張磊， 李世民， 朱剛

(1.32134部隊(duì)， 天津 301900；2.63963部隊(duì)， 北京 100072； 3.78092部隊(duì)， 四川 成都 610031)

基于時(shí)間連續(xù)灰色Markov模型的維修器材需求預(yù)測(cè)方法研究

張磊1， 李世民2， 朱剛3

(1.32134部隊(duì)， 天津 301900；2.63963部隊(duì)， 北京 100072； 3.78092部隊(duì)， 四川 成都 610031)

運(yùn)用時(shí)間連續(xù)且狀態(tài)離散的灰色Markov過程模型，對(duì)裝備維修器材的需求量進(jìn)行了預(yù)測(cè)。根據(jù)裝備維修器材消耗歷史數(shù)據(jù)的變化幅度和數(shù)據(jù)的分布情況來(lái)劃分狀態(tài)區(qū)間。由各區(qū)間狀態(tài)的轉(zhuǎn)換情況得到Markov模型狀態(tài)間的一步轉(zhuǎn)移概率，論證與運(yùn)用Kolmogorov微分方程求解各狀態(tài)概率的時(shí)間函數(shù)并建立狀態(tài)概率預(yù)測(cè)式，根據(jù)預(yù)測(cè)狀態(tài)的概率值確定了灰色預(yù)測(cè)值的定位系數(shù)并求解預(yù)測(cè)值。算例分析表明，在預(yù)測(cè)維修器材需求量數(shù)據(jù)時(shí)，灰色Markov改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)精度較GM(1, 1)模型、一般灰色Markov殘差修正模型以及時(shí)間離散灰色Markov鏈預(yù)測(cè)模型有了穩(wěn)定提高，證明了該模型的有效性和實(shí)用性。

兵器科學(xué)與技術(shù)； Markov模型； 灰色預(yù)測(cè)模型； Kolmogorov微分方程； 預(yù)測(cè)精度

Abstract: The time continuous and state discrete grey Markov model is used to predict the demand of equipment maintenance materials. The state intervals are set according to the changing amplitude and distribution of consumed maintenance materials. The one-step Markov transition matrix is calculated by states transition. Kolmogorov differential equations are used to solve the time functions of state probabilities and establish the prediction equations of state probabilities. The grey positioning coefficient is determined from the probability values of predicted states. The case analysis shows that the prediction accuracy of the improved grey Markov model is higher than those of GM(1, 1) model, traditional grey Markov residual error correction model and grey Markov chain model. Its validity and practicability were proven during the prediction of equipment material demand.

Key words: ordnance science and technology; Markov model; grey prediction model; Kolmogorov differential eauation; prediction accuracy

0 引言

隨著現(xiàn)代化武器裝備功能多元性和系統(tǒng)復(fù)雜性的提升，其故障模式以及影響裝備性能的因素也逐漸增多，故障規(guī)律極難掌握[1-3]。因此，合理預(yù)測(cè)裝備維修器材的需求量，對(duì)于優(yōu)化裝備保障的精確性和高效性具有極其重要的意義[2-5]。

就裝備維修器材的消耗情況來(lái)看，數(shù)據(jù)普遍為小樣本、貧信息類型，因此灰度系統(tǒng)理論得到了廣泛使用[6]。同時(shí)，雖然影響激勵(lì)裝備維修器材消耗量的因素繁多、作用機(jī)理復(fù)雜，造成器材消耗數(shù)據(jù)變化幅度較大且規(guī)律性不強(qiáng)，但數(shù)據(jù)變化所呈現(xiàn)出的隨機(jī)性、無(wú)后效性特點(diǎn)非常適用于Markov模型[7]。因此近年來(lái)很多學(xué)者采用灰色系統(tǒng)理論和Markov組合模型對(duì)器材消耗量的預(yù)測(cè)問題進(jìn)行了研究[4-5]。比較普遍的做法是首先采用灰色模型(GM)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，根據(jù)殘差值的分布情況來(lái)劃分狀態(tài)區(qū)間并確定Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和初始概率分布，最后根據(jù)Markov模型的預(yù)測(cè)結(jié)果確定修正值，并對(duì)GM的預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，以提高GM的預(yù)測(cè)精確度[4-5,8-11]。

