姚 瑋，羅建軍，馬衛(wèi)華，袁建平

(1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072；2. 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072)

一種改進(jìn)的微分進(jìn)化算法及其在多目標(biāo)訪問任務(wù)中的應(yīng)用

姚 瑋1,2，羅建軍1,2，馬衛(wèi)華1,2，袁建平1,2

(1.西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072；2. 航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072)

研究在給定時(shí)空約束下利用單平臺(tái)機(jī)動(dòng)實(shí)現(xiàn)地面多目標(biāo)重訪任務(wù)問題的建模與求解。首先在問題描述和建模過程中考慮多約束與性能指標(biāo)要求，大大縮減優(yōu)化算法的參數(shù)搜索空間，提高求解效率；然后針對(duì)傳統(tǒng)微分進(jìn)化算法的不足，提出一種改進(jìn)的微分進(jìn)化算法，并將其應(yīng)用于求解多約束多目標(biāo)重訪優(yōu)化問題。改進(jìn)的微分進(jìn)化算法通過引入雙重自適應(yīng)因子和獨(dú)立變異體，提高了算法的優(yōu)化效率并使其在陷入局部最優(yōu)后仍具有一定的跳出局部最優(yōu)的能力。仿真中改進(jìn)的算法在打靶仿真均值，最優(yōu)結(jié)果和均方差方面都遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)算法，驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)的建模方法和改進(jìn)優(yōu)化算法的正確性和有效性。

機(jī)動(dòng)軌道設(shè)計(jì); 自適應(yīng)微分進(jìn)化; 多約束; 多目標(biāo)訪問

0 引 言

以對(duì)地觀測(cè)、遙感和目標(biāo)偵查等任務(wù)目標(biāo)作為實(shí)際需求的對(duì)地訪問任務(wù)一直以來都是航天領(lǐng)域的核心問題之一。其中，多目標(biāo)覆蓋與重訪又是一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的任務(wù)，最為普遍的星座組網(wǎng)任務(wù)模式存在系統(tǒng)復(fù)雜、代價(jià)高昂、維護(hù)困難的弊端，因此通過單平臺(tái)機(jī)動(dòng)的方式實(shí)現(xiàn)對(duì)地多目標(biāo)重訪任務(wù)具有十分重要的應(yīng)用前景。對(duì)地多目標(biāo)重訪任務(wù)和問題的解決離不開優(yōu)化，近些年，隨著智能優(yōu)化算法的快速發(fā)展，遺傳算法[1-3]，粒子群算法[4-7]和微分進(jìn)化算法[8-16]等脫穎而出，但遺傳算法存在計(jì)算量大，效率低等缺點(diǎn)，而粒子群算法極易陷入局部最優(yōu)，并存在對(duì)離散問題處理能力欠缺的局限性。微分進(jìn)化算法于1995年由Storn和Price[9-10]提出，由于原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)被廣泛地用于解決軌道優(yōu)化[8,13-14]，星座設(shè)計(jì)[12]，機(jī)動(dòng)優(yōu)化[15]，多目標(biāo)分配[11]和參數(shù)辨識(shí)[16]等問題，當(dāng)然它也存在智能優(yōu)化算法所共有的易陷入局部最優(yōu)的問題。

為了有效地進(jìn)行電離層擾動(dòng)機(jī)理與效應(yīng)研究，觀察和記錄氣輝效應(yīng)，通常在不同緯度帶選取適當(dāng)?shù)攸c(diǎn)進(jìn)行空間環(huán)境觀測(cè)與診斷。國(guó)內(nèi)相關(guān)單位與歐洲EISCAT國(guó)際組織有著長(zhǎng)期的合作，利用特洛姆瑟等地基非相干散射雷達(dá)等手段開展空間環(huán)境觀測(cè)研究，同時(shí)國(guó)內(nèi)在昆明建有電波環(huán)境綜合觀測(cè)試驗(yàn)基地，海南有探空火箭發(fā)射場(chǎng)等便利條件，因此選擇挪威、昆明和?？谌刈鳛樵谲壴囼?yàn)觀察診斷區(qū)域，充分發(fā)揮了國(guó)際合作和國(guó)內(nèi)優(yōu)勢(shì)，并以此構(gòu)建天地聯(lián)合試驗(yàn)觀測(cè)診斷體系，支撐空間環(huán)境科學(xué)研究。

