苗建明， 王少萍， 范磊,3， 李元

(1.北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院, 北京 100083; 2.中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司 第710研究所, 湖北 宜昌 443003;3.61267部隊(duì) 第41分隊(duì)， 北京 101114)

欠驅(qū)動(dòng)自主水下航行器空間曲線路徑跟蹤控制研究

苗建明1,2， 王少萍1， 范磊1,3， 李元1

(1.北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院, 北京 100083; 2.中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司 第710研究所, 湖北 宜昌 443003;3.61267部隊(duì) 第41分隊(duì)， 北京 101114)

針對(duì)具有模型不確定性和輸入飽和的欠驅(qū)動(dòng)自主水下航行器(AUV)，提出一種基于改進(jìn)反步法的簡(jiǎn)單實(shí)用三維空間曲線路徑跟蹤魯棒控制器。在 Serret-Frenet 坐標(biāo)系下建立了空間曲線路徑跟蹤誤差模型，結(jié)合視線角制導(dǎo)和虛擬向?qū)Х?，設(shè)計(jì)了基于李雅普諾夫理論和改進(jìn)反步法的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)控制器。不同于傳統(tǒng)的積分器反步法，該方法在控制器設(shè)計(jì)中采用跟蹤誤差的積分來(lái)增加控制器的魯棒性，不會(huì)增加系統(tǒng)的狀態(tài)變量和計(jì)算量；針對(duì)設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器存在非因果現(xiàn)象的問題，借助動(dòng)力學(xué)模型求解出運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器表達(dá)式；針對(duì)傳統(tǒng)反步法存在的“微分爆炸”現(xiàn)象及動(dòng)力學(xué)控制器過于復(fù)雜的問題，采用非線性跟蹤微分器對(duì)控制器進(jìn)行簡(jiǎn)化。仿真結(jié)果表明：采用所設(shè)計(jì)的基于改進(jìn)反步法的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)欠驅(qū)動(dòng) AUV 在模型參數(shù)不確定性和輸入飽和作用下的三維空間曲線路徑跟蹤控制，控制精度和魯棒性明顯優(yōu)于常規(guī)反步法。

控制科學(xué)與技術(shù)； 欠驅(qū)動(dòng)AUV； 空間曲線路徑跟蹤； 反步； 李雅普諾夫理論

Abstract: Based on the modified back-stepping technique, a simple and robust spatial curvilinear path following controller for the underactuated autonomous underwater vehicles (AUVs) with model uncertainties and input saturation is presented. A path following error dynamics model is constructed in a moving Serret-Frenet frame, and the kinematic controller and dynamic controller are developed based on line-of-sight (LOS) guidance algorithm and virtual moving target method. Differing from the traditional integrator backstepping technique, the proposed method is to introduce the integral tracking errors into the controller design to improve the robustness against the uncertainties. The dynamic model is used to solve the non-causal form caused by the coupled underactuated degrees. The nonlinear tracking differentiators (NTDs) are employed to construct the numerical solution of differential virtual control commands to tackle the problem of “explosion of terms” in the traditional back-stepping process, and the dynamic controller expressions are simplified. Simulations demonstrate that the designed controller realizes the spatial curvilinear path following control of underactuated AUV with model parameter uncertainties and input saturation, and its accuracy and robustness are more excellent than those of the traditional back-stepping control.

Key words: control science and technology; underactuated AUV; spatial curvilinear path following; back-stepping; Lyapunov’s theory

0 引言

隨著自主式水下航行器(AUV)在海洋研究和開發(fā)領(lǐng)域的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，路徑跟蹤控制已經(jīng)成為AUV運(yùn)動(dòng)控制的重要技術(shù)之一[1-3]。路徑跟蹤是控制AUV跟蹤一條滿足航向要求和性能約束，且與時(shí)間無(wú)關(guān)的期望軌跡[4]。由于受到質(zhì)量、可靠性、復(fù)雜性及效率等多方面的因素影響，目前大部分AUV屬于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，加上其本身具有高度的非線性和耦合性以及加速度不可積的非完整約束等特性[5]，給運(yùn)動(dòng)控制帶來(lái)了較大挑戰(zhàn)。

