張磊， 李世民， 朱剛

(1.32134部隊， 天津 301900；2.63963部隊， 北京 100072； 3.78092部隊， 四川 成都 610031)

基于時間連續(xù)灰色Markov模型的維修器材需求預(yù)測方法研究

張磊1， 李世民2， 朱剛3

(1.32134部隊， 天津 301900；2.63963部隊， 北京 100072； 3.78092部隊， 四川 成都 610031)

運用時間連續(xù)且狀態(tài)離散的灰色Markov過程模型，對裝備維修器材的需求量進(jìn)行了預(yù)測。根據(jù)裝備維修器材消耗歷史數(shù)據(jù)的變化幅度和數(shù)據(jù)的分布情況來劃分狀態(tài)區(qū)間。由各區(qū)間狀態(tài)的轉(zhuǎn)換情況得到Markov模型狀態(tài)間的一步轉(zhuǎn)移概率，論證與運用Kolmogorov微分方程求解各狀態(tài)概率的時間函數(shù)并建立狀態(tài)概率預(yù)測式，根據(jù)預(yù)測狀態(tài)的概率值確定了灰色預(yù)測值的定位系數(shù)并求解預(yù)測值。算例分析表明，在預(yù)測維修器材需求量數(shù)據(jù)時，灰色Markov改進(jìn)模型的預(yù)測精度較GM(1, 1)模型、一般灰色Markov殘差修正模型以及時間離散灰色Markov鏈預(yù)測模型有了穩(wěn)定提高，證明了該模型的有效性和實用性。

兵器科學(xué)與技術(shù)； Markov模型； 灰色預(yù)測模型； Kolmogorov微分方程； 預(yù)測精度

Abstract: The time continuous and state discrete grey Markov model is used to predict the demand of equipment maintenance materials. The state intervals are set according to the changing amplitude and distribution of consumed maintenance materials. The one-step Markov transition matrix is calculated by states transition. Kolmogorov differential equations are used to solve the time functions of state probabilities and establish the prediction equations of state probabilities. The grey positioning coefficient is determined from the probability values of predicted states. The case analysis shows that the prediction accuracy of the improved grey Markov model is higher than those of GM(1, 1) model, traditional grey Markov residual error correction model and grey Markov chain model. Its validity and practicability were proven during the prediction of equipment material demand.

Key words: ordnance science and technology; Markov model; grey prediction model; Kolmogorov differential eauation; prediction accuracy

0 引言

隨著現(xiàn)代化武器裝備功能多元性和系統(tǒng)復(fù)雜性的提升，其故障模式以及影響裝備性能的因素也逐漸增多，故障規(guī)律極難掌握[1-3]。因此，合理預(yù)測裝備維修器材的需求量，對于優(yōu)化裝備保障的精確性和高效性具有極其重要的意義[2-5]。

就裝備維修器材的消耗情況來看，數(shù)據(jù)普遍為小樣本、貧信息類型，因此灰度系統(tǒng)理論得到了廣泛使用[6]。同時，雖然影響激勵裝備維修器材消耗量的因素繁多、作用機理復(fù)雜，造成器材消耗數(shù)據(jù)變化幅度較大且規(guī)律性不強，但數(shù)據(jù)變化所呈現(xiàn)出的隨機性、無后效性特點非常適用于Markov模型[7]。因此近年來很多學(xué)者采用灰色系統(tǒng)理論和Markov組合模型對器材消耗量的預(yù)測問題進(jìn)行了研究[4-5]。比較普遍的做法是首先采用灰色模型(GM)對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，根據(jù)殘差值的分布情況來劃分狀態(tài)區(qū)間并確定Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和初始概率分布，最后根據(jù)Markov模型的預(yù)測結(jié)果確定修正值，并對GM的預(yù)測值進(jìn)行修正，以提高GM的預(yù)測精確度[4-5,8-11]。

