥4+2.因?yàn)?＜a+b＜2，所以0＜a+b≤4-2，即AB=2-（a+b）≥2-（4-2）=2-2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2-時(shí)取等號(hào)，所以AB的最小值為2-2，此時(shí)a=b=2-

學(xué)生：我是用斜截式表示直線AB的方程，解法如下：

圖3

解法3：設(shè)切點(diǎn)為D，令BD=x，AD=y，x，y∈（0，1），則AB=x+y，OB=1-x，OA=1-y，如圖3，得（1-x）2+（1-y）2=（x+y）2，則=x+y，由基本不等式，得x+y≥［2-（x+y）］，化簡得（+1）（x+y）≥2，即x+y≥，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào).

解題簡捷、美觀、迅速，要善于觀察圖形，尋找圖形中隱含的信息，巧妙利用切線的性質(zhì)以及圖形的對(duì)稱性，問題便迎刃而解.

引入角來分析和表達(dá)目標(biāo)函數(shù)，再借助于基本不等式或?qū)?shù)知識(shí)求解目標(biāo)即可

解法5：如圖4，連接CE，CA，CD，CB，CF.設(shè)AB=l，∠BAO=θ，θ∈），在Rt△OAB中，OB=lsinθ，OA=lcosθ，由題意得OB+BF=OA+AE=1，BD=BF，AD=AE，得OB+BD+AD+OA=2，即OA+OB+AB=2，得lcosθ+lsinθ+l=2，所以AB=時(shí)，此時(shí)OA=OB=2-

圖4

圖5

以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，借助于切線方程求解目標(biāo)，為本題提供了一個(gè)獨(dú)特的思維視角，另外，多思少算的思想要應(yīng)用于解題中，通過優(yōu)化我們的思維路徑，提高解題的速度和準(zhǔn)確率.

三、教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)知識(shí)的起點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念，數(shù)學(xué)概念就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，它是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).解決數(shù)學(xué)問題都應(yīng)該從正確理解概念出發(fā)，抓住概念的本質(zhì)，這樣才能幫助我們更好地制定出解決問題的策略，教學(xué)中緊緊抓住數(shù)學(xué)概念的來龍去脈，將有利于我們深刻地理解知識(shí).本節(jié)課，采用了教師和學(xué)生共同參與、討論的做法，讓先行訂正、思考，再全班合作探究，然后教師依據(jù)情況再參與進(jìn)來，進(jìn)行生與生、師與生的交流.通過這些活動(dòng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極能動(dòng)性，激活學(xué)生的觀念和感性經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生源源不斷的學(xué)習(xí)動(dòng)力.整體看，整節(jié)課條理清晰，貼合學(xué)生的認(rèn)知心理，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生積極思考、分析、歸納、反思的方法和習(xí)慣，這對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力后續(xù)提升非常有益.通過“一題多解”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)選擇解題方法，優(yōu)化解題過程，體會(huì)到“變中不變”的通性通法問題解決策略.同時(shí)也大大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提升了他們的解題能力，也提高了課堂教學(xué)的有效性.