為了解決上述問題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)AUV路徑跟蹤控制進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[6]采用線性化方法，得到了一個(gè)局部穩(wěn)定的控制器。文獻(xiàn)[7]首次在Serret-Frenet坐標(biāo)系中建立路徑跟蹤誤差方程，基于李雅普諾夫理論和反步法設(shè)計(jì)了一個(gè)水平面內(nèi)的路徑跟蹤控制器，但是此控制器要求AUV的初始位置和期望路徑的誤差小于路徑的最小曲率半徑。文獻(xiàn)[8-9]采用虛擬向?qū)У姆椒ń獬诉@一限制，實(shí)現(xiàn)了二維平面內(nèi)的全局路徑跟蹤控制。文獻(xiàn)[10]采用2階自抗擾控制方法來(lái)處理典型欠驅(qū)動(dòng)的路徑跟蹤問題，但是沒有給出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論證明。文獻(xiàn)[11]給出了一個(gè)基于動(dòng)態(tài)面技術(shù)的控制器，有效地解決了傳統(tǒng)反步法存在的“微分爆炸”現(xiàn)象，并且采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法處理水動(dòng)力參數(shù)的不確定性。為了有效抵消風(fēng)、浪、流等環(huán)境的干擾，文獻(xiàn)[12]對(duì)傳統(tǒng)的視線角制導(dǎo)方法進(jìn)行改進(jìn)，提出了一個(gè)帶有積分項(xiàng)的視線角制導(dǎo)律，主要用于直線路徑跟蹤。文獻(xiàn)[13]提出了一個(gè)自適應(yīng)積分視線角制導(dǎo)律來(lái)估計(jì)未知的側(cè)滑角,可以用于直線或者Dubins路徑[14]跟蹤控制。文獻(xiàn)[15]提出了一個(gè)改進(jìn)的自適應(yīng)積分視線角制導(dǎo)律，采用一個(gè)自適應(yīng)徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和一個(gè)輔助系統(tǒng)，結(jié)合反步法實(shí)現(xiàn)了無(wú)人水面船在存在不確定性和輸入飽和情況下的路徑跟蹤控制問題。

需要指出的是，上述研究成果都局限在二維平面內(nèi)，由于三維空間曲線的路徑跟蹤控制問題更加復(fù)雜，欠驅(qū)動(dòng)的自由度也增加到兩個(gè)，因此到目前為止，關(guān)于三維空間曲線路徑的研究成果還相對(duì)較少。文獻(xiàn)[16-17]將積分視線角方法擴(kuò)展到有恒定海流影響的三維直線路徑跟蹤控制中。文獻(xiàn)[18]基于李雅普諾夫理論和反步法提出了一個(gè)三維空間的非線性自適應(yīng)控制器。文獻(xiàn)[19]在載體坐標(biāo)下基于虛擬向?qū)Хń⒘寺窂礁櫿`差模型, 采用濾波反步法實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)AUV的三維路徑跟蹤控制，通過2階濾波過程獲得虛擬控制量的導(dǎo)數(shù), 避免了直接對(duì)虛擬控制量解析求導(dǎo)的復(fù)雜過程。值得注意的是，文獻(xiàn)[18-19]忽略了側(cè)滑角和沖角的影響，而側(cè)滑角和沖角的存在給路徑跟蹤控制器的設(shè)計(jì)帶來(lái)了復(fù)雜性[5]。

基于上述考慮，針對(duì)具有模型參數(shù)不確定性的欠驅(qū)動(dòng)AUV，本文采用基于改進(jìn)的反步法來(lái)進(jìn)行三維空間曲線路徑跟蹤控制器的設(shè)計(jì)。不同于傳統(tǒng)的積分器反步法，該方法在控制器設(shè)計(jì)中采用跟蹤誤差的積分來(lái)增加控制器的魯棒性，因此不會(huì)增加系統(tǒng)的狀態(tài)變量和計(jì)算量。另外，針對(duì)傳統(tǒng)反步法存在的“微分爆炸”和控制器過于復(fù)雜等問題，采用離散非線性跟蹤微分器[20]來(lái)實(shí)時(shí)計(jì)算中間虛擬控制指令導(dǎo)數(shù)的數(shù)值解，避免了常規(guī)反步法直接對(duì)虛擬信號(hào)解析求導(dǎo)帶來(lái)的“微分爆炸”問題。

