淮北師范大學數(shù)學科學學院 張 昆 (郵編:235000)

聚焦新課程

增進學生理解 弘揚主體精神
——數(shù)學教學設計從邏輯分析轉向心理分析的視點

淮北師范大學數(shù)學科學學院 張 昆 (郵編:235000)

數(shù)學教學所要傳授的知識相對固定(其最低限度已經(jīng)寫入課程標準)．但是,通過何種方式來傳授這種已經(jīng)設定了的知識,卻隨著教師的教學理念不同,預設的教學目標不同,持有的教學觀念不同,獲得的教學經(jīng)驗不同,理解特定數(shù)學知識性質不同,揣摩發(fā)生特定知識的學生認知方式不同,估計發(fā)生知識時學生現(xiàn)場心理活動意向不同,存在多種選擇余地．不同的教學設計對發(fā)揮數(shù)學知識的教育價值,促進學生素質發(fā)展的結果大相徑庭、迥然有別．本文主要探討數(shù)學教學設計時,尊重學生的想法,即提高教學的有效性．我們先從歷史上非常有名的一個知識點的教學設計的課例說起．

1 從馬克斯·韋特海麥的一個教學設計課例說起

早期的格式塔心理學家把他們對知覺過程的分析擴展到思維的發(fā)展,并且在某些重要的方面,他們預見了并奠定了直到現(xiàn)在的對于認識發(fā)展的系統(tǒng)闡述的基礎．格式塔心理學發(fā)展史中的許多有名人物雖然主要地談論到知覺,但也確實涉及到了認識,其中,考夫卡在《心理的發(fā)展》一書中提供了一個詳細的理論分析,試圖說明兒童的認識發(fā)展;苛勒運用這些原則去解釋類人猿解決問題的行為;馬克斯·韋特海麥在他的《創(chuàng)造性思維》中對課堂教學的有效和無效以及按照知覺的完形原則學習進行了詳盡的分析,這些認識與原理對數(shù)學教學的有效性標準提供了有意義的參考．這里引入韋特海麥提供的一個課題(平行四邊形面積)教學活動的課例:求平行四邊形的面積公式．

師:上一堂課我們學習了如何求一個長方形的面積,你們都懂了嗎?

生1:懂了．一個長方形的面積等于兩邊的乘積．

師:(板書平行四邊形圖形,圖1),這個四邊形叫平行四邊形,一個平行四邊形是一個四邊形的平面,它的對邊相等且平行(教師在圖1的四個角上寫上a、b、c、d)．

師:我從左上角畫一條垂直線,從右上角畫一條垂直線,我把底邊向右延長,我把這兩個新點表上e和f(圖2)．

接著,教師著手證明定理——平行四邊形的面積等于底乘高的積．證明的活動過程是通過確立某些角和邊的等量關系和一對三角形的全等來進行的．到此,教師提出了許多問題,都是要求平行四邊形的面積,但它們的大小、邊和角不相同,學生都能夠順利地完成．在結束這節(jié)課以前,教師指定了十多個這類問題作為家庭作業(yè)．如此看來,這節(jié)課應該是比較成功的了．

不過,一天后,這個班的下一節(jié)課,我又去了．課開始時,教師叫一個學生來證明平行四邊形的面積．學生正確地回答了……一個書面的作業(yè),得到了很好的效果．此時,我問教師是不是讓我在這個班提出一個問題．這位教師答應了,顯然,他以他的課為榮．

我在黑板上畫了一個圖3,讓學生求它的面積．

生2:老師,我們還沒有學習過這個．

另外的學生忙起來了．他們把圖形抄在紙上,像被教的那樣畫輔助線,從兩個上角向下畫垂直線和延長底邊(圖4)．然后,他們看起來迷惑、發(fā)窘．經(jīng)過一段時間思考以后,有些同學看起來是完全不愉快的;他們自信地在他們的圖下寫著“面積等于底乘高”——一個正確的設想,但也許完全是盲目的．當問他們能否證明在這種情況下它也是正確的時,他們露出了迷惑．另一些同學則情況完全不同,他們是愉快的,他們在笑．他們把他們的紙轉動了一個角度……[1]．

