王鑒, 韓焱, 王黎明, 張丕狀, 陳平

(1.中北大學(xué) 信息探測與處理山西省重點實驗室， 山西 太原 030051；2.中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 山西 太原 030051)

彈丸在膛內(nèi)運動的回波信號瞬時頻率估計方法研究

王鑒1,2, 韓焱1,2, 王黎明1,2, 張丕狀1,2, 陳平1,2

(1.中北大學(xué) 信息探測與處理山西省重點實驗室， 山西 太原 030051；2.中北大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院， 山西 太原 030051)

微波干涉儀可獲取含內(nèi)彈道運動信息的多普勒回波信號，為有效地估計回波信號的瞬時頻率，利用短時傅里葉變換、Wigner-Ville變換、多項式調(diào)頻小波變換(PCT)等方法對含有不同噪聲的模擬彈丸回波信號和真實的彈丸回波信號進(jìn)行分析和對比。研究結(jié)果表明：多項式調(diào)頻小波構(gòu)造匹配變換核的PCT方法時頻聚集性最好，瞬時頻率估計精度最高，并具有一定的抗干擾能力，說明PCT方法適合于彈丸在膛內(nèi)運動回波信號的瞬時頻率估計。

兵器科學(xué)與技術(shù)； 瞬時頻率估計； 彈丸運動； 微波干涉儀； 時頻分布

Abstract: The microwave interferometer can obtain the Doppler echo signal containing interior ballistic motion information. In order to estimate the instantaneous frequency of echo signal effectively, a mathematical model of motion curve of projectile in bore is established based on polynomial fitting. The methods of short-time Fourier transform, Wigner-Ville distribution, polynomial chirplet transform (PCT) are used to analyze the simulation echo signals of projectiles with different noise and experimental echo signals of projectiles, respectively. The results show that the PCT method which uses transform kernel based on polynomial frequency modulated wavelet has the best time-frequency concentration and accuracy of instantaneous frequency estimation (IFE) and good anti-interference ability compared with the other methods. The research results show that the PCT method is suitable for IFE of projectile’s signals.

Key words: ordnance science and technology； instantaneous frequency estimation； projectile motion； microwave interferometer； time-frequency distribution

0 引言

彈丸在膛內(nèi)加速穿過炮膛、以一定初速離開炮口的過程中，壓力、溫度、初速等內(nèi)彈道參數(shù)的測量對內(nèi)彈道學(xué)發(fā)展有著至關(guān)重要的作用。隨著科學(xué)技術(shù)發(fā)展，內(nèi)彈道實驗中的初速測量已經(jīng)演變?yōu)閺椡柙谔艃?nèi)速度隨行程和時間變化的測量。王黎明等[1]、趙立強(qiáng)[2]、蔡德全[3]都對微波干涉儀的內(nèi)彈道速度測量做了一定的研究。微波干涉儀建立在多普勒干涉原理的基礎(chǔ)上，通過微波干涉產(chǎn)生包含彈丸運動信息的多普勒頻移回波信號。彈丸的內(nèi)彈道回波信號是一個非平穩(wěn)信號，用時頻域聯(lián)合描述內(nèi)彈道回波信號時，信號的能量會沿瞬時頻率集中，即可以通過對信號時頻峰值的估計來得到信號的瞬時頻率，利用瞬時頻率估計值解算出彈丸膛內(nèi)速度隨時間的變化關(guān)系，進(jìn)而得到彈丸在膛內(nèi)的加速度、行程及彈底壓力等參數(shù)。在整個測量過程中，瞬時頻率的估計精度決定了各參數(shù)的測量精度。