1 運(yùn)動(dòng)控制建模及問題描述

1.1 坐標(biāo)系及參數(shù)定義

坐標(biāo)系及參數(shù)定義如圖1所示，其中：{I}為慣性坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為海平面任一點(diǎn)，x軸以水下機(jī)器人的主航向?yàn)檎?，z軸指向地心為正，y軸與x軸和z軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系；{B}為載體坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)和AUV的質(zhì)心位置Q點(diǎn)重合，其xB軸指向AUV艏部方向，yB軸指向右舷，zB軸與xB軸和yB軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系；{SF}為Serret-Frenet曲線坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為期望路徑上的任意一點(diǎn)P，xSF軸沿路徑切線方向，ySF軸為法線方向,zSF軸與xSF軸和ySF軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

圖1 空間曲線路徑跟蹤控制坐標(biāo)系及參數(shù)定義Fig.1 Frame definitions of spatial curvilinear path following

1.2 欠驅(qū)動(dòng)AUV模型

假設(shè)所研究的欠驅(qū)動(dòng)AUV為零浮力，重心位于浮心正下方，忽略高于2階的非線性水動(dòng)力阻尼項(xiàng)，且不考慮橫搖運(yùn)動(dòng)的影響，縱傾角小于90°，欠驅(qū)動(dòng)AUV的5自由度運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[21-23]和動(dòng)力學(xué)模型[24]分別為

(1)

(2)

考慮到輸入飽和的影響，假設(shè)-τimin≤τi≤τimax,i=u,q,r，τu、τq和τr可以用(3)式表示：

(3)

1.3 Serret-Frenet坐標(biāo)系下的路徑跟蹤誤差模型

參照文獻(xiàn)[8,22]，在Serret-Frenet坐標(biāo)系下建立欠驅(qū)動(dòng)AUV的三維空間曲線路徑跟蹤誤差模型，并采用視線角制導(dǎo)結(jié)合虛擬向?qū)У姆椒ǎ员苊鈧鹘y(tǒng)橫向跟蹤控制方法存在的奇異性問題[7]。

如圖1所示，將慣性坐標(biāo)系{I}下AUV和目標(biāo)路徑上虛擬向?qū)c(diǎn)的位置誤差轉(zhuǎn)換到曲線坐標(biāo)系{SF}下，得到誤差方程如下：

(4)

對(duì)(4)式進(jìn)行求導(dǎo)，可得如下誤差動(dòng)力學(xué)方程：

(5)

忽略三維空間非線性引起的誤差， 航跡角誤差和潛浮角誤差動(dòng)力學(xué)模型[21-23]可以表示為

(6)

1.4 問題描述

2 空間曲線路徑跟蹤控制器設(shè)計(jì)

本文所設(shè)計(jì)的空間曲線路徑跟蹤控制器由視線角制導(dǎo)率、運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器和動(dòng)力學(xué)控制器3部分組成，然后針對(duì)控制器過于復(fù)雜的問題對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，下面給出每個(gè)部分的設(shè)計(jì)。

2.1 視線角制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

文獻(xiàn)[12-13]對(duì)視線角制導(dǎo)律進(jìn)行了介紹，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律為

(7)

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器設(shè)計(jì)

2.2.1 姿態(tài)控制

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

(8)

對(duì)(8)式進(jìn)行時(shí)間求導(dǎo)，并代入(6)式，可得

(9)

(10)

式中：k1、k2>0. 將(10)式代入(9)式可得

(11)

(12)

2.2.2 位置控制

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

(13)

對(duì)(13)式沿誤差動(dòng)力學(xué)模型(5)式的軌跡對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

(14)

(15)

將(7)式和(15)式代入(14)式得

(16)

2.3 動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)

定義虛擬航向角速度和俯仰角速度期望值為

(17)

考慮到輸入飽和的影響，采用如下輔助設(shè)計(jì)系統(tǒng)[15]：

(18)

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為

(19)

式中：k6>0.

