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        基于理解的動(dòng)態(tài)立體幾何問題的求解

        2017-10-16 05:18:18浙江省春暉中學(xué)林國夫郵編312353
        關(guān)鍵詞:成角射影垂線

        浙江省春暉中學(xué) 林國夫 (郵編:312353)

        基于理解的動(dòng)態(tài)立體幾何問題的求解

        浙江省春暉中學(xué) 林國夫 (郵編:312353)

        理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),脫離了理解,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就失去了靈魂,甚至?xí)萦谛问交慕虠l,學(xué)習(xí)的意義也就蕩然無存.因此在學(xué)習(xí)和教學(xué)中我們都應(yīng)該基于理解,有意義地學(xué)習(xí)和思考,以便有效促進(jìn)自身思維能力的提升.本文結(jié)合筆者自身的教學(xué)實(shí)踐,通過理解性的分析來深度剖析若干動(dòng)態(tài)幾何的綜合性問題,以展示理解在問題求解中的重要性,同時(shí)也從側(cè)面來揭示這些問題的本源,啟發(fā)讀者了解和掌握解決動(dòng)態(tài)立體幾何中常見處理技巧和策略.

        1 理解助力問題的正確求解

        翻折問題作為動(dòng)態(tài)立體幾何問題最典型的類型,能將立體幾何中的核心知識和方法融入其中,有效甄別個(gè)體的立體幾何的數(shù)學(xué)素養(yǎng),因此歷來都受到命題者的青睞.對于翻折問題,筆者以為不管問題的呈現(xiàn)形式如何,在求解問題時(shí)我們都需要正確理解翻折前后間的某些不變性,借助這些不變性就可以很好地作圖和分析,深入理解問題,并順利尋求解決問題的途徑.那么翻折問題我們?nèi)绾稳フ_理解其不變性呢?

        圖1

        空間翻折問題本質(zhì)是一個(gè)局部的旋轉(zhuǎn)問題,其旋轉(zhuǎn)軸即為翻折的折線,因此它具備旋轉(zhuǎn)的特點(diǎn).如圖1(1),在△ABC中,點(diǎn)D是線段BC上異于端點(diǎn)的點(diǎn),將△ABD沿著AD翻折至平面AB′D,當(dāng)平面ABD重合于平面ADC時(shí),設(shè)此時(shí)點(diǎn)B的位置為B′,如圖1(2).要把握翻折問題,我們關(guān)鍵在于把握翻折中的不變量.那么在翻折中哪些量是不變的呢?顯而易見的是,對于翻折的兩個(gè)半平面ABD,ADC中的點(diǎn)、線、角等幾何元素,它們的位置關(guān)系和度量值都是不變的,下面我們分析內(nèi)隱性不變量.

        我們過點(diǎn)B作AD的垂線,垂足為H,延長交AC于點(diǎn)E.顯然在翻折過程中,BH⊥AD,EH⊥AD,故AD⊥平面BB′E,即平面BB′E⊥平面ADC.從而在翻折過程中,點(diǎn)B′在平面ADC內(nèi)的射影始終在直線BHEB′上.此外由于在翻折過程中,BH=B′H,故點(diǎn)B′在以H為圓心,半徑為BH 的圓上,且圓所在平面BB′B′E與翻折線AD垂直.

        從上述分析我們可以得到把握翻折過程的以下關(guān)鍵不變量:在翻折前的平面圖形中過翻折線(圖1中的直線AD)的垂線l(圖1中的直線BHE),在翻折過程中,垂線l被折成的平面(圖2中的平面BB′E)垂直翻折線;翻折前的任意一點(diǎn)P(比如點(diǎn)B)與翻折后對應(yīng)點(diǎn)P′(比如點(diǎn)B′)的連線PP′垂直翻折線,且P′在空間的軌跡為圓.筆者認(rèn)為,理解這些關(guān)鍵不變量對于我們把握空間翻折中的線、面位置關(guān)系非常重要.

        圖2

        例1(2017年杭州市二模)如圖2,在等腰直角△ABC中,AB⊥AC,BC=2,M為BC中點(diǎn),N為AC中點(diǎn),D為BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),△ABD沿AD翻

        折至平面AB′D,使B′D⊥DC,點(diǎn)A 在面B′CD上的投影為點(diǎn)O,當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí),以下說法錯(cuò)誤的是( )

        A.線段NO為定長

        B.|CO|∈ [1,2)

        C.∠AMO+∠ADB′>180°

        D.點(diǎn)O的軌跡是圓弧

        圖3

        解析如圖3,過點(diǎn)B作AD的垂線,垂足為E,則對于給定的點(diǎn)D,△ABD沿AD翻折至平面AB′D的過程中,點(diǎn)B在以點(diǎn)E為圓心、半徑為BE的圓上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)B′在平面ACD內(nèi)的射影在直線BE上.

