江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 李玉榮 (郵編:210019)

走進(jìn)壓軸題的“一線三等角”

江蘇省南京金陵中學(xué)河西分校 李玉榮 (郵編:210019)

1 基本模型

文[1]、[2]把下面一個(gè)幾何基本圖形稱為“一線三等角模型”:

圖1

如圖1,直線l上有三點(diǎn)A、B、C,且 ∠DAC＝∠DCE＝∠CBE＝90°,則△DAC∽ △CBE．特別地,當(dāng)DC＝CE 時(shí),△DAC≌△CBE．我們把具有此特征的圖形稱為“一線三等角模型”．

2 中考?jí)狠S題

例1(2017年揚(yáng)州卷)如圖2,已知正方形ΑΒCD的邊長為4,點(diǎn)Ρ是ΑΒ邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接CΡ,過點(diǎn)Ρ作ΡC的垂線交ΑD于點(diǎn)Ε,以ΡΕ為邊作正方形ΡΕFG,頂點(diǎn)G在線段ΡC上,對(duì)角線ΕG、ΡF相交于點(diǎn)Ο．

(1)若ΑΡ＝1,則ΑΕ＝_________________;

(2)①求證:點(diǎn)Ο一定在 △ΑΡΕ的外接圓上;

②當(dāng)點(diǎn)Ρ從點(diǎn)Α運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Β時(shí),點(diǎn)Ο也隨之運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)Ο經(jīng)過的路徑長;

(3)在點(diǎn)Ρ從點(diǎn)Α到點(diǎn)Β的運(yùn)動(dòng)過程中,△ΑΡΕ的外接圓的圓心也隨之運(yùn)動(dòng),求該圓心到ΑΒ邊的距離的最大值．

分析(1)、(2)①、②略;

圖2

備用圖

(3)易知△ΑΡΕ的外接圓的圓心為PE的中點(diǎn)M,作MH⊥AB于H,產(chǎn)生“一線三等角模型”,圓心到ΑΒ邊的距離為MH,求MH的最大值可借助二次函數(shù)求解．

解(3)取EP的中點(diǎn)M,則M為 △ΑΡΕ的外接圓的圓心,作MH⊥AB于H,則PA＝2PH．

設(shè)PH＝x,MH＝y(tǒng),則PB＝4－2x,根據(jù)“一線三等角模型”知△MHP∽△PBC,得MH PB,即

例2(2017年南京卷)折紙的思考．

【操作體驗(yàn)】

用一張矩形紙片折等邊三角形．

第一步,對(duì)折矩形紙片ABCD(AB＞BC)(圖①),使AB與DC重合,得到折痕EF,把紙片展平(圖②)．

第二步,如圖③,再一次折疊紙片,使點(diǎn)C′落在EF上的P處,并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BG,折出PB、PC,得到△PBC．

(1)說明△PBC是等邊三角形．

【數(shù)學(xué)思考】

(2)如圖④．小明畫出了圖③的矩形ABCD和等邊三角形PBC．他發(fā)現(xiàn),在矩形ABCD中把△PBC經(jīng)過圖形變化,可以得到圖⑤中的更大的等邊三角形．請描述圖形變化的過程．

(3)已知矩形一邊長為3cm,另一邊長為acm．

對(duì)于每一個(gè)確定的a的值,在矩形中都能畫出最大的等邊三角形．請畫出不同情形的示意圖,并寫出對(duì)應(yīng)的a的取值范圍．

【問題解決】

(4)用一張正方形鐵片剪一個(gè)直角邊長分別為4cm和1cm的直角三角形鐵片,所需正方形鐵片的邊長的最小值為______cm．

分析(1)、(2)、(3)略;

(4)由(2)、(3)積累的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),可知點(diǎn)P落在AD上時(shí),所需正方形鐵片的邊長最小,此時(shí)圖中出現(xiàn)“一線三等角模型”．

解(4)如圖⑥,點(diǎn)P在AD上,Rt△BPE中,∠BEP＝90°,BE＝4cm,PE＝1cm．

例3(2017年無錫卷)如圖,已知矩形ΑΒCD中,ΑΒ＝4,ΑD＝m．動(dòng)點(diǎn)Ρ從點(diǎn)D出發(fā),在邊DΑ上以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)Α運(yùn)動(dòng),連接CΡ,作點(diǎn)D關(guān)于直線ΡC的對(duì)稱點(diǎn)Ε．設(shè)點(diǎn)Ρ的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts()．

