沈靠山

(浙江省錢塘江管理局勘測設(shè)計院,浙江 杭州 310016)

復(fù)雜桁架內(nèi)力計算中的“零桿判斷”

沈靠山

(浙江省錢塘江管理局勘測設(shè)計院,浙江 杭州 310016)

針對復(fù)雜桁架的內(nèi)力計算，內(nèi)力計算最為常用的方法有兩種，即結(jié)點法和截面法，傳統(tǒng)方法求桁架中桿件的內(nèi)力，對于結(jié)點數(shù)較多或較復(fù)雜的桁架并不太適用.在特殊情況下對幾種結(jié)構(gòu)內(nèi)力特點的分析，歸納總結(jié)了5種零桿判斷方法，即利用特殊節(jié)點判斷零桿、利用整體法與結(jié)點的平衡相結(jié)合判斷零桿、利用截面法判斷零桿、利用對稱結(jié)構(gòu)性質(zhì)判斷零桿和利用假設(shè)法判斷零桿.通過歸納總結(jié)的零桿判斷方法，為快速計算復(fù)雜桁架的內(nèi)力提供了可靠的理論依據(jù).

桁架；零桿；結(jié)點；結(jié)構(gòu)對稱性

1 研究概述

桁架是由一些短粗的直桿鉸接而成，各桿所受的內(nèi)力為軸向拉壓力.由于其具有內(nèi)力分布均勻、材料受力合理，以及采用短桿即可跨越較大空間等優(yōu)點，桁架被工程界廣泛采用，如在橋梁和廠房等應(yīng)用[1].為確保工程結(jié)構(gòu)的安全，設(shè)計過程中需對桁架中桿件的內(nèi)力進(jìn)行計算[2].桁架內(nèi)力計算常用的方法有2種，即結(jié)點法和截面法[3-4]：結(jié)點法是取結(jié)點為隔離體，每個結(jié)點有2個平衡方程，這種方法原理簡單，但逐個取結(jié)點為研究對象，求解的過程十分繁瑣；截面法是取桁架的一部分為隔離體，每次可列3個平衡方程，應(yīng)用截面法求內(nèi)力時，同樣不能隨意建立平衡方程.因此，對于結(jié)點數(shù)較多或較復(fù)雜的桁架的內(nèi)力計算，這兩種方法都不太適用.目前，對復(fù)雜桁架的內(nèi)力計算往往是通過對零桿的判斷進(jìn)行簡化.所謂零桿，是指桁架中軸力為零的桿件.零桿可以通過計算確定，其計算方法可采用結(jié)點法和截面法，又可根據(jù)其內(nèi)力的獨特性，結(jié)合結(jié)構(gòu)的某些特殊性質(zhì)，減少大量不必要的運算.一些學(xué)者利用靜定結(jié)構(gòu)的局部平衡特效判斷零桿，利用附屬結(jié)構(gòu)的性質(zhì)判斷零桿，利用對稱結(jié)構(gòu)的性質(zhì)來判斷零桿，與截面法相結(jié)合判斷零桿，利用假設(shè)判斷零桿等方法對桁架結(jié)構(gòu)的零桿判斷進(jìn)行了研究，并得出了一些有益的結(jié)論[5-6].從對各類文獻(xiàn)分析來看，學(xué)者們對零桿判斷的研究方法較多，但給出的實例較少[7-8].為此，本文從傳統(tǒng)結(jié)點法和截面法出發(fā)，結(jié)合具體結(jié)構(gòu)對零桿的判斷方法進(jìn)行了歸納和探討，并對各種方法的適用范圍進(jìn)行了初步研究.

2 零桿的判斷方法

2.1 利用特殊結(jié)點判斷零桿

在桁架中，通常有一些特殊的結(jié)點，即結(jié)點不受荷載或所受荷載較為特殊時，組成其結(jié)點的桿件往往是零桿.一般來說，常規(guī)結(jié)構(gòu)根據(jù)組成的桿件數(shù)量可分以下3種情況：二桿組成的結(jié)點、三桿組成的結(jié)點和四桿組成的結(jié)點.