但是，當(dāng)擬合、預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)趨勢(shì)較弱時(shí)，運(yùn)用GM所得到的預(yù)測(cè)值與真實(shí)值間會(huì)產(chǎn)生較大幅度的偏差，僅僅對(duì)殘差進(jìn)行修正的效果會(huì)相當(dāng)有限。同時(shí)，在歷史數(shù)據(jù)有限的情況下，完全利用統(tǒng)計(jì)樣本數(shù)確定的概率作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率并計(jì)算不同步長(zhǎng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣，會(huì)使計(jì)算誤差不斷疊加。針對(duì)這些問題，本文首先根據(jù)維修器材消耗數(shù)據(jù)變化的幅度和分布情況設(shè)計(jì)并劃分了灰色狀態(tài)區(qū)間。首先通過論證建立了概率統(tǒng)計(jì)值與轉(zhuǎn)移概率強(qiáng)度間的關(guān)系；然后運(yùn)用描述時(shí)間連續(xù)的Markov模型狀態(tài)概率函數(shù)的Kolmogorov微分方程，求解得到狀態(tài)概率隨時(shí)間變化的函數(shù)并建立了狀態(tài)概率時(shí)間預(yù)測(cè)式；最后根據(jù)各狀態(tài)區(qū)間的概率結(jié)果取定了定位系數(shù)，并給出最終預(yù)測(cè)值。算例結(jié)果表明，該模型的預(yù)測(cè)精度較灰色GM(1, 1)、Markov鏈殘差修正模型以及時(shí)間離散的灰色Markov優(yōu)化模型有明顯提高，證明了該模型的有效性和實(shí)用性。

1 維修器材灰數(shù)據(jù)發(fā)展趨勢(shì)分析

影響裝備維修器材消耗量的因素眾多且彼此之間的關(guān)系不明確，因此在考慮運(yùn)用灰度系統(tǒng)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)時(shí)應(yīng)著重了解灰色系統(tǒng)運(yùn)行機(jī)制的穩(wěn)定性，評(píng)估其發(fā)展態(tài)勢(shì)并預(yù)測(cè)行為特征量的發(fā)展變化。假設(shè)一維原始序列為{x(0)(k)}，k=1, 2, …,n. 序列{x(1)(k)}為序列{x(0)(k)}的一次累加序列，a為模型的發(fā)展系數(shù)，b為模型的灰色作用量。由a和b構(gòu)成的灰色參數(shù)向量=[a,b]根據(jù)(1)式[7]確定：

=(BTB)-1BTY,

(1)

式中：

由(1)式確定的發(fā)展系數(shù)a反映了維修器材消耗量的發(fā)展態(tài)勢(shì)。若a< 0，則說(shuō)明器材消耗數(shù)量的發(fā)展態(tài)勢(shì)是增長(zhǎng)的，a的絕對(duì)值越大，相應(yīng)的態(tài)勢(shì)增長(zhǎng)越快；若a>0，則說(shuō)明器材消耗數(shù)量的發(fā)展態(tài)勢(shì)是減小的，a越大，相應(yīng)的態(tài)勢(shì)減小越快。在維修器材的實(shí)際預(yù)測(cè)中，對(duì)于不同歷史時(shí)間段計(jì)算出來(lái)的發(fā)展系數(shù)a，常常體現(xiàn)出正負(fù)交替和變化差異大等特點(diǎn)，說(shuō)明序列{x(0)}的趨勢(shì)性不強(qiáng)，使用GM未必能夠取得理想的效果。

2 時(shí)間連續(xù)灰色Markov預(yù)測(cè)模型的建立

2.1 灰狀態(tài)區(qū)間的劃分

假設(shè)需要?jiǎng)澐謓個(gè)狀態(tài)區(qū)間，序列{x(0)}中的最小值和最大值分別記為a1和an，則區(qū)間[a1,an]內(nèi)的等間隔點(diǎn)可以由(2)式求得：

(2)

式中：i=1, 2,…,n.