        圖4

        如圖4,設(shè)點(diǎn)B′在平面ACD內(nèi)的射影為點(diǎn)H,過點(diǎn)D作BC的垂線PQ,則點(diǎn)H在BE上.由于B′D⊥DC,從而DH ⊥DC,由此可知點(diǎn)H為BE與PQ的交點(diǎn).顯然由B′D⊥DC,DH⊥DC得DC⊥平面B′DH,故平面B′DH⊥平面B′DC.

        圖5

        為了尋找點(diǎn)A在面B′CD上的投影點(diǎn)O,我們首先需要尋找過點(diǎn)A的平面B′CD的垂面,考慮到平面B′DH⊥ 平面B′DC,我們只需求作過點(diǎn)A且與平面B′DH平行的面即可.如圖5,由于AM ⊥DC,DH⊥DC,則DH//AM,再過點(diǎn)M作B′D的平行線交B′C于點(diǎn)K,從而平面AKM//平面B′DH,則點(diǎn)O在KM上,即只需過點(diǎn)A作KM的垂線,垂足即為點(diǎn)O.

        有了上述的作圖分析,下面我們可以比較方便地分析選項(xiàng)了.

        對于選項(xiàng)A:由于AO⊥平面B′DC,則AO⊥OC,則在Rt△AOC中,由N為AC中點(diǎn)可知,從而選項(xiàng)A正確.

        對于選項(xiàng)B:由于點(diǎn)O始終在平面AMK上,且CD⊥平面AMK,從而故OC的長|CO|最短為點(diǎn)C到平面AMK的距離CM=1,最長不超過CA= 2,從而|CO|∈[1,2).

        對于選項(xiàng)D:由于在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)O始終在固定的平面AMK上,又由于從而點(diǎn)O又在以點(diǎn)N為球心,半徑為的球面Γ上運(yùn)動(dòng).因此點(diǎn)O的軌跡是球面Γ與平面AMK相交而成的圓,故點(diǎn)O的軌跡是圓.

        對于選項(xiàng)C:由于AM//DH,MO//B′D,從而∠AMO=∠B′DH.根據(jù)線面角的最小性可知:B′D 與 平 面ACD 所 成 角 ∠B′DH ≤∠B′DE,從而180°- ∠B′DH ≥180°-∠B′DE, 即 ∠B′DQ ≥ ∠ADB′ (又∠B′DQ=180°-∠B′DH=180°-∠AMO),從而180°-∠AMO≥∠ADB′,從而可得∠AMO+∠ADB′≤180°,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

        圖6

        在上述問題分析的過程中,我們牢牢抓住了翻折前后的不變性,從而理解了在翻折后各個(gè)空間元素的具體位置,因此也就比較準(zhǔn)確有效地理解問題,解決問題也就水到渠成了.當(dāng)然在分析過程中我們也使用了下列簡單的事實(shí):線面角的最小性.

        如圖6,已知直線AP是平面α的一條斜線,斜足為點(diǎn)A.

        點(diǎn)P在平面α內(nèi)的射影為點(diǎn)O,直線l是平面α內(nèi)過點(diǎn)A的任意直線.

        過點(diǎn)O作直線l的垂線,垂足為B.顯然∠PAO是直線AP與平面α所成的角.設(shè)∠PAO=θ1,∠OAB=θ2,∠PAB=θ,易得,從而cosθ=cosθ1·cosθ2,故cosθ=cosθ1·cosθ2≤cosθ1,考慮到且f(x)=cosx在 [0,上單調(diào)遞減,從而θ≥θ1,當(dāng)且僅當(dāng)θ2=0時(shí)取等號.

        由此,我們得到下述兩個(gè)結(jié)果:

        ①cosθ=cosθ1·cosθ2;②平面的斜線與其在平面內(nèi)的射影所成角(即直線與平面所成角)是該斜線與平面內(nèi)任意直線所成角中最小者.

        上述兩個(gè)結(jié)果對于我們理解有關(guān)線面角和異面直線所成角的最值問題非常有用.

