☉江蘇省南京市金陵中學(xué) 馬志鋼

基于直觀想象素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)解題教學(xué)

☉江蘇省南京市金陵中學(xué) 馬志鋼

2017年高考降下了帷幕，對(duì)浙江省來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)考試首次文理合卷，考試內(nèi)容作了調(diào)整，考試要求進(jìn)行了新的定位，仔細(xì)分析今年的浙江省數(shù)學(xué)試卷，我們很容易發(fā)現(xiàn)，對(duì)于“直觀想象素養(yǎng)”的考查上升到前所未有的高度.縱觀整張?jiān)嚲?，或多或少、或明或暗都留下了“直觀想象”的影子，很多題目根本不需要直接計(jì)算就能獲得答案.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.［1］和抽象一樣，直觀想象是認(rèn)識(shí)事物的基本方式.直觀想象素養(yǎng)包含了直觀洞察、幾何直觀、空間想象三大能力，和抽象不同，直觀想象簡(jiǎn)單、直接（付諸感官），容易掌握和使用.［2］那么在教學(xué)實(shí)踐中我們?cè)撊绾谓柚庇^想象開(kāi)展數(shù)學(xué)解題教學(xué)呢？下面筆者就結(jié)合今年的浙江省數(shù)學(xué)高考題，談?wù)剬?duì)此的看法.

一、理解圖形性質(zhì)，迸發(fā)直觀洞察

數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象之一就是圖形.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助圖形不僅可以更簡(jiǎn)單、直接地刻畫(huà)和描述問(wèn)題，而且有助于尋找和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，探索和形成思路，記憶和理解知識(shí)，以及建立良好直覺(jué)，進(jìn)而揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)規(guī)律.因此，對(duì)圖形性質(zhì)的理解是直覺(jué)產(chǎn)生的源泉，是直觀洞察力迸發(fā)的載體.直觀洞察力是在情境所展現(xiàn)的圖形信息被學(xué)生獲取后，在學(xué)生能夠?qū)@取的信息與自己原有的知識(shí)體系建立相應(yīng)的鏈接關(guān)系，從而解決問(wèn)題的一種能力.通俗的講，直觀洞察力就是我們通常所說(shuō)的“解題直覺(jué)”.

例1（第7題）函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖像如圖1所示，則函數(shù)y=f（x）的圖像可能是圖2中的（ ）.

圖1

圖2

分析：此題考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖像之間的關(guān)系.根據(jù)它們圖像之間的基本性質(zhì)：導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的正負(fù)反映原函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)和原函數(shù)的極值密切相關(guān)，因此很容易選出答案為D.

例2（第5題）若函數(shù)f（x）=x2+ax+b在區(qū)間［0，1］上的最大值是M，最小值是m，則M-m（ ）.

A.與a有關(guān)，且與b有關(guān)

B.與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)

C.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)

D.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)

分析：此題若直接求解二次函數(shù)的最值，顯然計(jì)算量比較大，若從函數(shù)圖像變換的視角進(jìn)行分析就很容易獲得答案.函數(shù)f（x）=x2+ax+b中，b決定圖像上下平移，同時(shí)影響函數(shù)值的變化，而M-m是兩個(gè)函數(shù)值的差，所以與b無(wú)關(guān).a的變化決定函數(shù)圖像左右平移，分別影響了最大值和最小值，所以與a有關(guān).正確答案是B.

由此可見(jiàn)，基本圖形性質(zhì)理解與掌握是直觀洞察力的必要基礎(chǔ)，比如基本函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)，像一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等；直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)圖形的性質(zhì)等.有了扎實(shí)的基礎(chǔ)，就可以利用圖形的對(duì)稱(chēng)、平移變換等特性.直覺(jué)洞察力有利于快速找到解決問(wèn)題的突破口.

二、建立數(shù)形聯(lián)系，展現(xiàn)幾何直觀

數(shù)與形并不是對(duì)立的，而是在一定條件下可以實(shí)現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化.數(shù)量關(guān)系獲得幾何解釋?zhuān)梢允箚?wèn)題變得直觀易懂；幾何問(wèn)題的代數(shù)化，可以使幾何直覺(jué)，合情推理等轉(zhuǎn)化為程序化操作的代數(shù)運(yùn)算，有助于實(shí)現(xiàn)化難為易的目的，并使學(xué)生獲得對(duì)問(wèn)題的精確化、理性化的理解.展現(xiàn)幾何直觀，可以為復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題提供簡(jiǎn)潔的解決思路.

圖3

例3（第10題）如圖3，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點(diǎn)O.記，則（ ）.