微波干涉測量系統(tǒng)中頻率估計的方法有多種，如極值法、短時傅里葉變換(STFT)、Wigner-Ville變換(WVD)、Hilbert變換等。每種算法的頻率估計精度不同，在具有不同特點的信號中為了獲得較高的估計精度，通過綜合多種方法進(jìn)行處理或者對原有方法進(jìn)行針對性的改進(jìn)，使每種算法都產(chǎn)生了相應(yīng)的改進(jìn)算法并各具特點。極值法在時間上具有較高的分辨力，但是極易受到噪聲的干擾，使極值點的位置產(chǎn)生偏差，改進(jìn)后的算法[4-5]可在一定程度上降低噪聲以及搜索極值點位置產(chǎn)生的偏差、確保頻率估計的精度，在一定信噪比條件下可用，但當(dāng)信號完全淹沒在噪聲中時，該方法的頻率估計精度將無法保證。STFT是一種局部頻譜分析方法，其原理是對時域信號加滑動窗口，然后對每個加窗后的信號進(jìn)行傅里葉變換，能很好地分辨多分量頻率成分，不會產(chǎn)生交叉項，但是無法同時保障時域和頻域的測量精度，改進(jìn)方法多采用自適應(yīng)改變窗口大小或者與其他方法聯(lián)合使用來彌補(bǔ)其不足[6-8]。WVD是信號時間自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，具有良好的時間、頻率分辨率和時頻聚集性，是時頻分析方法中應(yīng)用最廣的一種，但由于該方法是二次型時頻分布，存在交叉項干擾。文獻(xiàn)[9]利用WVD對去除緩變干擾后的信號進(jìn)行WVD瞬時頻率估計，取得了較好的結(jié)果，文獻(xiàn)[10-11]分別采用高階譜和多項式的方法來抑制交叉項干擾，結(jié)果表明高階譜WVD不能有效抑制分量互交叉項的影響，多項式WVD可以消除信號非線性產(chǎn)生的自交叉項，但受噪聲影響較大。Hilbert變換[12-15]是通過對信號進(jìn)行Hilbert變換來構(gòu)造解析信號，然后利用相位解卷繞實現(xiàn)位移測量，最后對位移結(jié)果求微分實現(xiàn)相應(yīng)的速度測量，但其測量精度遠(yuǎn)低于多普勒測頻法。Hilbert-Huang變換(HHT)是根據(jù)知名數(shù)學(xué)家Hilbert 的數(shù)學(xué)理論設(shè)計，為了分析非平穩(wěn)和非線性信號的變換方法，該方法將原信號由內(nèi)部模態(tài)函數(shù)分解為固有模態(tài)函數(shù)(IMF)分量，然后利用Hilbert變換得到Hilbert頻譜，不需事先確定基函數(shù)，是一種更具適應(yīng)性的時頻局部化分析方法，能夠準(zhǔn)確地表示頻率特征[16]。HHT不受Heisenberg測不準(zhǔn)原理的制約，可以在時間和頻率同時達(dá)到很高的精度，但對于彈丸在膛內(nèi)運動回波信號的分析未見相關(guān)文獻(xiàn)。隨著非平穩(wěn)信號時頻分析的發(fā)展，時頻分析方法分為非參數(shù)化時頻方法與參數(shù)化時頻方法[17]。非參數(shù)時頻方法沒有假定信號模型，對非平穩(wěn)信號的時頻表示往往存在集中度不高或交叉項干擾問題。參數(shù)化時頻方法能夠使非線性調(diào)頻信號在變換域上的頻譜能量分布更加集中, 有助于實現(xiàn)非線性調(diào)頻分量的分離以及時頻特征的提取[18]。彈丸在膛內(nèi)運動的回波信號是非線性調(diào)頻信號，可采用多項式調(diào)頻信號模型[19]進(jìn)行數(shù)學(xué)描述，基于這一思想，本文采用多項式調(diào)頻小波構(gòu)造匹配變換核對彈丸在膛內(nèi)運動的回波信號進(jìn)行變換，以獲得較高的時頻聚集性，且無交叉干擾，可保證瞬時頻率估計的精度。

1 彈丸在膛內(nèi)運動曲線的數(shù)學(xué)模型

內(nèi)彈道方程組[20]的形狀函數(shù)、燃速方程、彈丸速度與行程關(guān)系式、彈丸運動方程、內(nèi)彈道基本方程如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

將上述方程組賦以一定的參數(shù)[20]，得到模擬的彈丸速度隨時間的變化規(guī)律如圖1所示。由圖1可知，彈丸在膛內(nèi)的運動速度隨時間做非線性變化。

圖1 彈丸在膛內(nèi)運動速度曲線Fig.1 Velocity curve of projectile in bore

根據(jù)微波干涉儀的基本原理，多普勒頻率fd和目標(biāo)徑向運動速度vr呈線性變化，即

(6)

式中：f0為微波干涉儀的發(fā)射信號頻率；c為發(fā)射信號傳播速度，c=3×108m/s. 多普勒效應(yīng)產(chǎn)生的回波信號的頻率隨時間做非線性變化。

假設(shè)微波干涉儀中心頻率為94 GHz，則模擬的彈丸在膛內(nèi)運動回波信號隨時間變化曲線如圖2所示，其中圖2(a)為完整信號，圖2(b)和圖2(c)分別為不同時間段的局部信號。從圖2中可以看出：隨著時間的推移，信號幅度不隨速度的改變而變化，始終保持不變；信號波形由疏變密，即瞬時頻率隨著時間的增加而不斷增加，說明回波信號瞬時頻率隨速度做非線性變化，是典型的非線性調(diào)頻信號。