但是，當(dāng)擬合、預(yù)測的數(shù)據(jù)趨勢較弱時，運用GM所得到的預(yù)測值與真實值間會產(chǎn)生較大幅度的偏差，僅僅對殘差進(jìn)行修正的效果會相當(dāng)有限。同時，在歷史數(shù)據(jù)有限的情況下，完全利用統(tǒng)計樣本數(shù)確定的概率作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率并計算不同步長的轉(zhuǎn)移概率矩陣，會使計算誤差不斷疊加。針對這些問題，本文首先根據(jù)維修器材消耗數(shù)據(jù)變化的幅度和分布情況設(shè)計并劃分了灰色狀態(tài)區(qū)間。首先通過論證建立了概率統(tǒng)計值與轉(zhuǎn)移概率強度間的關(guān)系；然后運用描述時間連續(xù)的Markov模型狀態(tài)概率函數(shù)的Kolmogorov微分方程，求解得到狀態(tài)概率隨時間變化的函數(shù)并建立了狀態(tài)概率時間預(yù)測式；最后根據(jù)各狀態(tài)區(qū)間的概率結(jié)果取定了定位系數(shù)，并給出最終預(yù)測值。算例結(jié)果表明，該模型的預(yù)測精度較灰色GM(1, 1)、Markov鏈殘差修正模型以及時間離散的灰色Markov優(yōu)化模型有明顯提高，證明了該模型的有效性和實用性。

1 維修器材灰數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢分析

影響裝備維修器材消耗量的因素眾多且彼此之間的關(guān)系不明確，因此在考慮運用灰度系統(tǒng)進(jìn)行分析預(yù)測時應(yīng)著重了解灰色系統(tǒng)運行機制的穩(wěn)定性，評估其發(fā)展態(tài)勢并預(yù)測行為特征量的發(fā)展變化。假設(shè)一維原始序列為{x(0)(k)}，k=1, 2, …,n. 序列{x(1)(k)}為序列{x(0)(k)}的一次累加序列，a為模型的發(fā)展系數(shù)，b為模型的灰色作用量。由a和b構(gòu)成的灰色參數(shù)向量=[a,b]根據(jù)(1)式[7]確定：

=(BTB)-1BTY,

(1)

式中：

由(1)式確定的發(fā)展系數(shù)a反映了維修器材消耗量的發(fā)展態(tài)勢。若a< 0，則說明器材消耗數(shù)量的發(fā)展態(tài)勢是增長的，a的絕對值越大，相應(yīng)的態(tài)勢增長越快；若a>0，則說明器材消耗數(shù)量的發(fā)展態(tài)勢是減小的，a越大，相應(yīng)的態(tài)勢減小越快。在維修器材的實際預(yù)測中，對于不同歷史時間段計算出來的發(fā)展系數(shù)a，常常體現(xiàn)出正負(fù)交替和變化差異大等特點，說明序列{x(0)}的趨勢性不強，使用GM未必能夠取得理想的效果。

2 時間連續(xù)灰色Markov預(yù)測模型的建立

2.1 灰狀態(tài)區(qū)間的劃分

假設(shè)需要劃分n個狀態(tài)區(qū)間，序列{x(0)}中的最小值和最大值分別記為a1和an，則區(qū)間[a1,an]內(nèi)的等間隔點可以由(2)式求得：

(2)

式中：i=1, 2,…,n.

?i=[ai-Δa,ai+Δa].

(3)

由(3)式可知，各狀態(tài)區(qū)間的中點為ai,i=1,2,…,n，且狀態(tài)區(qū)間劃分越多，區(qū)間灰度就越小，說明歷史數(shù)據(jù)越多，狀態(tài)區(qū)間對于數(shù)值的變化描述就越詳細(xì)。但在歷史數(shù)據(jù)有限或者數(shù)據(jù)分布相對集中的情況下，劃分過多的狀態(tài)區(qū)間則沒有意義。同時，該灰度區(qū)間越大，說明器材需求量的跳躍變化幅度越大，在小樣本條件下，會造成灰度大的現(xiàn)象。

(3)式定義的灰數(shù)?i的白化值可以定義為

(4)

式中：α(t)為定位系數(shù)，0≤α(t)≤1，可視為時間的函數(shù)，可根據(jù)實際預(yù)測情況選取。

對于出現(xiàn)頻率非常低的特殊激勵點(器材需求數(shù)值突然增大或減少，但隨后恢復(fù)正常的情況)，該模型則視其為發(fā)生概率極低的狀態(tài)，因此其狀態(tài)概率預(yù)測值會接近0，且該類數(shù)據(jù)點會位于靠近邊緣的狀態(tài)區(qū)間(如第1個或最后1個狀態(tài)區(qū)間)內(nèi)。與此同時，為降低通過概率大小選取狀態(tài)區(qū)間所產(chǎn)生的誤差風(fēng)險，同時突出概率具體數(shù)值對于結(jié)果的修正作用，本文將定位系數(shù)設(shè)定為