?i=[ai-Δa,ai+Δa].

(3)

由(3)式可知，各狀態(tài)區(qū)間的中點(diǎn)為ai,i=1,2,…,n，且狀態(tài)區(qū)間劃分越多，區(qū)間灰度就越小，說(shuō)明歷史數(shù)據(jù)越多，狀態(tài)區(qū)間對(duì)于數(shù)值的變化描述就越詳細(xì)。但在歷史數(shù)據(jù)有限或者數(shù)據(jù)分布相對(duì)集中的情況下，劃分過多的狀態(tài)區(qū)間則沒有意義。同時(shí)，該灰度區(qū)間越大，說(shuō)明器材需求量的跳躍變化幅度越大，在小樣本條件下，會(huì)造成灰度大的現(xiàn)象。

(3)式定義的灰數(shù)?i的白化值可以定義為

(4)

式中：α(t)為定位系數(shù)，0≤α(t)≤1，可視為時(shí)間的函數(shù)，可根據(jù)實(shí)際預(yù)測(cè)情況選取。

對(duì)于出現(xiàn)頻率非常低的特殊激勵(lì)點(diǎn)(器材需求數(shù)值突然增大或減少，但隨后恢復(fù)正常的情況)，該模型則視其為發(fā)生概率極低的狀態(tài)，因此其狀態(tài)概率預(yù)測(cè)值會(huì)接近0，且該類數(shù)據(jù)點(diǎn)會(huì)位于靠近邊緣的狀態(tài)區(qū)間(如第1個(gè)或最后1個(gè)狀態(tài)區(qū)間)內(nèi)。與此同時(shí)，為降低通過概率大小選取狀態(tài)區(qū)間所產(chǎn)生的誤差風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)突出概率具體數(shù)值對(duì)于結(jié)果的修正作用，本文將定位系數(shù)設(shè)定為

(5)

或者

式中：αk(t)為t時(shí)刻第k個(gè)狀態(tài)的區(qū)間定位系數(shù)；pi(t)為t時(shí)刻的狀態(tài)概率。

2.2 預(yù)測(cè)值的殘差和1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

預(yù)測(cè)值的殘差ε(k)=x(0)(k)-(0)(k)，相對(duì)誤差為

(6)

1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為

(7)

式中：Mij(1)為狀態(tài)?i經(jīng)過1步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)?j的數(shù)據(jù)樣本數(shù)；Mi為系統(tǒng)處于狀態(tài)?i的數(shù)據(jù)樣本數(shù)。

2.3 狀態(tài)概率微分方程

由文獻(xiàn)[6]可知，描述時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的Kolmogorov狀態(tài)概率微分方程為

(8)

由文獻(xiàn)[6]可知，當(dāng)i≠j時(shí)，有

運(yùn)用微分方程轉(zhuǎn)化差分方程的思想，令Δt=1，可得

qij=pij(1).

(9)

也就是說(shuō)，當(dāng)i≠j時(shí)，轉(zhuǎn)移強(qiáng)度可近似表示為對(duì)應(yīng)狀態(tài)的1步轉(zhuǎn)移概率。

2.4 邊界條件

通常情況下，方程(8)式的解為指數(shù)函數(shù)形式，由方程的形式以及狀態(tài)概率分布的定義可得到第1個(gè)邊界條件為

即各狀態(tài)概率之和為1，式中：I為全部狀態(tài)集合。同時(shí)根據(jù)預(yù)測(cè)實(shí)際，可得到第2個(gè)邊界條件為

(10)

邊界條件(10)式表示最后時(shí)刻的歷史數(shù)據(jù)所處狀態(tài)為?j(即n=j)的概率值為1，處于其他狀態(tài)(即n≠j)的概率為0. 預(yù)測(cè)概率時(shí)視歷史數(shù)據(jù)結(jié)束的時(shí)刻為初始時(shí)刻，而最后的歷史數(shù)據(jù)所處狀態(tài)是已經(jīng)確定的，因此在初始時(shí)刻的概率值分別為1和0.