韋特海麥所出示的圖3當然就是這個任課教師所出示的圖1,只不過將其進行了一些轉動而已．顯然,經(jīng)過任課教師所教學的圖1,對于許多學生來說,他們的收獲只是掌握了一個狹隘的練習,而沒有對知識形成實質性的理解,韋特海麥所設定的主旨強調的是,以確定增進理解的,并且依據(jù)對所包含的過程的心理分析而不是邏輯分析的教學方法來教解決問題的技巧．作為數(shù)學教師必須清醒地認識到,這種從邏輯分析向心理分析轉化與過渡的技巧必須作為數(shù)學教師教學設計的一項主導性目標,只有心理分析的數(shù)學教學設計才能實現(xiàn)數(shù)學教學活動的有效性．在教師的努力下,這項目標是可以實現(xiàn)的．

2 例示數(shù)學教學設計從邏輯分析轉向心理分析的實現(xiàn)

由上述的材料可以發(fā)現(xiàn),從“邏輯分析”方式轉化為“心理分析”方式的數(shù)學教學設計就是教師追求數(shù)學教學設計的一項非常有價值的教學技藝．因此,為了研究數(shù)學教學設計的有效性,以求獲得從“邏輯分析”型的數(shù)學教學設計轉化為“心理分析”型數(shù)學教學設計的具體途徑,它的一般環(huán)節(jié)與關鍵環(huán)節(jié),它的具體步驟,啟發(fā)一般教師可以認識到它的本質,并且萌生相應的數(shù)學教學觀念,形成相應的數(shù)學教學設計的技藝,從而提高數(shù)學教學設計的有效性,最大程度地發(fā)揮數(shù)學課程資源的教育價值,實現(xiàn)數(shù)學新課程所擬定的數(shù)學教學目標．對于韋特海麥這個課例,我們需要對其進行進一步解釋,從中提煉出相關的要素,以使我們數(shù)學教學可以得到更為直接的啟示．

眾所周知,對于受教育者而言,相對來說問題所提供的信息往往顯得雜亂無章,不是輕而易舉就能理出頭緒的．于是,要達到真正地解決問題,就必須經(jīng)由意識機能的過濾、比較、辨別,從中選擇出一項,或幾項的關聯(lián)作為支點信息,并且依據(jù)這一支點信息,調用附著在觀念上的存儲在記憶庫中眾多知識框架中大致地選擇出某一“知識框架”作套用支點式信息的“凝聚核”,將其他諸多信息吸附到這個“凝聚核”的周圍,意識機能再對其進行調整與排列等運作,使外在于主體的信息構成一種不穩(wěn)定的結構輪廓．意識機能又通過自己的監(jiān)控系統(tǒng),對由于自己的工作所選擇出來的結構輪廓進行評價、判斷,最終將外在問題提供的支點信息生成的結構輪廓,與主體所選擇出作為“凝聚核”的記憶庫知識框架兩者之間的相關元素進行對比、比較,試圖匹配(如圖5所示)．[2]

由此可知,數(shù)學知識的重要性在于它提供了解決問題的框架——組織外在信息的“凝聚核”——解決問題的工具,這個框架圖也可以對數(shù)學發(fā)生數(shù)學知識的實質性理解一種解釋,學生只有清醒地意識到是由自己已經(jīng)掌握的知識套用了外在數(shù)學化信息的過程,此時,才真正地對知識產生了理解．但是,我們知道,工具是客觀的、死的、物質性的材料,它不能自行地直接作用于問題．這些可套用外在信息的知識框架的“凝聚核”是人的意識機能的產物,也就是說,在解決面臨的數(shù)學問題時,意識機能始終處于激活的狀態(tài),具有能動性的一面．它不斷地對已經(jīng)具有的工具進行組合、調整與重組,使之變成適應性更廣泛,使用更方便,或者是直接創(chuàng)造出全新的工具．例如,伽羅瓦引進了“置換群(加羅瓦群)”這一工具徹底解決了高次(五次或五次以上)方程根式解不存在的論斷,這完全是意識機能的創(chuàng)造性發(fā)揮的產物,并不是伽羅瓦對前人的所獲得的數(shù)學知識的累加而自然產生了這一論斷．