本文針對(duì)單平臺(tái)機(jī)動(dòng)實(shí)現(xiàn)地面多目標(biāo)重訪任務(wù)，在建模方面采用將約束指標(biāo)直接作用于建模過程的處理方式，大大縮減優(yōu)化算法的參數(shù)搜索空間，提高優(yōu)化效率和性能；在優(yōu)化算法方面，通過引入雙重自適應(yīng)進(jìn)化因子和添加自由變異因子實(shí)現(xiàn)了對(duì)傳統(tǒng)微分進(jìn)化算法的改進(jìn)，顯著提升算法的智能性和高效性，且在一定程度上改善了算法陷入局部最優(yōu)的問題。最后的算例仿真表明改進(jìn)的算法在優(yōu)化結(jié)果和穩(wěn)定性方面都具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

1 問題描述

電離層擾動(dòng)效應(yīng)的夜晚觀測(cè)效果好于白天，因此需要通過相應(yīng)軌道設(shè)計(jì)創(chuàng)造夜晚飛經(jīng)三地的機(jī)會(huì)，同時(shí)為提高試驗(yàn)效率，還需要通過軌道機(jī)動(dòng)策略優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)較短時(shí)間內(nèi)完成以上三地的觀測(cè)試驗(yàn)。選取兩天為總?cè)蝿?wù)時(shí)間，對(duì)三個(gè)目標(biāo)點(diǎn)盡可能多地執(zhí)行多次重訪任務(wù)。

三個(gè)目標(biāo)點(diǎn)具體的經(jīng)緯度信息如下：

A.高緯目標(biāo)點(diǎn)(挪威)參數(shù)(69.59°N, 19.23°E);

B.中緯目標(biāo)點(diǎn)(昆明)參數(shù)(25.6°N, 103.8°E);

C.低緯目標(biāo)點(diǎn)(?？?參數(shù)(20.0°N, 110.34°E)。

整個(gè)覆蓋和重訪任務(wù)必須滿足以下指標(biāo)：

1)初始軌道為300 km的太陽(yáng)同步軌道;

2)累計(jì)速度脈沖約束不超過1000 m/s;

3)仰角80°的仰視錐角內(nèi)為空間經(jīng)過依據(jù);

4)訪問當(dāng)?shù)氐胤綍r(shí)在21:00至次日05:00之間;

5)在訪問次數(shù)最多的基礎(chǔ)上，盡量降低燃耗。

本文針對(duì)上述任務(wù)和要求，建立了多約束多目標(biāo)重訪任務(wù)的模型，并采用微分進(jìn)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解。問題描述和建模求解過程如圖1所示。

圖1 問題描述和建模求解流程圖Fig.1 The flow chart of problem formulation and solution

2 模型建立

解決多目標(biāo)快速機(jī)動(dòng)連續(xù)訪問問題，在優(yōu)化之前，數(shù)學(xué)建模必不可少，本文通過先不考慮任務(wù)約束，將問題簡(jiǎn)化，再逐步引入約束進(jìn)行拓展的思路完成對(duì)整個(gè)搜索空間的建模，主要包含反解任務(wù)星軌道要素(僅考慮訪問約束)，拓展為任務(wù)星群(引入傳感器覆蓋仰角約束)，拓展為任務(wù)星群帶(引入軌道面調(diào)整約束)，拓展為任務(wù)星群網(wǎng)(引入任務(wù)時(shí)間不確定性約束)四個(gè)階段。

2.1反解任務(wù)星軌道要素

通過目標(biāo)點(diǎn)的經(jīng)、緯度信息和軌道傾角，根據(jù)星下點(diǎn)軌跡、經(jīng)度線與赤道構(gòu)成的球面三角形幾何關(guān)系如圖2所示，利用下式

(1)

可以求得訪問目標(biāo)點(diǎn)的任務(wù)星在訪問時(shí)刻升交點(diǎn)經(jīng)度Ω和真近點(diǎn)角f的信息，其中φ，φ，i分別代表目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)度、緯度和軌道傾角。