(1)若m＝6,求當(dāng)Ρ、Ε、Β三點(diǎn)在同一直線上時(shí)對(duì)應(yīng)的t的值．

(2)已知m滿足:在動(dòng)點(diǎn)Ρ從點(diǎn)D到點(diǎn)Α的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,有且只有

一個(gè)時(shí)刻t,使點(diǎn)Ε到直線ΒC的距離等于3,求所有這樣的m的取值范圍．

分析(1)略;

(2)此題需分兩種情形,找到點(diǎn)P的極端位置(與點(diǎn)A重合),求出AD的值,即可解決問題:①如圖2中,當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí),點(diǎn)E在BC的下方,點(diǎn)E到BC的距離為3．②如圖3中,當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí),點(diǎn)E在BC的上方,點(diǎn)E到BC的距離為3,兩種情況都與“一線三等角模型”密切相關(guān)．

圖2

解(2)如圖2中,當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí),點(diǎn)E在BC的上方,點(diǎn)E到BC的距離為3．

作EG⊥BC于G,延長GE交DA于F．則EG＝3,CE＝DC＝4,

圖3

如圖3中,當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí),點(diǎn)E在BC的下方,點(diǎn)E到BC的距離為3．

作EF⊥DC于F,延長FE交AB于G．則CF＝BG＝3,AG＝7,所以

根據(jù)“一線三等角模型”知△PGE∽△ECF,

解得GE＝37,即AD＝GF＝47．

綜上所述,在動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)A的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中,有且只有一個(gè)時(shí)刻t,使點(diǎn)E到直線BC的距離等于3,這樣的m的取值范圍

例4(2017市臺(tái)州卷)在平面直角坐標(biāo)系中,借助直角三角板可以找到一元二次方程的實(shí)數(shù)根,比如對(duì)于方程x2－5x＋2＝0,操作步驟是:

第一步:根據(jù)方程系數(shù)特征,確定一對(duì)固定點(diǎn)A(0,1),B(5,2);

第二步:在坐標(biāo)平面中移動(dòng)一個(gè)直角三角板,使一條直角邊恒過點(diǎn)A,另一條直角邊恒過點(diǎn)B;

第三步:在移動(dòng)過程中,當(dāng)三角板的直角頂點(diǎn)落在x軸上點(diǎn)C處時(shí),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)m,即為該方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根(如圖4);

第四步:調(diào)整三角板直角頂點(diǎn)的位置,當(dāng)它落在x軸上另一點(diǎn)D處時(shí),點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為n即為該方程的另一個(gè)實(shí)數(shù)根．

(1)在圖5中,按照“第四步“的操作方法作出點(diǎn)D(請保留作出點(diǎn)D時(shí)直角三角板兩條直角邊的痕跡);

(2)結(jié)合圖4,請證明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一個(gè)實(shí)數(shù)根;

(3)上述操作的關(guān)鍵是確定兩個(gè)固定點(diǎn)的位置,若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0,b2－4ac≥0)的實(shí)數(shù)根,請你直接寫出一對(duì)固定點(diǎn)的坐標(biāo);

(4)實(shí)際上,(3)中的固定點(diǎn)有無數(shù)對(duì),一般地．當(dāng)m1、n1、m2、n2與a、b、c之間滿足怎樣的關(guān)系時(shí),點(diǎn)P(m1,n1),Q(m2,n2)就是符合要求的一對(duì)固定點(diǎn)?

圖4

圖5

分析(1)略;(2)根據(jù)∠ACB＝∠AOC＝90°,聯(lián)想到過點(diǎn)B作x軸的垂線構(gòu)造“一線三等角模型”,將問題轉(zhuǎn)化為相似三角形求解,在此基礎(chǔ)上領(lǐng)悟方法,即可解決問題(3)、(4)．

解(1)略;

(2)證明:在圖6中,過點(diǎn)B作BD⊥x軸,交x軸于點(diǎn)D．

根據(jù)“一線三等角模型”,知△AOC∽△CDB．

圖6

所以m是方程x2－5x＋2＝0的實(shí)數(shù)根．

(3)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可化為x2＋,模仿研究小組作法可得:A(0,1),或等．

