陳治友

(貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 貴陽(yáng) 550005)

T-凸空間中的KKM引理及其應(yīng)用

陳治友

(貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，中國(guó) 貴陽(yáng) 550005)

空間的凸性在非線性分析理論、變分不等式論以及最優(yōu)化理論等領(lǐng)域扮演著重要角色.在這些領(lǐng)域中，不論是理論方面的問(wèn)題，還是應(yīng)用方面的問(wèn)題，都依賴于空間的凸性.然而很多空間都不具備通常的以線性結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)的“凸性”.在不具有線性結(jié)構(gòu)的空間中，建立廣義凸性，同時(shí)把連續(xù)選擇定理、不動(dòng)點(diǎn)定理以及其他重要結(jié)果推廣到不依賴線性結(jié)構(gòu)的廣義凸性空間中具有十分重要的意義.為此，充分利用T-凸空間所滿足的H0-條件和經(jīng)典的分析方法，在不具有線性結(jié)構(gòu)的T-凸空間中，建立并證明KKM引理；同時(shí)借助該引理，給出一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理和一個(gè)不具擬T-凹性的函數(shù)的一個(gè)Ky Fan不等式的解的存在性定理．

T-凸空間；H0-條件；KKM引理；Ky Fan不等式

AbstractConvexity of spaces plays a very important role in non-linear analysis theory, variational inequality theory, optimal theory and so on. In all these cases of theoretical and applied studies, the dependence on the convexity of spaces is presumed. However, a lot of spaces do not possess the convex property from the viewpoint of the usual linear structure. Because of this, it has become recent interest to establish generalized convexity on spaces without linear structure and to generalize the continuity selection theorem, the fixed point theorem and some other important results, to generalized convex spaces. Here we make full use of theH0-condition ofT-convex space and classical analysis method, to prove KKM lemma onT-convex space without linear structure. Finally, we study two applications of this lemma onT-convex space. One is the fixed point theorem and the other is the existence theorem for the solution of Ky Fan inequality without quasi-T-concavity onT-convex spaces.

KeywordsT-convex space;H0- condition; KKM lemma; Ky Fan inequality

文獻(xiàn)[1]用集合的可縮性構(gòu)造集合族，利用該集合族定義了一種廣義凸性，據(jù)此定義了具有H-凸結(jié)構(gòu)的H-空間，該空間將先前的線性凸結(jié)構(gòu)進(jìn)行了推廣.文獻(xiàn)[2]指出任何Hausdoff拓?fù)渚€性空間，凸空間，可縮空間，偽凸空間都是H-空間.而后，一些專家學(xué)者研究了一般拓?fù)淇臻g中的凸結(jié)構(gòu)，如：半格凸、G-凸、B-凸、Van de Vel凸、Michael-凸、L-凸、超凸等．文獻(xiàn)[3-4]指出上述一系列凸結(jié)構(gòu)有一個(gè)共性特征，即都滿足H0-條件.文獻(xiàn)[5]利用連續(xù)映射的延拓性質(zhì)構(gòu)造了具有T-凸結(jié)構(gòu)的T-凸空間，該空間的T-凸性是H-空間的H-凸性的推廣.并且還證明了T-凸空間滿足H0-條件.文獻(xiàn)[6-11]將一些線性拓?fù)淇臻g中的重要結(jié)果推廣到不依賴線性結(jié)構(gòu)的廣義抽象凸空間中做了重要嘗試.本文將在這些研究的基礎(chǔ)上，充分利用T-凸空間所滿足的H0-條件和經(jīng)典的分析方法，在不具有線性結(jié)構(gòu)的T-凸空間中，建立并證明KKM引理；同時(shí)借助該引理，證明一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理和一個(gè)不具擬T-凹性的函數(shù)的一個(gè)Ky Fan不等式的解的存在性定理．

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[5]設(shè)X,Y為拓?fù)淇臻g，A?X為X的任意子集，f:A→Y連續(xù)，若存在連續(xù)映射f*:X→Y，使得f*(x)=f(x),?x∈A，則稱f可以從A延拓(或擴(kuò)張)X．