圖2 星下點(diǎn)軌跡幾何關(guān)系示意圖Fig.2 Geometry of ground track

2.2任務(wù)星群拓展

考慮到地面目標(biāo)點(diǎn)傳感器的覆蓋仰角，通過分析，可將單顆任務(wù)星考慮探測(cè)范圍后拓展為一個(gè)圓構(gòu)型的任務(wù)星群，則只要衛(wèi)星的當(dāng)前t時(shí)刻升交點(diǎn)經(jīng)度和真近點(diǎn)角在允許可變范圍內(nèi)均可視為能夠?qū)崿F(xiàn)訪問任務(wù)，分析過程如圖3所示。星群地心角θ2，升交點(diǎn)赤經(jīng)沿拓量Δl和真近點(diǎn)角沿拓量Δf如式(2)～(4)所示，其中a代表軌道半長(zhǎng)軸，d代表傳感器敏感半徑，ΔΩ代表升交點(diǎn)赤經(jīng)變化范圍。

(2)

(3)

(4)

圖3 任務(wù)星群拓展分析過程示意圖Fig.3 The process of expanding to a feasible region

2.3任務(wù)星群帶拓展

由于平臺(tái)具有一定的機(jī)動(dòng)能力，根據(jù)燃料約束可求得根據(jù)初始軌道傾角在考慮最大機(jī)動(dòng)能力后對(duì)應(yīng)的可行軌道傾角范圍，如圖4所示。分析可得最大和最小軌道傾角imax，imin如式(5)、(6)所示。

imax=arccos(-cosicosΔi+sinisinΔicosft)

(5)

imin=arccos(cosπ cosΔi+sinisinΔicosft)

(6)

圖4 任務(wù)星群帶拓展分析示意圖Fig.4 The process of expanding to feasible strip area

2.4任務(wù)星群網(wǎng)拓展

在該任務(wù)中，目標(biāo)點(diǎn)的訪問時(shí)間在規(guī)定時(shí)間段內(nèi)是一個(gè)可變參數(shù)，因此考慮任務(wù)時(shí)間t變化時(shí)，可將任務(wù)星群帶拓展為任務(wù)星群網(wǎng)，事實(shí)上是給升交點(diǎn)赤經(jīng)和真近點(diǎn)角分別添加一個(gè)與時(shí)間和地球自轉(zhuǎn)角速度ωe或軌道角速度ωo相關(guān)的漂移量，如下所示：

(7)

到此，整個(gè)建模過程完成，如式(8)所示，根據(jù)三個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的經(jīng)緯度確定的由任務(wù)時(shí)間、任務(wù)軌道傾角、任務(wù)星升交點(diǎn)赤經(jīng)、真近點(diǎn)角構(gòu)成的三個(gè)四維矩陣就可作為優(yōu)化算法的參數(shù)搜索空間，該搜索空間已經(jīng)將約束合理引入，大大縮減了搜索空間的維度，可大幅提升求解效率。后續(xù)的優(yōu)化過程只需通過合適的優(yōu)化算法在該參數(shù)搜索空間內(nèi)尋找到目標(biāo)函數(shù)值(燃料消耗)最小的參數(shù)組即可，本文的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為累計(jì)速度脈沖IV。

(8)

2.5建模過程仿真校驗(yàn)

為了校驗(yàn)上述建模過程的正確性和可靠性，同時(shí)對(duì)建模過程進(jìn)行更加形象的演示，本文將Matlab數(shù)值仿真結(jié)果與STK場(chǎng)景仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，可以看出最終STK場(chǎng)景仿真結(jié)果與Matlab數(shù)值仿真結(jié)果完全一致，證明了整個(gè)建模過程的可靠性和有效性。圖5(a)～(d)依次為單顆任務(wù)星示意圖、任務(wù)星群帶示意圖、任務(wù)時(shí)間間隔為1 h的任務(wù)星群網(wǎng)示意圖和STK場(chǎng)景仿真示意圖。