當(dāng)|φr|、|φq|、|φu|≥φμ時(shí)，將(19)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

(20)

(21)

將(21)式代入(20)式得

(22)

(23)

3 控制器簡(jiǎn)化及穩(wěn)定性證明

3.1 控制器簡(jiǎn)化

綜上所述可以看出，上述傳統(tǒng)反步法設(shè)計(jì)的控制器由于對(duì)虛擬控制指令直接解析求導(dǎo)，導(dǎo)致動(dòng)力學(xué)控制器(23)式非常復(fù)雜，不適合實(shí)際工程應(yīng)用。動(dòng)態(tài)面控制方法采用1階濾波器得到虛擬控制的數(shù)值解有效解決了“計(jì)算膨脹”的問題[11,21]，本文采用韓京清提出的非線性快速跟蹤微分器[20]來(lái)實(shí)時(shí)求解虛擬航向角速度和俯仰角速度期望值導(dǎo)數(shù)的數(shù)值解，避免了上述非因果現(xiàn)象，同時(shí)簡(jiǎn)化了動(dòng)力學(xué)控制器表達(dá)式。

非線性快速跟蹤微分器的離散型表達(dá)式可以表示為

(24)

(25)

簡(jiǎn)化后的動(dòng)力學(xué)控制器為

(26)

需要說明的是，采用非線性快速跟蹤微分器對(duì)控制器簡(jiǎn)化后，必然會(huì)引入跟蹤微分器的跟蹤誤差，下面給出其穩(wěn)定性證明。

3.2 穩(wěn)定性證明

考慮(1)式～(6)式描述的欠驅(qū)動(dòng)AUV三維運(yùn)動(dòng)模型，由(7)式計(jì)算目標(biāo)視線角ψlos和θlos，由(12)式計(jì)算虛擬航向角速度和俯仰角速度期望值，分別由(24)式和(25)式獲取虛擬控制指令rd和qd的微分信號(hào)，采用(15)式獲取虛擬向?qū)У乃俣瓤刂坡桑捎?26)式和(3)式計(jì)算輸入力和力矩的控制律，假設(shè)參數(shù)ki>0,i=1，2，3，4，5，6，7，則有：

2)未直接驅(qū)動(dòng)的橫向速度v和垂向速度w一致最終有界。

證明：1)首先，重新考察李雅普諾夫函數(shù)V3，當(dāng)|φr|、|φq|、|φu|≥φμ時(shí)，對(duì)(19)式沿系統(tǒng)軌跡對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(27)

式中：kv=min (k1k6,k2k6,k5-0.5,k4-0.5,k7,kφr-0.5,kφq-0.5,kφu-0.5).

解方程式(27)式可得

(28)

其次，重新考察李雅普諾夫函數(shù)V2，同理可以證明跟蹤誤差ε2=[xe,ye,ze]一致最終有界。

2)考慮如下李雅普諾夫方程：

(29)

對(duì)(27)式沿系統(tǒng)軌跡對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

(30)

由于d22、d33>0，且m11、u、q、r均有界，根據(jù)文獻(xiàn)[26]可知，未直接驅(qū)動(dòng)的橫向速度v和垂向速度w一致最終有界。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性和魯棒性，本文對(duì)上述控制器進(jìn)行仿真分析，并與傳統(tǒng)反步法控制器的性能進(jìn)行對(duì)比。

假設(shè)AUV跟蹤的期望路徑為：xP(μ)=μ，yP(μ)=20cos (0.05μ)，zP(μ)=20sin (0.05μ).