我們不去討論是我們遺傳基因提供了先天的知識框架(“凝聚核”)呢?還是感官的通道對外在的知覺的不斷積累,經(jīng)由意識機能長期醞釀而得到了這一框架呢?重要的是,在數(shù)學教學設計中,當學生面臨數(shù)學問題時,如果他找不到現(xiàn)成的、可套用外在信息的知識框架,那么,是教師..將這種作為“凝聚核”的知識框架直接提供給學生呢?還是讓學生從自己意識機能中創(chuàng)造性地構建出知識框架,以此來套用問題提供的信息,從而使那些問題所設定的分散的信息構成相對有序的結構輪廓呢?如何回答這一問題,對能否發(fā)揮利用數(shù)學資源的教育價值,實現(xiàn)數(shù)學教育高層次目標影響巨大且至關重要．

“邏輯分析”型方式的數(shù)學教學設計,更多地只是將這種封裝外在信息的知識框架的“凝聚核”直接地交于學生,學生不理解為什么會發(fā)現(xiàn)這個“凝聚核”;而“心理分析”型方式的數(shù)學教學設計,更多地是啟發(fā)學生自己構建這種“凝聚核”,從而真正通過教學活動過程,促進學生對經(jīng)由學習而發(fā)生的數(shù)學知識的實質性地理解．因此,在教學設計時,我們教師要作出最大努力,力求將“邏輯分析”型方式的數(shù)學教學設計轉化為“心理分析”型的數(shù)學教學設計．我們再看兩個具體的數(shù)學教學設計的課例．

課例1數(shù)軸定義:規(guī)定原點、正方向與單位長度的直線叫數(shù)軸．

師:有理數(shù)組成:負有理數(shù)、零、正有理數(shù)(板書)．

師;今天,可以用一直線上的點表示有理數(shù)嗎?

生1:負數(shù)、正數(shù)都無限多,零只有一個,首先試試在MN上任取一點O,規(guī)定用它表示零(如圖6)．

師:如此,點O將直線MN分成三部分,自身表示有理數(shù)0,稱點O為“原點”．于是,負、正數(shù)該由射線OM,或射線ON(除端點O)上的點來表示．究竟哪一條射線上的點表示負數(shù),哪一條射線上的點表示正數(shù)呢?(學生想出許多區(qū)分方案)

師:這些方案中,那種更簡單、更實用呢?

生:用箭頭!

師:在圖6的直線MN上畫一個箭頭．規(guī)定用具有箭頭的射線上的點表示正數(shù),反之,表示負數(shù)．稱箭頭為“正方向”(如圖7)．

師:在圖7中表示有理數(shù)＋2?(兩個同學選擇不同的點A和點B,都聲稱要表示＋2．如圖8)

師:哪一個才是真正表示＋2的點呢?(學生決定用一把“尺子”來裁決,以原點O為起點,在具有正方向的那條射線上次第量兩尺,規(guī)定“尺子”落腳的終點C為表示＋2的點．如圖9)

師:“尺子”是一個度量長度的“單位”,稱之為“單位長度”．

師(板書):規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數(shù)軸．

數(shù)學教科書是采用向教師提供了運用“溫度計”這種實物類比的手段促成學生發(fā)現(xiàn)數(shù)軸定義的,溫度計中表示零度的點就是數(shù)軸的“原點”,零上的溫度就是數(shù)軸上表示正有理數(shù)的那段區(qū)域,零下的溫度就是數(shù)軸上表示負有理數(shù)的那段區(qū)域．許多教師基本上沿用教科書的手段,其實,這種教學途徑就是沿著“邏輯分析”方式而不是“心理分析”方式進行教學設計的．當筆者向學習過了數(shù)軸定義的學生提問,“數(shù)軸定義中的‘原點’有什么作用時”,九成以上學生都不能很好地回答這個問題．這就說明教科書所提供的這種教學途徑存在較大缺陷．我們給出的教學設計就是依據(jù)學生的“心理分析”過程展開,極大地增進了課堂教學的有效性．

課例2已知:如圖10,在 △ABC 中,∠ADC＝∠BAC．求 證:∠CAD ＝∠CBA．[3]

師:請用不同標識在圖

10中標示出所求結論與已知條件中各存在的一對相等角．

生1:在圖10中,已知條件∠ADC＝∠BAC中的∠BAC被AD分割開來,圖形的覆蓋影響了探索問題的思路．因此,我想應該首先解決覆蓋問題……

師:這是一個好建議!大家不妨可以動手試一試．

學生操作圖形活動的關鍵環(huán)節(jié)實錄:首先把圖10中的△ADC平移出來,得到了圖11與圖13,其次,根據(jù)已知條件∠ADC＝∠BAC①和要證明的結論∠CAD＝∠CBA②,把圖11變換換成圖12的位置形態(tài)．到此,學生成功地運用標識標示出了圖10中的兩對相等角,即①,②兩個等式,并且將圖形轉化利于進一步發(fā)現(xiàn)某些條件的狀態(tài)．

師:大家做得非常好!現(xiàn)在請對比圖12與圖13,你有新發(fā)現(xiàn)嗎?