圖5 建模過程仿真校驗(yàn)效果圖Fig.5 Verification of modeling process in STK

3 改進(jìn)的微分進(jìn)化算法

3.1傳統(tǒng)微分進(jìn)化算法

當(dāng)定義優(yōu)化問題變量數(shù)為N，種群個(gè)體數(shù)為n，進(jìn)化總代數(shù)為K，i表示變量編號(hào)，j表示個(gè)體編號(hào)，g表示當(dāng)前進(jìn)化代數(shù)編號(hào)時(shí)，微分進(jìn)化過程可表示如下[8,10]：

1)隨機(jī)初始種群生成：

(9)

2)通過變異操作生成突變體：

一般有兩種突變體生成方式：

(1)以上一代最優(yōu)個(gè)體作為突變體基準(zhǔn)值

(10)

(2)以上一代隨機(jī)個(gè)體作為突變體基準(zhǔn)值

(11)

其中隨機(jī)數(shù)進(jìn)化因子：

Fi,j=rand(0,1)

(12)

3)交叉操作確定突變體是否作為備選體：

Ui,j(g)=

(13)

其中隨機(jī)數(shù)進(jìn)化因子：

FCRi(g)=rand(0,1)

(14)

4)選擇操作，通過指標(biāo)函數(shù)比較選取合適的新一代個(gè)體：

(15)

5)重復(fù)2)～4)過程反復(fù)迭代，直到指標(biāo)函數(shù)滿足要求或達(dá)到迭代次數(shù)上限。

3.2雙重自適應(yīng)進(jìn)化因子設(shè)計(jì)

(16)

其中，與上一代指標(biāo)函數(shù)相關(guān)的進(jìn)化因子表述為

(17)

與迭代步數(shù)相關(guān)的進(jìn)化因子表達(dá)式為

Fi,j(g)=(0.1～1)

雖然很多初中地理教師在進(jìn)行具體教學(xué)的過程中，能夠意識(shí)到不同學(xué)生在智力以及知識(shí)接受能力上會(huì)有所不同，但卻依舊使用最為傳統(tǒng)的應(yīng)試教育方法進(jìn)行初中地理科目的教學(xué)，不能充分認(rèn)識(shí)到針對(duì)學(xué)生特點(diǎn)應(yīng)用差異教學(xué)方法所發(fā)揮的重要作用。同時(shí)，在具體教學(xué)過程中靈活應(yīng)用差異教學(xué)，需要教師全面了解班級(jí)每一位學(xué)生的特點(diǎn)，以及學(xué)生在地理科目學(xué)習(xí)中存在的問題，同時(shí)還要結(jié)合班級(jí)的實(shí)際情況，將差異教學(xué)的理論落實(shí)成為教學(xué)的有效策略，這些工作對(duì)于習(xí)慣了應(yīng)用傳統(tǒng)方法進(jìn)行教學(xué)的教師來說難度較大，并不能在短時(shí)間內(nèi)高質(zhì)量高效率地完成。

(18)

同時(shí)，考慮到交叉過程中的交叉幾率因子FCRi(g)決定了突變體和本體對(duì)新一代個(gè)體貢獻(xiàn)與否，因此本文也將FCRi(g)設(shè)計(jì)成與進(jìn)化代數(shù)和指標(biāo)函數(shù)相關(guān)的自適應(yīng)函數(shù)，具體形式為：

(19)

(20)

(21)

3.3變異因子設(shè)計(jì)

在以上自適應(yīng)性改進(jìn)之后，通過對(duì)算法進(jìn)行仿真分析，發(fā)現(xiàn)算法進(jìn)行過程中仍會(huì)陷入局部最優(yōu)而無法跳出，導(dǎo)致最終優(yōu)化結(jié)果并不理想。因此，本文通過在每一步進(jìn)化過程中都將最后一個(gè)個(gè)體設(shè)置為獨(dú)立變異因子，其不隨整個(gè)群體進(jìn)行有向的進(jìn)化，而是自身進(jìn)行隨機(jī)變異，當(dāng)算法陷入局部最優(yōu)之后，一旦該變異因子的指標(biāo)函數(shù)優(yōu)于局部最優(yōu)值，整個(gè)優(yōu)化過程會(huì)立刻跳出局部最優(yōu)，重新在該變異因子附近進(jìn)行新的進(jìn)化過程，變異因子的設(shè)置如下所示：