由(10)式可以看到在n個(gè)狀態(tài)的條件下，會(huì)產(chǎn)生n+1個(gè)邊界條件方程。在實(shí)際運(yùn)用中，任意選擇n個(gè)即可，余下的1個(gè)邊界條件會(huì)自動(dòng)滿足。本文選擇(10)式為邊界條件。

3 實(shí)例分析

本文采用文獻(xiàn)[4]中的數(shù)據(jù)作為實(shí)例，2003年～2012年的數(shù)值序列為：{x(0)}={60, 72, 81, 94, 108, 103, 95, 77, 101, 79}，利用(1)式分別計(jì)算2003年～2006年、2004年～2007年、2005年～2008年等每連續(xù)4年的GM(1, 1)發(fā)展系數(shù)a={-0.134, -0.143, -0.043, 0.063, 0.139, -0.036, -0.011}. 從中可以看出，不同時(shí)間段內(nèi)的GM發(fā)展系數(shù)a呈現(xiàn)正負(fù)交替變化的特點(diǎn)，數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)性不強(qiáng)，因此如果運(yùn)用GM(1, 1)進(jìn)行預(yù)測(cè)會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

為了檢驗(yàn)和比較模型的預(yù)測(cè)效果，選取前7個(gè)數(shù)據(jù)作為擬合歷史數(shù)據(jù)、后3個(gè)數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)對(duì)比數(shù)據(jù)，由(2)式、(3)式劃分狀態(tài)區(qū)間為?1=[48,72)，?2=[72,96)，?3=[96,120]，劃分結(jié)果見表1.

由表1確定1步轉(zhuǎn)移樣本數(shù)矩陣為

(11)

表1 狀態(tài)劃分結(jié)果

同時(shí)由(7)式確定1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(12)

由(9)式確定轉(zhuǎn)移強(qiáng)度并代入(8)式，可得

(13)

由表1可知，最后時(shí)刻2009年的狀態(tài)為狀態(tài)2，因此由(10)式可得邊界條件為

p1(0)=0，p2(0)=1，p3(0)=0.

(14)

根據(jù)邊界條件(14)式求解(13)式，可得

(15)

則各狀態(tài)概率的預(yù)測(cè)式為

(16)

分別令(16)式中的k取值n+1，n+2，n+3，求解未來(lái)3個(gè)時(shí)刻，即2010年、2011年和2012年的狀態(tài)預(yù)測(cè)概率，通過各狀態(tài)概率值的大小判斷未來(lái)值所處的狀態(tài)區(qū)間。顯然，處于狀態(tài)1的數(shù)據(jù)僅有2003年，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)判斷，未來(lái)出現(xiàn)的可能性很低，因此狀態(tài)1的預(yù)測(cè)概率為0.

由(5)式得：α(k-n)=p2(k-n)，因此有1-α(k-n)=p3(k-n).