(5)

或者

式中：αk(t)為t時刻第k個狀態(tài)的區(qū)間定位系數(shù)；pi(t)為t時刻的狀態(tài)概率。

2.2 預(yù)測值的殘差和1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

預(yù)測值的殘差ε(k)=x(0)(k)-(0)(k)，相對誤差為

(6)

1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

(7)

式中：Mij(1)為狀態(tài)?i經(jīng)過1步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)?j的數(shù)據(jù)樣本數(shù)；Mi為系統(tǒng)處于狀態(tài)?i的數(shù)據(jù)樣本數(shù)。

2.3 狀態(tài)概率微分方程

由文獻(xiàn)[6]可知，描述時間連續(xù)狀態(tài)離散的Kolmogorov狀態(tài)概率微分方程為

(8)

由文獻(xiàn)[6]可知，當(dāng)i≠j時，有

運用微分方程轉(zhuǎn)化差分方程的思想，令Δt=1，可得

qij=pij(1).

(9)

也就是說，當(dāng)i≠j時，轉(zhuǎn)移強度可近似表示為對應(yīng)狀態(tài)的1步轉(zhuǎn)移概率。

2.4 邊界條件

通常情況下，方程(8)式的解為指數(shù)函數(shù)形式，由方程的形式以及狀態(tài)概率分布的定義可得到第1個邊界條件為

即各狀態(tài)概率之和為1，式中：I為全部狀態(tài)集合。同時根據(jù)預(yù)測實際，可得到第2個邊界條件為

(10)

邊界條件(10)式表示最后時刻的歷史數(shù)據(jù)所處狀態(tài)為?j(即n=j)的概率值為1，處于其他狀態(tài)(即n≠j)的概率為0. 預(yù)測概率時視歷史數(shù)據(jù)結(jié)束的時刻為初始時刻，而最后的歷史數(shù)據(jù)所處狀態(tài)是已經(jīng)確定的，因此在初始時刻的概率值分別為1和0.

由(10)式可以看到在n個狀態(tài)的條件下，會產(chǎn)生n+1個邊界條件方程。在實際運用中，任意選擇n個即可，余下的1個邊界條件會自動滿足。本文選擇(10)式為邊界條件。

3 實例分析

本文采用文獻(xiàn)[4]中的數(shù)據(jù)作為實例，2003年～2012年的數(shù)值序列為：{x(0)}={60, 72, 81, 94, 108, 103, 95, 77, 101, 79}，利用(1)式分別計算2003年～2006年、2004年～2007年、2005年～2008年等每連續(xù)4年的GM(1, 1)發(fā)展系數(shù)a={-0.134, -0.143, -0.043, 0.063, 0.139, -0.036, -0.011}. 從中可以看出，不同時間段內(nèi)的GM發(fā)展系數(shù)a呈現(xiàn)正負(fù)交替變化的特點，數(shù)據(jù)變化趨勢性不強，因此如果運用GM(1, 1)進(jìn)行預(yù)測會產(chǎn)生較大誤差。

為了檢驗和比較模型的預(yù)測效果，選取前7個數(shù)據(jù)作為擬合歷史數(shù)據(jù)、后3個數(shù)據(jù)作為檢驗對比數(shù)據(jù)，由(2)式、(3)式劃分狀態(tài)區(qū)間為?1=[48,72)，?2=[72,96)，?3=[96,120]，劃分結(jié)果見表1.

由表1確定1步轉(zhuǎn)移樣本數(shù)矩陣為

(11)

表1 狀態(tài)劃分結(jié)果

同時由(7)式確定1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(12)

由(9)式確定轉(zhuǎn)移強度并代入(8)式，可得

(13)

由表1可知，最后時刻2009年的狀態(tài)為狀態(tài)2，因此由(10)式可得邊界條件為

p1(0)=0，p2(0)=1，p3(0)=0.

