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        有限鏈環(huán)上一類常循環(huán)碼的距離

        2017-10-14 00:45:27朱士信開曉山
        電子與信息學(xué)報(bào) 2017年3期
        關(guān)鍵詞:鏈環(huán)漢明線性

        袁 健 朱士信 開曉山

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        有限鏈環(huán)上一類常循環(huán)碼的距離

        袁 健 朱士信*開曉山

        (合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 合肥 230009) (東南大學(xué)移動(dòng)通信國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210096)

        在編碼理論中,線性碼的(最小)距離是一個(gè)極其重要的參數(shù),它決定了碼的糾錯(cuò)能力。設(shè)為任一有限交換鏈環(huán),為其最大理想的一個(gè)生成元,為的乘法單位群。對于任意,該文利用上任意長度的-常循環(huán)碼的生成結(jié)構(gòu),通過計(jì)算這類碼的高階撓碼,得到了上任意長度的-常循環(huán)碼的漢明距離,并研究了這類常循環(huán)碼的齊次距離。這給編譯有限鏈環(huán)上此類常循環(huán)碼提供了重要的理論依據(jù)。

        常循環(huán)碼;有限鏈環(huán);漢明距離;齊次距離

        1 引言

        自20世紀(jì)九十年代中期,Hammons等人[1]發(fā)現(xiàn)一些高效的二元非線性碼為上線性碼的Gray像以來,有限鏈環(huán)上糾錯(cuò)碼一直是編碼理論研究的熱點(diǎn)。有限鏈環(huán)上的常循環(huán)碼是一類非常重要的線性碼。有限域或環(huán)上碼的漢明距離在衡量碼的糾錯(cuò)能力起重要作用,Norton和Sǎlǎgean[8]利用撓碼研究有限鏈環(huán)上線性碼的漢明距離。齊次距離在研究有限鏈環(huán)上碼中非常重要[6,9]。在本文中,設(shè)為任一有限交換鏈環(huán),為其最大理想的一個(gè)生成元,為的乘法單位群。對于任意,我們先引用關(guān)于上任意長度的-常循環(huán)碼結(jié)構(gòu)[10]。利用此生成結(jié)構(gòu)性質(zhì),通過計(jì)算高階撓碼,結(jié)合代數(shù)計(jì)算程序MAGAM,得到了上任意長度的所有-常循環(huán)碼的漢明距離,還研究并得到了這類碼齊次距離的一些重要結(jié)果。

        2 有限鏈環(huán)和常循環(huán)碼

        如果一個(gè)有限含幺交換環(huán)是局部環(huán)并且其最大理想是主理想,那么該環(huán)是有限鏈環(huán)。本文中以表示任一有限鏈環(huán),表示的乘法單位群。設(shè)為的最大理想的一個(gè)生成元。于是為一冪零元,本文記為其冪零指數(shù)。本文記模其最大理想的剩余域?yàn)?,即,其中為含有個(gè)元素的有限域,為的特征。的勢為。到存在一個(gè)自然環(huán)滿同態(tài)映射。此映射可以自然開拓為到的一個(gè)環(huán)同態(tài),我們?nèi)詫⑺涀鳌τ谌我?,我們記其在下的像為。根?jù)文獻(xiàn)[11],對于中任一非零元,存在唯一的和唯一的單位,使得,其中在模下唯一。對于,若有使得,則稱在上互素。在上互素當(dāng)且僅當(dāng)在上互素[11]。

        定理1[10]每一個(gè)互不相同的上長度為的-常循環(huán)碼可唯一表示成,其中,。上長度為的-常循環(huán)碼的數(shù)目為。上述碼中碼字?jǐn)?shù)目為。

        3 漢明距離和齊次距離

        碼中任一碼字的齊次重量為它的所有分量的齊次重量的和。線性碼的齊次距離為碼所有非零碼字的齊次重量中的最小值。漢明重量和漢明距離按照通常的定義。下面來研究上長度為的-常循環(huán)碼的漢明距離和齊次距離。