(22)

4 仿真分析

本節(jié)將采用傳統(tǒng)微分進(jìn)化算法和改進(jìn)后的算法分別對(duì)本文所關(guān)注的多目標(biāo)機(jī)動(dòng)訪問問題進(jìn)行優(yōu)化，利用打靶仿真對(duì)改進(jìn)后的算法性能進(jìn)行測(cè)試，并與傳統(tǒng)微分進(jìn)化算法進(jìn)行對(duì)比分析。

4.1算法改進(jìn)效果對(duì)比分析

當(dāng)進(jìn)化代數(shù)設(shè)置為100，種群個(gè)體數(shù)為10，六種微分進(jìn)化算法50次打靶仿真的結(jié)果如表1、圖6和圖7所示?？傮w來看,以隨機(jī)個(gè)體作為基準(zhǔn)值的三種算法效果要優(yōu)于對(duì)應(yīng)的以最優(yōu)值作為基準(zhǔn)值得三種算法。然而，縱向來看，當(dāng)對(duì)傳統(tǒng)微分進(jìn)化算法先后添加雙重自適應(yīng)因子和自由變異因子后，算法性能得到了明顯的改善。結(jié)合圖7和表1可以看出，算法(6)不但具有很好的優(yōu)化結(jié)果，也具有很好的穩(wěn)定性，該算法均方差僅為0.4254，遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)算法，是均值和最優(yōu)值最好的一組。在優(yōu)化過程中計(jì)算量消耗主要存在于目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算過程中，而這個(gè)過程只與進(jìn)化代數(shù)和每一代個(gè)體數(shù)有關(guān)，因此新算法的時(shí)間消耗與傳統(tǒng)算法基本一致，并未明顯提高。

表1 6種微分進(jìn)化算法打靶仿真結(jié)果Table 1 Monte Carlo simulation results of the six algorithms

如圖8～9所示，隨著整個(gè)微分進(jìn)化過程的進(jìn)行，迭代步數(shù)逐漸增加，最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)逐漸降低，自適應(yīng)因子也在隨著指標(biāo)函數(shù)和進(jìn)化代數(shù)的改變進(jìn)行自適應(yīng)過程，其最大值從優(yōu)化初期大于3逐漸減小到優(yōu)化末期的0.1左右，從而可以實(shí)現(xiàn)在微分進(jìn)化的整個(gè)階段進(jìn)行的每步迭代具有不同的搜索范圍和不同的全局搜索或局部搜索能力，從而使得優(yōu)化過程更加高效和智能。

4.2案例仿真綜合設(shè)計(jì)結(jié)果

綜合仿真最終優(yōu)化結(jié)果如下，在該機(jī)動(dòng)過程中，任務(wù)開始后7581.6 s將施加異面變軌脈沖和第一個(gè)相位調(diào)整脈沖，該任務(wù)軌道面調(diào)整角度為2.8072°，對(duì)應(yīng)的速度脈沖消耗為378.4928 m/s，需調(diào)整相位角為0.0101°，對(duì)應(yīng)速度脈沖為2×0.0722 m/s，調(diào)相軌道高度為6677.8 km，軌道周期為5430.9 s，接著在調(diào)相軌道上運(yùn)行一個(gè)周期后施加第二個(gè)調(diào)相脈沖，最后在目標(biāo)軌道上繼續(xù)運(yùn)行4031.2 s后實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)A的訪問，該結(jié)果對(duì)應(yīng)的搜索空間四維矩陣參數(shù)中任務(wù)時(shí)間，軌道傾角，升交點(diǎn)赤經(jīng)和真近點(diǎn)角分別為17064 s，97.5067° 162.8392°，19.8610°。

表2給出整個(gè)任務(wù)執(zhí)行過程中多階段綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果機(jī)動(dòng)參數(shù)，由表2可知，整個(gè)任務(wù)多階段綜合仿真中，先后5次對(duì)目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行了有效訪問，任務(wù)航天器一共機(jī)動(dòng)四次，分別為CA,AB,BA,AC，其中燃料主要消耗發(fā)生在第一次和第二次機(jī)動(dòng)的軌道面調(diào)整部分以及第四次機(jī)動(dòng)的相位角調(diào)整部分，最終累計(jì)速度脈沖消耗為867.5989 m/s，滿足任務(wù)要求。