(1)常見的二桿組成的結(jié)點(見圖1)，即無荷載作用的結(jié)點和有荷載作用的結(jié)點，兩桿不共線.圖1(a)顯示，當(dāng)結(jié)點上無荷載作用時，很顯然兩桿皆為零桿，即N1和N2均為0.圖1(b)顯示，當(dāng)結(jié)點上有荷載作用，且其中一桿與外力共線，則此桿內(nèi)力與外力異號等值，不與外力共線的一桿為零桿.即N1=F，N2=0.

圖1 二桿組成的結(jié)點

(2)無荷載和有荷載作用下，且由三桿組成的結(jié)點(見圖2)，其中兩桿共線，第三桿不共線.圖2(a)顯示，當(dāng)結(jié)點上無荷載作用時，不共線的一桿為零桿，共線的兩桿內(nèi)力同號等值，即N1=N2，N3=0.圖2(b)顯示，當(dāng)結(jié)點上有荷載作用，且外力與第三桿共線時，雖不存在零桿，但可直接求出第三桿的內(nèi)力，即N3=F，且N1=N2.當(dāng)外力與第三桿不共線時，不存在零桿，內(nèi)力只能采用節(jié)點法或截面法計算.

圖2 三桿組成的結(jié)點

(3)無荷載作用的四桿組成的結(jié)點(見圖3).四桿組成的結(jié)點只包含四個未知內(nèi)力桿，且結(jié)點無荷載作用.圖3(a)顯示，當(dāng)結(jié)點上無荷載作用時，當(dāng)其中兩桿在同一直線上，另外兩桿在此直線同側(cè)，且與此直線夾角相等時，兩斜桿內(nèi)力異號等值；對稱桁架在對稱荷載作用下，對稱軸的此種結(jié)點無荷載作用時，該結(jié)點上的兩根斜桿為零桿.圖3(b)顯示，當(dāng)其中四桿兩兩共線時不一定存在零桿.但在同一直線上的兩桿內(nèi)力必定同號且等值，即N1=N2，N3=N4.

圖3 四桿組成的結(jié)點

2.2 利用整體法與結(jié)點的平衡相結(jié)合判斷零桿

利用結(jié)點法快速判斷零桿時，往往沒有涉及支座反力的求解，組成支座結(jié)點的桿件就無法判斷，因此，在涉及支座結(jié)點的零桿判斷時，通常先用整體法求出支座反力，再用結(jié)點的平衡判斷零桿.為說明該方法，以圖4給出的結(jié)構(gòu)為例.

圖4 帶支座桁架結(jié)構(gòu)

圖4中，利用特殊結(jié)點可快速判斷法得出桿EF、EC、CD、GD為零桿，但目前并沒有完全找出零桿.然后，選取桁架的整體作為分析對象，可列出平衡方程.首先，取結(jié)點A為分析對象，利用式(1)可求出支座B的支座反力FRB，并可判斷受力方向為鉛垂方向.

∑MAF=0

(1)

式中：MA(F)—各分力對A點的矩.

然后，取結(jié)點B為分析對象，列水平方向的平衡方程.

∑FX=0

(2)

式中：Fx—各水平向分力.

由式(1)可得FAB=0，同理，可得FAD=0.故結(jié)構(gòu)的零桿為CD、GD、EF、EC、AB、AD，共6根.

2.3 利用截面法判斷零桿

有些復(fù)雜桁架結(jié)構(gòu)不存在特殊結(jié)點，無法用結(jié)點法直接判斷零桿，且用整體法求支座反力的過程繁瑣，不便解題.對于此種桁架，可考慮采用截面法判斷零桿.

一帶支座的無特殊結(jié)點的桁架結(jié)構(gòu)(見圖5)，集中力P作用于結(jié)點F處.該方法以圖5給出的結(jié)構(gòu)為例，利用截面法判斷零桿.

