山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 劉才華 (郵編:271400)

一道向量試題的多解與變式

山東省泰安市寧陽第一中學(xué) 劉才華 (郵編:271400)

2017年新課標(biāo)全國III卷第12題(壓軸選擇題):

在矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上,若,則λ＋μ的最大值為( )

下面我們首先給出幾種不同的解法,然后再給出試題的幾種不同的變式．

思路一利用解析法和三角換元,利用三角函數(shù)的有解性求出λ＋μ的最大值．

圖1

解法1如圖1,以點(diǎn)A為原點(diǎn),以直線AD、AB為x軸,y軸建立直角坐標(biāo)系．

由題意,得A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0),直線BD的方程為,即x＋2y－2＝0．點(diǎn)C(2,1)到直線BD的距離為d＝從而圓C的方程為

思路二由條件產(chǎn)生λ、μ的關(guān)系式,利用方程有解的條件求出λ＋μ的最大值．

圖2

解法2如圖2,設(shè)圓C與直線BD相切于點(diǎn)Q,由×BC×CD＝1得由得由AB＝1,AD＝2及AB⊥AD得

設(shè)λ＋μ＝k,則λ＝k－μ,代入(λ－1)2＋得

25μ2－(10k＋30)μ＋5k2－10k－21＝0．由關(guān)于μ的一元二次方程有解得△＝(10k＋30)2－100(5k2－10k－21)≥0,即(k－1)(k－3)≤0,1≤k≤3,于是λ＋μ的最大值為3．將k＝3代入上面的代數(shù)式得到取最大值的條件為λ＝．故選A．

思路三由條件產(chǎn)生λ、μ的關(guān)系式,利用柯西不等式求出λ＋μ的最大值．

解法三如圖2,同解法2,得到λ、μ的關(guān)系式．注意到λ＋μ＝1×,由柯西不等式得所以λ＋μ的最大值為3,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號．故選A．

思路四對于選擇題,解決方法可以“不擇手段”．本題可以通過特殊點(diǎn)進(jìn)行計算排除驗(yàn)證．

圖3

解法4如圖3,同解法1,得到圓C的方程為設(shè)圓C與直線BD相切于點(diǎn)Q,由CQ⊥BD及kBD＝得直線CQ的方程y－1＝2(x－2),即y＝2x－3．聯(lián)立得25x2－100x＋96＝

若將題目條件“AB＝1,AD＝2”改為“AB＝a,AD＝b”,其它條件不變,λ＋μ有沒有最值?得到如下0,解得．當(dāng)時對應(yīng)點(diǎn)此時,則,有λ＋μ＝3．由此排除答案B、C、D．故選A．

對試題進(jìn)行進(jìn)一步地思考,λ＋μ有沒有最小值?得到如下

變式1在矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,動點(diǎn)

讀者可以利用解法1或解法2的過程得出變式1的結(jié)論．

題目條件不變,λ－μ有沒有最值?得到如下

變式2在矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上,若,則λ－μ的最小值為－1,最大值為1．

證明如圖1,同解法1,以點(diǎn)A為原點(diǎn),以直線AD、AB為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系．由題意得A(0,0)、B(0,1)、C(2,1)、D(2,0),得到圓C的方程為

變式3在矩形ABCD中,AB＝b,AD＝a,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上,若,則λ＋μ的最小值為1,最大值為3．

證明如圖1,同解法1,A(0,0),B(0,b),C(a,b),D(a,0),得到圓C的方程為(x－a)2

若將題目條件“AB＝1,AD＝2”改為“AB＝a,AD＝b”,其它條件不變,λ－μ有沒有最值?得到如下

變式4在矩形ABCD中,AB＝a,AD＝b,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上,若,則λ－μ的最小值為－1,最大值為1．

讀者可以利用變式2和變式3的證明給出變式4的證明．

若將題目中的平面圖形推廣到空間長方體,得到如下

變式5在長方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝a,AD＝b,AA1＝c,動點(diǎn)P在以點(diǎn)C1為圓心且與平面CB1D1相切的球面上,若,則λ＋μ＋δ的最小值為2,最大值為4．

變式5的證明需要用到如下

引理1若四面體P－ABC滿足PA＝a,PB＝b,PC＝c,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC于點(diǎn)H,則PH＝

引理可以通過構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理給出證明,這里從略．

引理2若f(x)＝asinwx＋bcoswx,a,b為常數(shù),則

引理2容易證明,這里從略．

證明以點(diǎn)A為原點(diǎn),以直線AB,AD,AA1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由 題 意 得 A(0,0,0)、B(a,0,0)、D(0,b,0)、A1(0,0,c)、C1(a,b,c)．由引理1得球面C1的方程為 (x－a)2＋ (y－b)2＋ (z－c)2＝

同理證明λ＋μ＋δ的最小值為2．

通過對上述試題的研究,啟發(fā)我們在平時數(shù)學(xué)教學(xué)時,要結(jié)合具體內(nèi)容,做好一題多解和一題多變的訓(xùn)練,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,有效地避免題海戰(zhàn)術(shù)．通過加強(qiáng)一題多解訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維,引導(dǎo)學(xué)生利用不同的角度,不同的方法和不同的運(yùn)算去分析解答同一道試題,起到了“舉一反三”的作用;通過加強(qiáng)一題多變訓(xùn)練,借題發(fā)揮,適當(dāng)變換、引申、拓展,加強(qiáng)不同知識間的橫向和縱向聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和邏輯推理能力,開闊學(xué)生的學(xué)習(xí)視野,培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生解題的靈活性和創(chuàng)造性．

2017-08-08)