        圖7

        例2(2017年金華十校4月???如圖7,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M,N分別是直線CD、AB上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P是△A1C1D內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(不包括邊界),記直線D1P與MN所成角為θ,若θ的最小值為,試分析點(diǎn)P的軌跡.

        解析根據(jù)直線與平面所成角的最小性可知:當(dāng)直線MN是直線D1P在平面ABCD內(nèi)的射影時(shí),直線D1P與MN所成角θ最小,因此我們可知直線D1P與平面ABCD所成角為故直線D1P與直線D1D所成角為.因此點(diǎn)P在以D1D為軸、軸截面的頂角為的圓錐面上運(yùn)動(dòng),又點(diǎn)P在△A1C1D內(nèi),且平面A1C1D與軸線D1D所成角為α且,因此點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分.

        2 理解助力問題求解的優(yōu)化

        對于定量化的動(dòng)態(tài)立體幾何問題,構(gòu)建函數(shù)模型是解決問題非常重要的途徑.函數(shù)模型的建構(gòu)則需要基于一定的問題理解力,問題理解深淺程度則嚴(yán)重影響函數(shù)模型的優(yōu)劣.

        例3(2017年臺(tái)州高三期末)如圖8,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,四邊形AEFG為邊長為2的正方形.現(xiàn)將矩形ABCD沿過點(diǎn)F的動(dòng)直線MN翻折,使翻折后的點(diǎn)C在平面AEFG上的射影C1落在直線AB上.若點(diǎn)C在折痕l上的射影為C2,求的最小值.

        圖8

        解析按照我們對翻折問題的理解,我們作如下分析:如圖9,設(shè)平面MCDN翻折后至平面MC′D′N.過點(diǎn)C作直線MN的垂線,垂足為C2,則在翻折過程中,點(diǎn)C在平面AEFG的射影在直線CC2上,從延長CC2交AB,此交點(diǎn)即為點(diǎn)C1.由此即為二面角C′-MN-A的平面角的余弦值.這樣我們就將問題轉(zhuǎn)化為如圖8中的平面中的問題.考慮到該動(dòng)態(tài)問題由直線MN的位置唯一確定,因此我們可以考慮建立直角坐標(biāo)系,通過斜率來刻畫MN的位置.

        圖9

        建立以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系,則C(4,6),從而PQ:y=k(x-2)+2(k<0),則-kx+y+2k-2=0,故由,可得點(diǎn)C1(6k+4,0),則,從而故要使得取最小,則-k+2= 5,故的最小值為3(2

        根據(jù)不同的理解,我們還可以構(gòu)建其他函數(shù)的模型.考慮到翻折前后與翻折線MN垂線的直線CC2C1特點(diǎn):CC1⊥MN,則點(diǎn)C2在以CF為直徑的圓上,因此本動(dòng)態(tài)問題也可以由點(diǎn)C2的位置來確定.故要確定點(diǎn)C2的位置,我們可以設(shè)∠C2CF=θ,為簡便記∠FCB=α,則.從而CC2=FCcosθ=25cosθ,CC1=

        顯然不同的理解方式和理解深度對于函數(shù)模型的建構(gòu)影響深遠(yuǎn).

        3 理解助力深入問題本源

        立體幾何的空間軌跡是近年來??汲P碌臒狳c(diǎn).分析空間的軌跡常常會(huì)結(jié)合所求軌跡的特點(diǎn),將我們熟悉的圓(特別是平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的比為非1的常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓,此即阿波羅尼斯圓)和圓錐曲線的定義遷移至空間來直觀求解.但是對于一些隱性的軌跡,我們還是需要在理解的基礎(chǔ)上作圖和分析.

        圖10

        例4(2017年臺(tái)州4月模考)如圖10,在棱長為2的正四面體A-BCD中,E、F分別為直線AB、CD上的動(dòng)點(diǎn),且 EF =.若記EF中點(diǎn)P的軌跡為L,求 L .(注:L 表示L的測度,在本題L為曲線、平面圖形、空間幾何體時(shí),L 分別對應(yīng)長度、面積、體積.)

        圖11

        解析從直觀看,點(diǎn)P的軌跡應(yīng)該在平行于AB、CD的“中位面”內(nèi).取線段AB、CD的中點(diǎn)M、N,則MN是異面直線AB、CD的公垂線.如圖11,分別過AB、CD分別作垂直于公垂線MN的平面α、β,過MN的中點(diǎn)O作垂直于MN的垂面γ.在平面γ內(nèi)分別過點(diǎn)O作平行于AB、CD的平行線a、b,設(shè)點(diǎn)E、F在平面γ內(nèi)的射影分別為E′、F′.顯然線段EF的中點(diǎn)P也為E′F′的中點(diǎn),且點(diǎn)P在平面γ內(nèi).