為滿足彈丸在膛內(nèi)運動速度的誤差要求，頻率估計的精度是首要保障。本文采用一個關(guān)于時間t的N階多項式逼近彈丸在膛內(nèi)徑向運動多普勒頻率曲線，圖3給出了4階、5階、6階和8階多項式的擬合逼近結(jié)果。從圖3中可以看出，隨著階數(shù)的增加，擬合誤差越來越小，計算量隨之越來越大。

假設(shè)速度測量的絕對誤差不大于5 m/s，則頻率逼近的誤差必須小于3.13 kHz. 從圖3中可以看出，階數(shù)為6時基本滿足擬合精度要求，因此本文采用6階多項式擬合逼近內(nèi)彈道運動多普勒頻率關(guān)于時間的曲線。

圖2 彈丸在膛內(nèi)運動的模擬回波信號Fig.2 Simulation echo signal of projectile in bore

圖3 不同階數(shù)擬合逼近的頻率變化曲線Fig.3 Frequency curves of different order approximations

2 瞬時頻率估計原理

2.1 STFT估計原理

STFT方法是一種線性的聯(lián)合時頻分析方法，其實現(xiàn)的基本步驟如下：1)用1個窗函數(shù)來截取原始的非平穩(wěn)信號，并認(rèn)為該窗內(nèi)的信號是平穩(wěn)信號；2)將加窗后的信號進(jìn)行傅里葉變換，加窗處理使得變換結(jié)果為時刻t附近很小時間段上的局部譜；3)窗函數(shù)沿著信號移動，得到信號頻率隨時間的變化關(guān)系，即原始信號的變換。上述處理過程中，窗函數(shù)對頻譜結(jié)果有一定的影響，高斯型窗口函數(shù)由于有最小的時寬帶寬積而最為常用。如果一個信號可以表示成多個信號分量的線性組合，則其時頻表示也就是多個信號分量的時頻表示的線性組合，從而避免了高次型非平穩(wěn)分析方法中出現(xiàn)的交叉項干擾，可用于多分量信號分析。

對于信號x(t)，其STFT定義為

(7)

式中：g(t)為移動的窗函數(shù)；τ為窗函數(shù)的偏移量；ω為角頻率；[·]*表示[·]的共軛。

2.2 WVD估計原理

WVD具有明確的物理意義，可以看作是信號時間自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，解決了STFT時間分辨率、頻率分辨率相互牽制的問題，是一種非常重要的非線性時頻表示方法。對單分量線性調(diào)頻信號具有較好的時頻聚集性，但對于多分量信號，由于2次時頻表示，交叉項會產(chǎn)生虛假信號。

對于信號x(t)，其WVD定義為

(8)

2.3 多項式調(diào)頻小波變換估計原理

參數(shù)化時頻方法需根據(jù)信號的模型來構(gòu)造匹配的變換核。變換核參數(shù)選擇的好壞，直接影響著時頻能量聚集性的好壞，如果變換核和信號模型較吻合，則可取得較好的時頻聚集性。彈丸在膛內(nèi)的運動是一個變加速過程，運動回波信號的頻率隨時間做非線性變化，是典型的非線性調(diào)頻信號。頻率隨時間變化可采用多項式擬合逼近，因此，可構(gòu)造多項式調(diào)頻小波變換(PCT)核來獲取較好的時頻聚集性。

對于信號x(t)，其PCT變換定義為

(9)

3 回波信號的瞬時頻率估計

3.1 模擬回波信號的瞬時頻率估計誤差分析

在眾多時頻分析方法中，STFT 和WVD是常用的兩種方法。為了對比PCT方法分析彈丸回波信號的能力，模擬的回波信號分別采用STFT、WVD、PCT方法進(jìn)行瞬時頻率估計。

在實際獲取信號過程中，信號會受到多重干擾的影響，如緩變干擾、噪聲干擾等。因此，在模擬回波信號上分別疊加緩變干擾信號、不同信噪比的噪聲干擾信號進(jìn)行時頻分析。圖4為模擬理想回波信號采用不同方法進(jìn)行分析得到的時頻分布圖。