假設(shè)控制輸入力τu的最大幅值為1 000 N，最大輸入力矩τq和τr的最大幅值為500 N·m. 控制器參數(shù)設(shè)計(jì)為：k1=1，k2=1，k3=0.5，k4=1,k5=10，k6=1，k7=1，kψ=0.1，kθ=0.1，ku=0.1，kq=0.1，kr=0.1，φμ=0.001，h=0.001，kφr=kφq=kφu=10.

假設(shè)AUV參數(shù)mii(i=1,2,3,5,6) 在名義值上增加30%，dii(i=1,2,3,5,6) 在名義值上增加50%. 仿真結(jié)果如圖2～圖6所示，圖2為AUV期望路徑和實(shí)際路徑，圖3為Serret-Frenet坐標(biāo)系下AUV和期望路徑上虛擬向?qū)еg的位置誤差，圖4為AUV線速度和角速度，圖5為虛擬控制指令及跟蹤微分器的輸出，圖6給出了在兩種控制器作用下的控制輸入。

圖2 AUV期望路徑和實(shí)際路徑Fig.2 The desired path and vehicle actual path

圖3 AUV和期望路徑上虛擬向?qū)еg的位置誤差Fig.3 Relative position errors of AUV and virtual moving target

從圖2和圖3中可以看出，基于改進(jìn)反步法的控制器在模型參數(shù)不確定和輸入飽和作用下能夠?qū)崿F(xiàn)三維空間曲線的路徑跟蹤控制，而基于傳統(tǒng)反步法的控制器控制精度明顯下降。圖4表明AUV縱向速度在改進(jìn)控制器作用下快速收斂到設(shè)定值2 m/s，而傳統(tǒng)反步法控制器則存在一個(gè)恒定的誤差。另外，從圖4還可以看出，未直接驅(qū)動(dòng)的橫向速度v和垂向速度w均有界。圖5表明所設(shè)計(jì)的非線性跟蹤微分器在實(shí)現(xiàn)對(duì)虛擬指令快速跟蹤的同時(shí)獲得了其微分信號(hào)。圖6表明改進(jìn)的控制器控制輸入始終在設(shè)定值范圍內(nèi)。

圖4 AUV線速度和角速度Fig.4 Linear and angular speeds of AUV

圖5 虛擬控制指令qd、rd和跟蹤微分器輸出的qc、rc、Fig.5 Virtual commands qd,rd, and qc,rc,, produced by nonlinear TDs

圖6 控制輸入力和輸入力矩Fig.6 Control inputs

5 結(jié)論

本文采用一種非常簡(jiǎn)單的控制方法實(shí)現(xiàn)了欠驅(qū)動(dòng)AUV在具有參數(shù)不確定性和輸入飽和下的三維空間曲線路徑跟蹤控制問題。不同于傳統(tǒng)的積分器反步法，該方法在增加控制器的魯棒性的同時(shí)，不會(huì)增加系統(tǒng)的狀態(tài)變量和計(jì)算量。另外，本文采用非線性跟蹤微分器對(duì)控制器進(jìn)行了簡(jiǎn)化。仿真結(jié)果驗(yàn)證了基于改進(jìn)反步法的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)AUV在模型參數(shù)不確定性和輸入飽和作用下的三維空間曲線的路徑跟蹤控制，并且控制精度和魯棒性明顯優(yōu)于常規(guī)反步法。

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SpatialCurvilinearPathFollowingControlofUnderactuatedAUV

MIAO Jian-ming1,2, WANG Shao-ping1, FAN Lei1,3, LI Yuan1

(1.School of Automation Science and Electrical Engineering, Beihang University, Beijing 100083, China；2.No. 710 Research Institute, China Shipbuilding Industry Corporation, Yichang 443003, Hubei, China；3. 41th Detachment, Unit 61267 of PLA, Beijing 101114, China)

TP242.3

A

1000-1093(2017)09-1786-11

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.09.016

2017-01-06

國(guó)家“973”計(jì)劃項(xiàng)目(2014CB046402)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51575019)

苗建明(1979—), 男，高級(jí)工程師, 博士研究生。E-mail: sxmjm@126.com

王少萍(1966—), 女, 教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: shaopingwang@vip.sina.com