        在平面γ內(nèi),由于|E′F′|=1,OE′⊥OF′,從而我們可知線段E′F′的中點(diǎn)P是以O(shè)為圓心,半徑為的圓,從而點(diǎn)P的軌跡的長度為π.

        至此我們已解決問題,但是在分析中我們發(fā)現(xiàn)AB、CD具有垂直關(guān)系,顯然按照上述的理解,我們自然可以將問題轉(zhuǎn)化為一般的情形,從而實(shí)現(xiàn)問題的一般化,

        也即下面的問題:

        圖12

        例5如圖12,已知MN為異面直線a、b的公垂線,且a、b之間的夾角為2θ,|MN|=m.點(diǎn)E、F分別為a、b上的動(dòng)點(diǎn),且|EF|=n.當(dāng)點(diǎn)E,F運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段EF的中點(diǎn)P空間軌跡.

        解析如圖12,分別過點(diǎn)M、N及線段MN的中點(diǎn)O分別作垂直MN的平面α、β、γ,點(diǎn)E、F在平面γ的射影為E′、F′.則點(diǎn)P均是EF、E′F′的中點(diǎn),且在平面γ內(nèi),并且|E′F′|=,并設(shè)L=

        圖13

        在平面γ內(nèi)過點(diǎn)O作直線a、b的平行線a′、b′,則a′、b′所成角為2θ.由此問題轉(zhuǎn)化為平面γ內(nèi)求點(diǎn)P的軌跡.如圖13,在平面γ內(nèi),以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以a′、b′所成角的角平分線作為x軸建立如圖直角坐標(biāo)系.

        兩條直線l1、l2把平面分成I、II、III、V 四個(gè)區(qū)域.由對稱性,先設(shè)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P在區(qū)域I、III時(shí).設(shè)|OA|=s,|OB|=t,則由余弦定理得s2+t2-2stcos2θ=L2.

        設(shè)點(diǎn)A(x1,x1tanθ),B(x2,-x2tanθ),則s

        設(shè)點(diǎn)P(xP,yP),則

        顯然當(dāng)l1⊥l2時(shí),線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程為為圓的方程;當(dāng)l1、l2不垂直時(shí),線段AB的中點(diǎn)P的軌跡為橢圓.

        圖14

        最后,我們利用上面的結(jié)果可快速解決問題:

        例6已知正方體ABCD-A1B1C1D1的邊長為2,點(diǎn)E、F分別在直線AB1、BC1上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)P是線段EF的中點(diǎn).若在空間中存在兩點(diǎn)S、T,使得|PS|+|PT|為定值,求該定值|PS|+|PT|.

        解析由于BC1//平面AB1D1,則異面直線AB1、BC1的公垂線段MN的長度|MN|即為點(diǎn)B到平面AB1D1的距離,也即為點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離,故且AB,1BC1所成角為

        結(jié)合圖12,設(shè)點(diǎn)P的軌跡所在平面為平面γ,點(diǎn)E、F在平面γ內(nèi)的射影分別為E′、F′.則|E′F′|= |EF|2-|MN|2=2.由于異面直線AB1、BC1所成角為60°,則在平面γ內(nèi)點(diǎn)P的軌跡方程為,即,從而根據(jù)橢圓的定義可知|PS|+|PT|=23.

        盡管動(dòng)態(tài)立體幾何的問題千變?nèi)f化,有在變化過程中分析空間元素的位置關(guān)系,有在變化中求解某個(gè)量的最值或范圍,有在變換中分析某個(gè)點(diǎn)的軌跡等等.但是只要我們用心去理解問題,探尋解決問題的方法,反思和摸索問題解決的一般性策略,那么我們自然就提高了解決問題的效率,數(shù)學(xué)思維也會(huì)長足進(jìn)步,才能在問題解決過程中享受數(shù)學(xué)無窮的樂趣.

        1 林國夫.探析空間翻折問題的求解策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣州).2016年(11):42-45

        2017-07-26)

        本文系紹興市規(guī)劃課題《基于學(xué)生思維發(fā)展的高中數(shù)學(xué)選修課程的開發(fā)與實(shí)踐》(立項(xiàng)序號SJG17270)階段性成果.

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