        4 結(jié)束語

        本文研究了有限鏈環(huán)上的一類常循環(huán)碼的距離。根據(jù)這類常循環(huán)碼的已知結(jié)構(gòu),通過計(jì)算其高階撓碼,對任一給定的這類常循環(huán)碼,其漢明距離都可以利用本文方法計(jì)算。本文還探究了這類常循環(huán)碼的齊次距離,得到了關(guān)于這類碼的齊次距離的一個(gè)界,并得到了在某些特殊情況下這類碼的精確的齊次距離。這給編譯有限鏈環(huán)上此類常循環(huán)碼提供了重要的理論依據(jù)。完全確定該類碼在任意情況下的精確齊次距離是一個(gè)待研究的問題。

        [1] HAMMONS A R Jr., KUMAR P V, CALDERBANK A R,. The-linearity of Kerdock, Preparata, Goethals and related codes[J]., 1994, 40(2): 301-319. doi: 10.1109/18.312154.

        SHI M J, YANG S L, and ZHU S X. The distributions of distances of-constacyclic codes of lengthover[J].&, 2010, 32(1): 112-116. doi: 10.3724/ SP.J.1146.2008.01810.

        [3] KONG B, ZHENG X Y, and MA H J. The depth spectrums of constacyclic codes over finite chain rings[J]., 2015, 338(2): 256-261. doi: 10.1016/j.disc.2014. 09.013.

        [4] QIAN K Y, ZHU S X, and KAI X S. On cyclic self-orthogonal codes over[J]., 2015, 33: 53-65. doi: 10.1016/j.ffa.2014.11.005.

        [5] DINH H Q, DHOMPONGSA S, and SRIBOONCHITTA S. Repeated-root constacyclic codes of prime power length overand their duals[J]., 2016, 339(6): 1706-1715. doi: 10.1016/j.disc.2016.01.020.

        [6] WOLFMANN J. Negacyclic and cyclic codes over[J]., 1999, 45(7): 2527-2532. doi: 10.1109/18.796397.

        [9] GREFERATH M and SCHMIDT S E. Gray isometries for finite chain rings and a nonlinear ternarycode[J]., 1999, 45(7): 2522-2524. doi: 10.1109/18.796395.

        [10] CAO Y L. On constacyclic codes over finite chain rings[J]., 2013, 24: 124-135. doi: 10.1016/j.ffa.2013.07.001.

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        [12] DINH H Q. Constacyclic codes of lengthover[J]., 2010, 324(5): 940-950. doi: 10.1016/j.jalgebra.2010.05.027.

        On Distances of Family of Constacyclic Codes over Finite Chain Rings

        YUAN Jian ZHU Shixin KAI Xiaoshan

        (,,230009,)(,,210096,)

        In coding theory, the (minimum) distance of a code is a very important invariant, which always determines the error-correcting capability of the code. Letbe an arbitrary commutative finite chain ring,is a generator of the unique maximal ideal andis the multiplicative group of units of. In this paper, for any, by using the generator polynomials of-constacyclic codes of any length over, higher torsion codes of such codes are calculated. The Hamming distance of all-constacyclic codes of any length overis determined and the exact homogeneous distance of some such codes is obtained. The result provides a theoretical basis for encoding and decoding for such constacyclic codes.

        Constacyclic codes; Finite chain rings; Hamming distance; Homogeneous distance

        TN911.22

        A

        1009-5896(2017)03-0754-04

        10.11999/JEIT160392

        2016-04-22;改回日期:2016-09-23;

        2016-11-14

        朱士信 zhushixin@hfut.edu.cn

        國家自然科學(xué)基金(61370089, 60973125),東南大學(xué)國家移動(dòng)通信研究實(shí)驗(yàn)室開放研究基金(2014D04),安徽省自然科學(xué)基金(1508085SQA198)

        The National Natural Science Foundation of China (61370089, 60973125), The Open Research Fund of National Mobile Communications Research Laboratory, Southeast University (2014D04), The Natural Science Foundation of Anhui Province (1508085SQA198)

        袁 健: 男,1988年生,博士生,研究方向?yàn)榇鷶?shù)編碼.

        朱士信: 男,1962年生,教授,博士生導(dǎo)師,研究方向?yàn)榇鷶?shù)編碼理論、信息安全與序列密碼等.

        開曉山: 男,1975年生,副教授,研究方向?yàn)榫幋a理論與信息安全等.

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