A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2

C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I3

分析：本題是選擇題的壓軸題，若要進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證確實(shí)有一定的難度.但對(duì)于選擇題而言，本著“小題小做”的原則，我們借助圖像，直接利用數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行分析就很容易獲得答案.根據(jù)向量的夾角為鈍角，數(shù)量積小于0的幾何性質(zhì)，可得I1＜0，I2＞0，I3＜0，再比較向量的長(zhǎng)度發(fā)現(xiàn)，所以選C.

例4（第15題）已知向量a，b滿(mǎn)足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是_______，最大值是______.

圖4

解題中，學(xué)生經(jīng)常很難找到解題方法的突破口，究其原因是對(duì)一些數(shù)學(xué)結(jié)論的幾何意義理解不夠透徹，或?qū)?shù)學(xué)結(jié)論之間的幾何關(guān)系理解不夠深入.數(shù)學(xué)中的大部分概念、公式及定理等都有著數(shù)與形的雙重特征，通過(guò)建立數(shù)形之間的聯(lián)系來(lái)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而在解題中起到化繁為簡(jiǎn)的作用.

三、立足幾何模型，發(fā)揮空間想象

幾何模型就是從形狀的視角描述現(xiàn)實(shí)世界的物體，經(jīng)過(guò)抽象得到的空間幾模型不僅蘊(yùn)含了空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的一些特殊關(guān)系，而且為學(xué)生提供了直觀的、具體的、熟悉的幾何研究對(duì)象.以這些幾何模型為基本載體，發(fā)揮空間想象是獲得解題思路的關(guān)鍵.

例5（第9題）如圖5，已知正四面體D-ABC，P，Q，R分別為邊AB，BC，CA上的點(diǎn)，AP=PB=2，分別記二面角D-PR-Q，D-PQ-R，D-QR-P的平面角為α，β，γ，則（ ）.

圖5

圖6

A.γ＜α＜βB.α＜γ＜β

C.α＜β＜γD.β＜γ＜α

分析：此題關(guān)鍵是把三個(gè)二面角的平面角作出來(lái).根據(jù)正四面體模型的幾何性質(zhì)展開(kāi)空間想象.D點(diǎn)在底面ABC的投影為正三角形ABC的中心，設(shè)為O.根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，每個(gè)二面角的平面角所在的直角三角形都有相同的直角邊DO.那么，二面角的大小問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為底面正三角形的中心到二面角棱的距離d1，d2，d3的大小問(wèn)題，如圖6所示，容易得知d3＜d1＜d2，即α＜γ＜β.

圖7

例6（第19題）如圖7，已知四棱錐P-ABCD，△PAB是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn).

（1）證明：CE∥平面PAB；

（2）求直線(xiàn)CE與平面PBC所成角的正弦值.

分析：立體幾何解答題一般可以通過(guò)幾何法或向量法加以解決，但對(duì)于此題而言，兩種方法的解題過(guò)程都不能很順利完成，原因是題中人為地制造了一些解題“障礙”.若用幾何法，直線(xiàn)CE到面PBC的垂線(xiàn)很難做出；若用向量法，點(diǎn)P到面ABCD的垂線(xiàn)也不容易作出.因此，要徹底解決此題，關(guān)鍵是要充分利用“二面角平面角所在平面”這個(gè)幾何模型展開(kāi)空間想象.

圖8

方法1：（幾何法）分別取BC、AD的中點(diǎn)M、N，連接PN交EF于點(diǎn)Q，連接MQ，如圖8所示.易得BC⊥面PBN，所以面PBC⊥面PBN.

過(guò)點(diǎn)Q作PB的垂線(xiàn)，垂足為H，連接MH，則MN是MQ在面PBC上的射影，所以∠QMH是直線(xiàn)CE與平面PBC所成的角.

方法2：（向量法）如圖9，過(guò)點(diǎn)P作BN的垂線(xiàn)，垂足為O，過(guò)O點(diǎn)在面ABCD內(nèi)作AD的平行線(xiàn)OG，以O(shè)為原點(diǎn)，OP、OB、OG為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系.

圖9

總之，直觀想象是數(shù)學(xué)思維能力在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的主要體現(xiàn)，借助直觀想象，可以降低數(shù)學(xué)解題的門(mén)檻，能夠使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，有助于學(xué)生探索新思路、新方法，能夠幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解和認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，從而促進(jìn)學(xué)生理性認(rèn)識(shí)的生成.

1.胡云飛.基于提升直觀想象素養(yǎng)的立體幾何法則課的設(shè)計(jì)與反思［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016（12）.

2.沈金興，王奮平.從PME視角看直觀想象素養(yǎng)及其培養(yǎng)［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2017（4）.