定義2[5]設(shè)X,Y為拓?fù)淇臻g，若對(duì)X的任意子集A?X及任意連續(xù)映射f:A→Y，f可以從A延拓X，則稱Y關(guān)于X具有延拓性質(zhì)．

定義3[5]設(shè)X為一拓?fù)淇臻g，定義集族{TA}為TA={D?X:D關(guān)于X具有延拓性質(zhì)}．以X中一切有限子集A編號(hào)，且當(dāng)A?B時(shí)，TA?TB，則稱二元對(duì)(X,{TA})為一T-凸空間．集D?X稱為T-凸的，如果對(duì)任意有限集A?D，都有TA?D．

設(shè)(X,{TA})是一T-凸空間，定義A?X的T-凸包為：coTA=∩{D?X:A?D且D是T-凸的}．

易驗(yàn)證，若A?X為T-凸當(dāng)且僅當(dāng)coTA=A．

定義4[5]稱T-凸空間(X,{TA})滿足H0-條件，如果凸結(jié)構(gòu){TA}有下面性質(zhì)：

對(duì)每個(gè)有限集{x0,x1,…,xn}?X，存在連續(xù)映射

f:ΔN→coT{x0,x1,…,xn}

使得

f(ΔJ)?coT{xj:j∈J}，?φ≠J?N．

其中ΔN=e0e1…en是n維標(biāo)準(zhǔn)單純形，e0,e1,…,en是Rn+1中的標(biāo)準(zhǔn)正交基．

定義5設(shè){Ti:i∈I}是n維標(biāo)準(zhǔn)單純形ΔN=e0e1…en的一類單形剖分，υ表示該類單形剖分的所有子單形的所有頂點(diǎn)的集.若函數(shù)λ:υ→{0,1,…,n}滿足：

λ(v)∈χ(v),?v∈υ，

則稱該函數(shù)為這個(gè)剖分的一個(gè)正常標(biāo)號(hào).進(jìn)而，若Ti的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)完全標(biāo)號(hào)集{0,1,…,n}，則稱Ti是一個(gè)具有完全標(biāo)號(hào)的子單形.

引理1[4]設(shè){Ti:i∈I}是n維標(biāo)準(zhǔn)單純形ΔN=e0e1…en的任意一單形剖分，并且被函數(shù)λ進(jìn)行正常標(biāo)號(hào)，則在這一剖分中一定存在奇數(shù)個(gè)具有完全標(biāo)號(hào)的子單形.

注3: 設(shè)Y是一個(gè)T-凸Hausdorff拓?fù)淇臻g，X是Y的一個(gè)非空閉T-凸集，若泛函ψ：X×X→R滿足：對(duì)任一λ∈R,集合

Fλ={y∈X:-ψ(x,y)≤λ,?x∈X}

是T-凸的，則稱?x∈X,ψ(x,y)在X上關(guān)于y是擬T-凹的．

2 主要結(jié)果

證設(shè){y0,y1,…,yn}是X的任一有限子集.由于(Y,{TA})是一T-凸空間，因此，它滿足H0-條件，所以必存在一單值的連續(xù)函數(shù)

使得對(duì)每一個(gè)非空子集J?N,有

f(ΔJ)?coT{y0,y1,…,yn}.

對(duì)每一個(gè)v∈υk，令

λk(v)=min{j∈χ(v):f(v)∈F(yj)}.

由假設(shè)，因?yàn)関∈coT{ej:j∈χ(v)}且

則λk(v)是非空的.易知λk是這個(gè)剖分的一個(gè)正常標(biāo)號(hào)函數(shù).

由λ的定義，有

由于ΔN是緊的，因此必存在y*∈ΔN，使得

則

又因?yàn)镕為閉值的，即有每一個(gè)F(yi),i=0,1,…,n是閉的，故

f(y*)∈F(yi),i=0,1,…,n.

即

定理1得證.