從圖4中表示時頻分布能量的顏色可以看出：PCT方法得到的脊線能量最高，主體能量區(qū)域的脊線寬度最窄，說明PCT方法的時頻聚集性最好；WVD方法得到的脊線能量，時頻聚集性次之，STFT方法最差；但是由于信號頻率變化的非線性，WVD方法引入了自交叉干擾，這對后續(xù)的脊線提取將產(chǎn)生一定的影響。

圖5為疊加緩變干擾的模擬回波信號采用不同時頻變換方法進(jìn)行分析所得到的時頻分布圖。

從圖5中可以看出：由于多分量信號同時存在，PCT和STFT方法能很好地分辨多信號的時頻特征，時頻聚集性最好的依然是PCT方法；由于多分量信號的影響，WVD方法不僅有自交叉干擾還引入了互交叉干擾，交叉干擾項的能量高于信號本身的能量，使脊線提取的難度增大。從STFT方法分布圖可以看出，低頻緩變干擾的能量大于信號的能量，以最大能量來提取脊線，在多數(shù)時間點上會產(chǎn)生誤差，因此實際應(yīng)用中需要選用更合理的脊線提取方法。

圖6、圖7分別為在理想回波信號上疊加信噪比為0 dB、-10 dB的模擬回波信號，采用不同時頻變換方法進(jìn)行分析所得到的時頻分布圖。

圖6和圖7對比可以發(fā)現(xiàn)，STFT、WVD和PCT方法的時頻分布均受到噪聲的影響，WVD方法在信噪比為-10 dB的情況下，有效信號的能量分布曲線被噪聲掩蓋，而STFT方法和PCT方法具有一定的抗噪能力，脊線仍可以有效提取。在強(qiáng)干擾條件下，WVD方法時頻分布的分析能力降低，主要原因為WVD方法是信號瞬時相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，在噪聲較大的情況下，整體信號的相關(guān)函數(shù)主要表現(xiàn)為噪聲的自相關(guān)函數(shù)分量，信號與噪聲的互相關(guān)函數(shù)分量和信號的自相關(guān)函數(shù)相對很微弱，故無法明顯地體現(xiàn)信號的時頻特征。

圖4 模擬理想回波信號時頻分布圖Fig.4 TFDs of simulation signals obtained by different methods

圖5 疊加緩變干擾的模擬回波信號時頻分布圖Fig.5 TFDs of simulation signals with slow variation interference obtained by different methods

圖7 疊加-10 dB噪聲的模擬回波信號時頻分布圖Fig.7 TFDs of simulation signals with -10 dB noise obtained by different methods

圖8、圖9、圖10分別為同時疊加信噪比10 dB、0 dB、-10 dB和緩變干擾的回波信號采用不同時頻變換方法進(jìn)行分析得到的時頻分布圖。

圖8 疊加10 dB噪聲和緩變干擾的模擬信號時頻分布Fig.8 TFDs of simulation signals with 10 dB noise and slow variation interference

圖9 疊加0 dB噪聲和緩變干擾的模擬信號時頻分布Fig.9 TFDs of simulation signals with 0 dB noise and slow variation interference

圖10 疊加-10 dB噪聲和緩變干擾的模擬信號時頻分布Fig.10 TFDs of simulation signals with -10 dB noise and slow variation interference

從同時疊加不同信噪比噪聲干擾和緩變干擾的信號的時頻分布看，PCT方法的抗干擾能力最強(qiáng)，STFT方法次之，WVD方法最差，但是一定條件下WVD方法的聚集性優(yōu)于STFT方法?？梢娺x用WVD方法對含干擾的信號進(jìn)行時頻分析，在WVD之前必須進(jìn)行預(yù)處理，以降低干擾信號的影響。

時頻聚集性不僅可以通過圖像直觀判斷，還可以用M值進(jìn)行客觀評價。M值定義為

(10)

式中：TFD(t,ω)為時頻分布函數(shù)。M值越大，表征該時頻分布聚集性越好；反之，M值越小，聚集性越差。根據(jù)(10)式，圖4～圖10時頻分布的M值如表1所示。

表1 不同信噪比信號3種方法時頻分布的M值

由表1可以看出：PCT方法的時頻聚集性優(yōu)于其他兩種方法；對于單一信號，噪聲越大，其時頻聚集性越差。對于多分量信號，M值的大小不能說明時頻聚集性的好壞，必須結(jié)合圖形或者其他衡量指標(biāo)。

圖11(a)和圖11(b)分別是對圖9的時頻分布結(jié)果提取脊線并進(jìn)行瞬時頻率估計的結(jié)果。為了更好地分析3種方法提取的準(zhǔn)確性和有效性，圖11中還增加了模擬多普勒頻率隨時間變化的曲線。