圖7

(4)以圖7為例:P(m1,n1)、Q(m2,n2),

設(shè)方程的根為x,根據(jù)“一線三等角模型”,利用相似三角形得,上式可化為x2－(m1＋m2)x＋m1m2＋n1n2＝0．又ax2＋bx＋c＝0,即

3 教學(xué)啟示

(1)數(shù)學(xué)是關(guān)于數(shù)和形的科學(xué),形是數(shù)學(xué)的重要表現(xiàn)形式,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)離不開對(duì)幾何圖形的研究,《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在幾何學(xué)習(xí)方面的要求是“能從較復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形,并能分析其中的基本元素及其關(guān)系,利用直觀來進(jìn)行思考”．可見從復(fù)雜圖形中“離析”出基本圖形是學(xué)生必須具備的重要能力之一,也是解決幾何問題的重要方法．同時(shí)數(shù)學(xué)也是關(guān)于模式的科學(xué),這反映在數(shù)學(xué)解題時(shí),需要進(jìn)行模式識(shí)別,需要建構(gòu)標(biāo)準(zhǔn)的模型,當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)陌生的、看似復(fù)雜的幾何問題時(shí),往往都可以將它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過的、較熟悉的、簡單的幾何圖形．這里用到的基本圖形就是解決問題的一個(gè)模式,用基本圖形來分析、解決問題,是解題的常用方法、通用方法,可以發(fā)揮數(shù)學(xué)教學(xué)的長期效益,因此,必須重視基本圖形在解題中的作用．

(2)教學(xué)中的基本圖形一般分為兩種:一種是教材中的定義、定理所對(duì)應(yīng)的圖形——單一型基本圖形;另一種基本圖形是例題或習(xí)題所對(duì)應(yīng)的圖形——復(fù)合型基本圖形,它是單一型基本圖形內(nèi)容的擴(kuò)展與延伸,它常常把一些重要的、常用的圖形加入到單一型基本圖形成為復(fù)合型基本圖形的一部分．學(xué)生對(duì)單一型基本圖形通常較為熟悉,用得比較得心應(yīng)手,而對(duì)于復(fù)合型基本圖形,雖然知道圖形與結(jié)論,但解題時(shí)卻常常忽略它的存在,導(dǎo)致解題困難或失?。疄槭裁磫为?dú)把這些復(fù)合型基本圖形提出來,學(xué)生馬上就能知道結(jié)論,而解題時(shí)為什么卻熟視無睹?這就要求我們在教學(xué)過程中,一方面應(yīng)重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法的教學(xué),注重對(duì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程的揭示;另一方面,要注重對(duì)這些基本圖形的提煉,要引導(dǎo)學(xué)生研究這些看似不起眼的復(fù)合型基本圖形,分析基本圖形的特征,深刻掌握基本圖形,再精選相關(guān)的習(xí)題給學(xué)生練習(xí),進(jìn)一步理解基本圖形的性質(zhì)都是以怎樣的方式發(fā)揮作用．

(3)羅增儒教授在《數(shù)學(xué)解題引論》中指出:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中,所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工,會(huì)得出有長久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式,將其有意識(shí)地記憶下來,當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí),我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式,聯(lián)想起一個(gè)已解決的問題,以此為索引,在記憶儲(chǔ)存中提取相應(yīng)的方法來加以解決,這就是模式識(shí)別的解題策略．因此,在平時(shí)的教學(xué)中,應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生對(duì)一些基本題型和基本圖形的敏銳觀察力,借給學(xué)生一雙“數(shù)學(xué)慧眼”．在每學(xué)習(xí)一部分課本內(nèi)容后,可以嘗試以“專題講座”的教學(xué)模式,引導(dǎo)學(xué)生自主探索、自我總結(jié)、逐步提高,對(duì)課本的這部分中的例題、習(xí)題加以提煉并深刻研究,形成結(jié)論儲(chǔ)備起來,達(dá)到“見到圖形,想到性質(zhì)．想到性質(zhì),想全圖形”的要求,在頭腦中形成系統(tǒng)完備的待用“基本圖形庫”,最終把基本圖形當(dāng)作利刃,用到解題中去．

總之,教師在平時(shí)的教學(xué)和復(fù)習(xí)中,要尋找一些具有“廣闊發(fā)展前景”的教材例題、習(xí)題或數(shù)學(xué)素材,深入研究,形成模型,探索利用模型解決問題的方法,啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),提升學(xué)生的思想素養(yǎng),從而提高中考復(fù)習(xí)效率．

1 王元友．基于“一線三等角模型”的創(chuàng)新能力綜合題設(shè)計(jì)[J]．中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2012(5)

2 周禮寅．一線三等角模型的建立與應(yīng)用[J]．中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2012(10)

2017-06-26)