圖5 帶支座無特殊結(jié)點的桁架結(jié)構(gòu)

圖5中，I-I為截面.首先可選取截面I-I上半部分為隔離體分析，由水平方向的平衡方程，可得N3=0；其中，平衡方程表達(dá)式見式(2).然后，結(jié)合特殊結(jié)點法，可得NEA=0，NEB=0，NBA=0.因此，此結(jié)構(gòu)中的零桿為桿EF、EA和EB.

2.4 利用對稱結(jié)構(gòu)性質(zhì)判斷零桿

在桁架結(jié)構(gòu)中，往往存在一些對稱結(jié)構(gòu)，其內(nèi)力通常具有以下特點，即對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，內(nèi)力是對稱的，且反對稱的未知力為0；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載下內(nèi)力是反對稱的，且對稱的未知力為0[3].利用對稱結(jié)構(gòu)的內(nèi)力特點，可快速判斷對稱桁架當(dāng)中的零桿.

下面給出實例具體說明利用對稱結(jié)構(gòu)性質(zhì)進(jìn)行零桿判斷(見圖6).圖6(a)給出了一個結(jié)構(gòu)對稱的桁架，其中，水平力P作用在結(jié)點F處.由于支座A處產(chǎn)生了一個水平向左的力Fax，為簡化計算，將荷載轉(zhuǎn)化為2部分，即圖6(b)所示的荷載對稱作用圖6(c)所示的荷載反對稱作用.由圖6(b)可知，結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，反對稱的未知力為0，故可得出桿FG、GC為零桿.由圖6(c)可知，結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，正對稱的未知力為0，故桿ED為零桿，從而可得出EF、DC為零桿.

2.5 利用假設(shè)法判斷零桿

對于某些桿件數(shù)少的復(fù)雜桁架，可考慮利用假設(shè)法判斷零桿.具體方法如下：先假設(shè)其中某一根桿件的內(nèi)力方向，再利用多個結(jié)點的平衡條件，得出該桿內(nèi)力方向與假設(shè)方向相反的結(jié)論，即可得出該桿為零桿.

圖6 具有對稱結(jié)構(gòu)性質(zhì)的桁架結(jié)構(gòu)

以圖7所示的桁架為例.首先，假設(shè)NBD>0，則由B點的水平方向平衡方程，可得NBF<0，由F點的豎向平衡方程，可得NFD>0，其中，豎向平衡方程為：

∑Y=0

(3)

其中Y為各豎向分力，再由D點的水平方向平衡方程，可知NBD<0，這顯然與假設(shè)矛盾，所以NBD=0.從而，NAD、NDF也為零桿，由此可得到結(jié)構(gòu)中的所有零桿.

圖7 帶支座的復(fù)雜桁架

3 結(jié) 論

本文針對復(fù)雜桁架利用傳統(tǒng)的結(jié)點法和截面法求解存在內(nèi)力計算量大、求解過程繁瑣這一問題，通過對結(jié)構(gòu)在特殊結(jié)點及結(jié)構(gòu)對稱等情況下內(nèi)力特點的分析，歸納總結(jié)出5種零桿判斷法，為快速計算復(fù)雜桁架內(nèi)力提供了可靠的理論依據(jù).

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Judge of Zero-pole in Internal Force Calculation of Complex Truss

SHEN Kao-shan

(Survey and Design Institute of Qiantang River Administration of Zhejiang Province, Hangzhou 310016, China)

For the internal force calculation of complex truss, there are two commonly used methods, namely node method and section method. The traditional method for internal force of the bar is not applicable, specially for the truss with many junction points or more complex structure. Through the analysis of several structural internal force characteristics under special circumstance, five judging methods of zero-pole are summarized. That is, judging the zero-pole with special node, judging the zero-pole combined the integral method with the balance of the node, judging the zero-pole by the cross section, judging the zero-pole by the property of symmetric structure and judging the zero-pole by hypothesis method. Meanwhile, these judging methods provide a reliable theoretical basis for fast internal force calculation of complex truss.

truss; zero pole; node; structure symmetry

TU321

A

1008-536X(2017)03-0052-03

2016-12-03

沈靠山(1984-)，男，江蘇連云港人，碩士，工程師，主要從事水工建筑物設(shè)計及研究工作.