從圖11(b)可以看出：在相同脊線提取方法下，WVD方法不能正確估計瞬時頻率；STFT方法在提取脊線時，在起始段脊線的部分點搜索到緩變干擾信號；總體上PCT方法得到的時頻分布脊線較STFT方法和WVD方法準(zhǔn)確，從表2的數(shù)據(jù)中也可看出PCT瞬時頻率的估計精度較其余兩種方法高。

表2 不同方法瞬時頻率估計精度對比

PCT方法的時間分辨率和頻率分辨率較高，明顯優(yōu)于STFT算法，但是PCT方法的計算量龐大、運算時間長，算法必須進(jìn)行一定的改進(jìn)。

3.2 實際彈丸回波信號的瞬時頻率估計

圖12為某次實驗獲取的實際回波信號，圖12(a)是完整信號，圖12(b)和圖12(c)分別是不同時段的局部信號。從圖12(a)實際回波完整信號的波形圖上明顯看到，彈丸運動回波信號疊加在緩變干擾信號上，且幅度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于后者。從圖12(b)和圖12(c)不同時段的局部放大圖中能清晰看到，彈丸在膛內(nèi)運動的回波信號，由于干擾因素的影響，回波信號是幅度變化的非線性調(diào)頻信號，與理想回波信號有一定差別。將圖12(a)的信號未經(jīng)任何預(yù)處理，分別利用STFT方法、WVD方法和PCT方法進(jìn)行時頻分析，可得到如圖13所示的時頻分布圖。

圖11 含干擾的模擬回波瞬時頻率估計Fig.11 IFE of simulated echo signal with interference

圖12 實際實驗獲取回波信號Fig.12 Experimental echo signals of projectile in bore

圖13 實際信號未經(jīng)任何預(yù)處理得到的時頻分布Fig.13 TFDs of experimental echo signals

根據(jù)(10)式，分別對圖13中3種方法所得到的時頻分布計算M值，結(jié)果如表3所示。

表3 不同方法的M值

對比M值可以看出PCT方法的時頻聚集性最好。對STFT方法和PCT方法時頻分布結(jié)果進(jìn)行脊線提取，瞬時頻率估計結(jié)果如圖14所示。

圖14 真實回波信號瞬時頻率估計Fig.14 IFEs of experimental echo signals

從圖14可以看出，STFT方法在信號末端(時間>6 ms)，頻率估計的誤差增加，由此可見PCT方法明顯優(yōu)于STFT方法。

4 結(jié)論

彈丸內(nèi)彈道回波信號是一個非平穩(wěn)信號，用時頻域聯(lián)合描述內(nèi)彈道回波信號時，信號的能量會沿瞬時頻率集中，即可以通過對信號時頻峰值的估計得到信號的瞬時頻率。本文針對含有不同噪聲的模擬回波信號和真實回波信號，分別利用STFT方法、WVD方法和PCT方法實現(xiàn)了瞬時頻率的估計，并得出以下結(jié)論：

1)PCT方法具有較強(qiáng)的抗干擾能力，優(yōu)于STFT方法和WVD方法。

2)PCT方法的M值明顯高于其他兩種方法，說明其具有較高的時頻分布聚集性。

3)PCT方法的瞬時頻率估計精度高于STFT方法和WVD方法。

實際應(yīng)用中，由于PCT方法的運算量大，算法需要進(jìn)一步改進(jìn)，以提高計算效率。

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EstimationMethodforInstantaneousFrequencyofEchoSignalofProjectileinBore

WANG Jian1,2, HAN Yan1,2, WANG Li-ming1,2, ZHANG Pi-zhuang1,2, CHEN Ping1,2

(1.Key Laboratory of Information Detection and Processing, North University of China, Taiyuan 030051, Shanxi, China;2.School of Information & Communication Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, Shanxi, China)

TJ012.1+6

A

1000-1093(2017)09-1806-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.09.018

2016-12-02

國家國防科技工業(yè)局技術(shù)基礎(chǔ)科研項目(JCKY2014408C001)；國家自然科學(xué)基金項目(61571404、61471325、61301259、61227003)；山西省自然科學(xué)基金項目(2015021099)；山西省優(yōu)秀青年學(xué)術(shù)帶頭人計劃項目(2016年)

王鑒(1977—)，女，講師，博士研究生。E-mail: wangblk319@163.com

韓焱(1957—)，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: hanyan@nuc.edu.cn