生2:比較圖12與圖13中的這兩個三角形之間角的關系可得(筆者精心設計板書):

已知條件是∠ADC＝∠BAC ①

所求結論是∠CAD＝∠CBA ②

還有公共角∠ACD＝∠BCA ③

師:對照圖12與圖13提供的信息,那么①②③意味著什么?

生3:在這三個等式中,①和③成立,②是求證的結論,應該成立．可是……

師:怎么辦?

生:……

師:如果從整體上把握與體察,在①②③這三個角相等的等式中,這些角具有什么樣的特征?它對我們有什么啟發(fā)?

生4:應用“三角形的內角和等于180°”……

師:生3同學提出了一種很好的想法．如何應用“三角形的內角和等于180°”呢?

生5:①②③三個等式的左邊的三個角是△DAC的三個內角,右邊的三個角是△ABC的三個內角．于是,我們把這三個角的等式左、右兩邊分別相加就得到了這兩個三角形各自的內角和,都等于180°,即

師:如何應用④⑤兩個等式?

生6:兩個等式左邊也相等(都等于180°),即∠DAC＋∠ADC＋∠DCA＝∠ABC＋∠BAC＋∠ACB⑥．將⑥的左、右兩邊分別對應地減去①與③的左、右兩邊,就可得到②成立[4]．

這道題的教學設計活動,過去采用了∠BAC＝∠BAD＋∠CAD⑦,∠ADC＝∠BAD＋∠CBA⑧．比較⑦⑧,由于∠ADC＝∠BAC,∠BAD是公共角,故知∠CAD＝∠CBA．這就是典型“邏輯分析”方式教學設計,當在教學實踐中認識到,這種教學在很大程度上掩蓋了學生思維活動過程,逼著學生采用記憶的手段來記住問題的解答方法,這種教學手段是摧毀學生自信心與探究熱情的利器,我們想想大多數(shù)學生學習平面幾何時的那種身陷重圍的痛楚、舉步維艱的困惑、欲行又止的難局,就會深切地感受到我們的平面幾何推理論證教學的失敗其實就隱藏我們如此的“邏輯分析”方式的教學活動中．這就逼著我們教師一定要從這種“邏輯分析”方式教學設計轉化為“心理分析”方式教學設計．

3 簡要結語

數(shù)學的“邏輯分析”方式的過程要求褪盡鉛華,洗去塵梓,純而又純,超凡脫俗,以至于簡練到一塵不染;而“心理分析”方式的過程要求出自心意,平淡無奇,自然流暢,渾然天成,以至于趨近于無浮躁痕跡．在數(shù)學教學設計時,教師在教學設計時要悉心地分析所要教學的數(shù)學知識,分析學生發(fā)生具體數(shù)學知識時心理活動的繞不過去的環(huán)節(jié),在掌握這兩者的基礎上,進行教學法的加工．其中要特別注意的是;以“邏輯分析”方式為線索,以“心理分析”方式為目標,整合這兩者的優(yōu)勢,是發(fā)揮數(shù)學課程資源的教育價值,實現(xiàn)有效教學目標的基本保證．對此,我們一線數(shù)學教師應該思之再思,慎之又慎!

1 [美]克雷奇,克拉奇菲爾德,利維森,等．心理學綱要(上冊)[M]．周先庚,林傳鼎,張述祖,等譯．北京:文化教育出版社,1980:141-142

2 張昆,曹一鳴．完善數(shù)學教師教學行為的實現(xiàn)途徑[J]．數(shù)學教育學報,2015,24(1):33-37

3 馬復．義務教育教科書·數(shù)學·七年級上[M]．北京:北京師范大學出版社,2013:121

4 張昆．整合數(shù)學教學設計的取向——基于知識發(fā)生的邏輯取向與心理取向研究[J]．中國教育學刊,2011(6):52-55

2017-07-20)