3 應(yīng)用

證由于X緊，且開(kāi)集族{F-1(x):x∈X}覆蓋X，據(jù)有限覆蓋定理，必存在X的有限子集{x0,x1,…,xn}，使得有限個(gè)開(kāi)集的集：

{F-1(xi):xi∈X,i=0,1,…,n}，

H(x)=[XF-1(x)],x∈X.

易知H是閉的，據(jù)定理1，H不是KKM映射.因此必存在有限子集

{y0,y1,…,ym}?X,

使得

即存在某個(gè)y*∈coT{y0,y1,…,ym}，使得y*?H(yi),i=0,1,…,m.即

y*∈F-1(yi),?i=0,1,…,m.

從而有

yi∈F(y*),?i=0,1,…,m.

因此有

y*∈coT{y0,y1,…,ym}?F(y*).

定理2得證.

定理3設(shè)Y是一個(gè)T-凸Hausdorff拓?fù)淇臻g，X是Y的一個(gè)非空閉T-凸集，設(shè)泛函φ和ψ是X×X→R的且滿足條件：

(1)φ(x,y)≤ψ(x,y),ψ(x,x)≤0,?x,y∈X；

(3)?x∈X,ψ(x,y)在X上關(guān)于y是擬T-凹的．

證作映射G,H:X→2X分別如下：

G(y)={x∈X:φ(x,y)≤0},H(y)={x∈X:ψ(x,y)≤0}．

由(2)知下水平集G(y)閉．下證G為KKM映射．即證：

于是由(1)就有ψ(u,yj)>0,j=i0,…,ik，再由(3)有ψ(u,u)>0與(1)矛盾，故

定理3得證.

[1] HORVATH C D. Some results on multivalued mappings and inequalities without convexity[M]. in: Lin B.L., Simons S.(Eds.), Nonlinear and Convex Analysis, Marcel Dekker, 1987.

[2] BARDARO C, CEPPITELLI R. Some futher generalizations of Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz theorem and minimax inequalities[J].J Math Anal Appl, 1988,132(3):484-490.

[3] XIANG S W, YANG H. Some properties of abstract convexity structures on topological spaces[J]. Nonlinear Anal, 2007,67(5):803-808.

[4] XIANG S W, XIA S Y. A further characteristic of abstract convexity structures on topological spaces[J].J Math Anal Appl, 2007,335(7)：716-723.

[5] 陳治友.T-凸空間的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)， 2012,34(10)：106-108.

[6] 陳治友，夏順友.抽象凸空間中廣義最大元的穩(wěn)定性[J].西南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012,34(8)：116-118.

[7] 陳治友，夏順友.抽象凸空間上廣義博弈Nash平衡點(diǎn)的存在性[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012,31(5)：786-791.

[8] 夏順友.抽象凸空間上弱Ky Fan點(diǎn)的存在性及其等價(jià)描述[J]. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013,32(10)：1437-1440.

[9 ] 夏順友. 集值Sperner組合引理與抽象凸空間中的KKMS引理[J]. 西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013,38(6):25-29.

[10] 陳治友，夏順友.抽象凸空間中的Shapley-KKM引理[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014，37(3)：338-340.

[11] 夏順友. 抽象凸空間上的擬變分不等式及其應(yīng)用[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)， 2014,37(1)：78-86.

(編輯 HWJ)

KKM Lemma and Its Applications onT-Convex Spaces

CHENZhi-you*

(College of Mathematics and Information Science, Guiyang University, Guiyang 550005, China)

O177.91

A

1000-2537(2017)05-0084-04

2016-07-09

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11561013)；貴州省科技基金資助項(xiàng)目(黔科合J字[2014]2005)；貴州省科技合作計(jì)劃資助項(xiàng)目(黔科合LH字[2015]7298)；貴州省科技廳聯(lián)合基金資助項(xiàng)目(黔科合J字LKG[2013]30；黔科合LH字[2014]7176)

*通訊作者,E-mail：czy-gz-cn@126.com

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.05.013