再由(4)式可以求解最終預(yù)測(cè)值，并由(6)式計(jì)算相對(duì)誤差。

為了對(duì)不同模型的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分別用傳統(tǒng)GM(1, 1)、GM(1, 1)-Markov殘差修正模型進(jìn)行計(jì)算，其中GM(1, 1)-Markov殘差修正模型在運(yùn)算中同樣將殘差劃分成3個(gè)狀態(tài)區(qū)間。

同時(shí)為了檢驗(yàn)時(shí)間連續(xù)灰色Markov模型相對(duì)于時(shí)間離散Markov模型的差別，運(yùn)用時(shí)間離散Markov模型(運(yùn)用(2)式、(3)式劃分狀態(tài)區(qū)間，(7)式確定1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，利用移概率矩陣的k次方確定k步轉(zhuǎn)移概率矩陣并計(jì)算各時(shí)間點(diǎn)的狀態(tài)概率，再由(4)式、(5)式求解最終預(yù)測(cè)值)。計(jì)算結(jié)果見表2.

表2 不同模型預(yù)測(cè)計(jì)算結(jié)果比較

由計(jì)算結(jié)果可以看到：由于原始數(shù)據(jù)的趨勢(shì)性不強(qiáng)，GM(1, 1)預(yù)測(cè)值偏差較大，平均相對(duì)誤差達(dá)到40.17%；Markov-GM(1, 1)殘差修正模型將平均相對(duì)誤差降低為32.63%，誤差依然較大，因此單純基于GM(1, 1)的殘差修正沒有太大意義；本文模型在這種條件下仍能保持較高的預(yù)測(cè)精度。同時(shí)，表2中時(shí)間離散和時(shí)間連續(xù)灰色Markov模型運(yùn)用相同的步驟劃分狀態(tài)區(qū)間、確定1步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，時(shí)間離散灰色Markov模型的平均相對(duì)誤差為9.27%，時(shí)間連續(xù)灰色Markov模型將平均相對(duì)誤差降低為7.77%. 說(shuō)明連續(xù)時(shí)間模型能夠更加準(zhǔn)確地反映數(shù)據(jù)變化的內(nèi)在機(jī)制，可以更好地避免小樣本條件下運(yùn)用Markov模型樣本數(shù)據(jù)不足的弊端，提高預(yù)測(cè)精度。

4 結(jié)論

本文針對(duì)裝備維修器材消耗量數(shù)據(jù)跳躍幅度變化較大且數(shù)據(jù)發(fā)展變化趨勢(shì)不明顯的情況，通過運(yùn)用時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的灰色狀態(tài)Markov模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析和預(yù)測(cè)。

通過研究發(fā)現(xiàn)，時(shí)間連續(xù)灰色狀態(tài)Markov模型可以很好地對(duì)隨機(jī)變化的裝備維修器材需求情況進(jìn)行預(yù)測(cè)，并能夠有效地避免因數(shù)據(jù)發(fā)展變化趨勢(shì)不明顯導(dǎo)致的預(yù)測(cè)偏離真實(shí)值問題。同時(shí)，該模型可以有效彌補(bǔ)小樣本條件下運(yùn)用Markov模型的不足，更好地避免誤差累積并預(yù)測(cè)狀態(tài)的變化規(guī)律，降低因依據(jù)狀態(tài)概率大小選擇預(yù)測(cè)狀態(tài)所導(dǎo)致的高誤差風(fēng)險(xiǎn)，提高運(yùn)用灰度理論進(jìn)行預(yù)測(cè)的精度，具有較強(qiáng)的實(shí)用性。

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StudyofEquipmentMaterialDemandPredictionMethodBasedonTime-continuousGreyMarkovModel

ZHANG Lei1, LI Shi-min2, ZHU Gang3

(1.Unit 32134 of PLA, Tianjin 301900, China; 2.Unit 63963 of PLA, Beijing 100072, China; 3.Unit 78092 of PLA, Chengdu 610031, Sichuan, China)

E92

A

1000-1093(2017)09-1862-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.09.025

2017-02-23

復(fù)雜地面系統(tǒng)仿真重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室預(yù)先研究基金項(xiàng)目(9140C900104150C90384)

張磊(1983—), 男, 助理工程師， 博士。E-mail: zhanglei_martin@sohu.com

李世民(1982—)，男，工程師，博士。E-mail: lishimin0625@163.com