(14)

根據(jù)邊界條件(14)式求解(13)式，可得

(15)

則各狀態(tài)概率的預(yù)測式為

(16)

分別令(16)式中的k取值n+1，n+2，n+3，求解未來3個時刻，即2010年、2011年和2012年的狀態(tài)預(yù)測概率，通過各狀態(tài)概率值的大小判斷未來值所處的狀態(tài)區(qū)間。顯然，處于狀態(tài)1的數(shù)據(jù)僅有2003年，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)判斷，未來出現(xiàn)的可能性很低，因此狀態(tài)1的預(yù)測概率為0.

由(5)式得：α(k-n)=p2(k-n)，因此有1-α(k-n)=p3(k-n).

再由(4)式可以求解最終預(yù)測值，并由(6)式計算相對誤差。

為了對不同模型的結(jié)果進(jìn)行對比，分別用傳統(tǒng)GM(1, 1)、GM(1, 1)-Markov殘差修正模型進(jìn)行計算，其中GM(1, 1)-Markov殘差修正模型在運算中同樣將殘差劃分成3個狀態(tài)區(qū)間。

同時為了檢驗時間連續(xù)灰色Markov模型相對于時間離散Markov模型的差別，運用時間離散Markov模型(運用(2)式、(3)式劃分狀態(tài)區(qū)間，(7)式確定1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，利用移概率矩陣的k次方確定k步轉(zhuǎn)移概率矩陣并計算各時間點的狀態(tài)概率，再由(4)式、(5)式求解最終預(yù)測值)。計算結(jié)果見表2.

表2 不同模型預(yù)測計算結(jié)果比較

由計算結(jié)果可以看到：由于原始數(shù)據(jù)的趨勢性不強，GM(1, 1)預(yù)測值偏差較大，平均相對誤差達(dá)到40.17%；Markov-GM(1, 1)殘差修正模型將平均相對誤差降低為32.63%，誤差依然較大，因此單純基于GM(1, 1)的殘差修正沒有太大意義；本文模型在這種條件下仍能保持較高的預(yù)測精度。同時，表2中時間離散和時間連續(xù)灰色Markov模型運用相同的步驟劃分狀態(tài)區(qū)間、確定1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，時間離散灰色Markov模型的平均相對誤差為9.27%，時間連續(xù)灰色Markov模型將平均相對誤差降低為7.77%. 說明連續(xù)時間模型能夠更加準(zhǔn)確地反映數(shù)據(jù)變化的內(nèi)在機制，可以更好地避免小樣本條件下運用Markov模型樣本數(shù)據(jù)不足的弊端，提高預(yù)測精度。

4 結(jié)論

本文針對裝備維修器材消耗量數(shù)據(jù)跳躍幅度變化較大且數(shù)據(jù)發(fā)展變化趨勢不明顯的情況，通過運用時間連續(xù)狀態(tài)離散的灰色狀態(tài)Markov模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析和預(yù)測。

通過研究發(fā)現(xiàn)，時間連續(xù)灰色狀態(tài)Markov模型可以很好地對隨機變化的裝備維修器材需求情況進(jìn)行預(yù)測，并能夠有效地避免因數(shù)據(jù)發(fā)展變化趨勢不明顯導(dǎo)致的預(yù)測偏離真實值問題。同時，該模型可以有效彌補小樣本條件下運用Markov模型的不足，更好地避免誤差累積并預(yù)測狀態(tài)的變化規(guī)律，降低因依據(jù)狀態(tài)概率大小選擇預(yù)測狀態(tài)所導(dǎo)致的高誤差風(fēng)險，提高運用灰度理論進(jìn)行預(yù)測的精度，具有較強的實用性。

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StudyofEquipmentMaterialDemandPredictionMethodBasedonTime-continuousGreyMarkovModel

ZHANG Lei1, LI Shi-min2, ZHU Gang3

(1.Unit 32134 of PLA, Tianjin 301900, China; 2.Unit 63963 of PLA, Beijing 100072, China; 3.Unit 78092 of PLA, Chengdu 610031, Sichuan, China)

E92

A

1000-1093(2017)09-1862-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.09.025

2017-02-23

復(fù)雜地面系統(tǒng)仿真重點實驗室預(yù)先研究基金項目(9140C900104150C90384)

張磊(1983—), 男, 助理工程師， 博士。E-mail: zhanglei_martin@sohu.com

李世民(1982—)，男，工程師，博士。E-mail: lishimin0625@163.com