圖6 6種微分進(jìn)化算法50次打靶仿真效果圖Fig.6 The convergence of six algorithms and 50 Monte Carlo samples for one mission

圖7 6種微分進(jìn)化算法50次打靶仿真均值對(duì)比圖Fig.7 The average value of Q in 50 simulations for six algorithms

圖8 進(jìn)化過程目標(biāo)函數(shù)Q趨勢(shì)圖Fig.8 The convergence of Q during the optimization process

圖9 自適應(yīng)進(jìn)化因子F隨進(jìn)化過程改變趨勢(shì)圖Fig.9 The convergence of F during the optimization process

最后本文通過STK場(chǎng)景演示對(duì)本案例進(jìn)行了驗(yàn)證，如表3所示，可以看出設(shè)計(jì)結(jié)果中，衛(wèi)星均在相應(yīng)的時(shí)間段按計(jì)劃通過指定目標(biāo)點(diǎn)，通過時(shí)間和次序與表2一致，因此可知本文的設(shè)計(jì)結(jié)果精確有效。

表2 CABAC過程多階段綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果-任務(wù)執(zhí)行時(shí)間序列表(累計(jì)速度脈沖867.5989 m/s)Table 2 Optimal maneuver parameters sequence table for the result of CABAC multi-stage comprehensive optimization mission (total velocity impulse is 867.5989 m/s)

表3 STK多階段綜合仿真中5次訪問具體參數(shù)表Table 3 Parameter results for five visit times

5 結(jié) 論

本文針對(duì)多目標(biāo)點(diǎn)快速機(jī)動(dòng)連續(xù)訪問問題，直接將約束條件作用于模型建立階段，縮小搜索空間，提高求解效率；并通過雙重自適應(yīng)因子和變異因子的引入，對(duì)傳統(tǒng)的微分進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)和仿真校驗(yàn)，打靶仿真結(jié)果表明改進(jìn)后的算法在最優(yōu)結(jié)果、優(yōu)化均值、均方差等多個(gè)方面都按預(yù)期體現(xiàn)出了明顯的優(yōu)勢(shì)，改進(jìn)效果顯著。進(jìn)一步的研究將關(guān)注于將該算法應(yīng)用到其他多個(gè)相關(guān)領(lǐng)域，尤其是復(fù)雜的多目標(biāo)多約束優(yōu)化問題。

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AnImprovedDifferentialEvolutionAlgorithmandItsApplicationonMultipleVisitingTargetProblem

YAO Wei1,2，LUO Jian-jun1,2，MA Wei-hua1,2，YUAN Jian-ping1,2

(1. School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University，Xi’an710072，China；2. Science and Technology on Aerospace Flight Dynamics Laboratory，Xi’an 710072，China)

An optimal problem of orbit maneuver when multiple targets need to be visited in a described period of time is modeled and solved in this paper. Firstly, the problem description and modeling process considering multiple constraints and performance indexes can reduce the searching space and improve the efficiency. Then focusing on the drawbacks of the classical differential evolution algorithm, an improved algorithm is proposed and applied on the multiple visiting target problem. The traditional algorithm is improved by designing the double self-adaption control parameters and introducing a random mutant to improve the efficiency of optimizing and make the algorithm can jump out when trapped into the local optimum. Specific simulation verifies that the SA-DE-RM (rand) algorithm has a better performance on average value, best result and mean square error and it is feasible and effective.

Orbit maneuver design; Self-adaptive differential evolution; Multi-constraints; Multiple visiting target

V448

A

1000-1328(2017)09- 0919- 08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.09.004

2017- 04-14;

2017- 07- 07

國(guó)家自然科學(xué)基金(61690210,61690211)

姚瑋(1990-)，男，博士生，主要從事航天軌道設(shè)計(jì)研究。

通信地址：陜西省西安市友誼西路127號(hào)(710072)

電話：18700878078

E-mail:451685010@qq.com