趙建興， 桑彩麗

(貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院， 貴州 貴陽 550025)

非奇異M-矩陣Hadamard積的最小特征值的新下界

趙建興*， 桑彩麗

(貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院， 貴州 貴陽 550025)

針對非奇異M-矩陣B與非奇異M-矩陣A的逆矩陣A-1的Hadamard 積的最小特征值τ(B°A-1)的估計問題，首先利用矩陣A的元素給出A-1各元素的上下界序列，然后利用這些序列和Brauer定理給出τ(B°A-1)單調(diào)遞增收斂的下界序列.最后，通過數(shù)值算例驗證理論結(jié)果，顯示所得下界序列比現(xiàn)有結(jié)果精確，且能收斂到真值.

M-矩陣；Hadamard積；最小特征值；下界；序列

非奇異M-矩陣及其最小特征值理論常被應用于研究經(jīng)濟學中的投入-產(chǎn)出分析和增長模型、物理學中數(shù)字電路的偏微分方程動力系統(tǒng)以及概率統(tǒng)計中的Markov鏈等問題[1-2].矩陣的Hadamard積則被廣泛應用于正定矩陣特征值、奇異值的估計等研究[3].最近，非奇異M-矩陣B與非奇異M-矩陣A的逆矩陣A-1的Hadamard積的最小特征值τ(B°A-1)的下界估計成為許多學者關注和研究的熱點問題，并得到了一系列估計式[4-10].本文繼續(xù)這一問題的研究，給出τ(B°A-1)單調(diào)遞增收斂的下界序列.

1 預備知識

用Rn×n(Cn×n)表示n(n≥2)階實(復)矩陣集,I表示單位矩陣,令N={1,2,…,n}.

定義1[1]若A=[aij]∈Rn×n的任意元素aij≥0,則稱A為非負矩陣，記為A≥0.

定義3[1]設A=[aij],B=[bij]∈Cm×n, 用A°B表示A和B的對應元素相乘而得的m×n矩陣，即A°B=[aijbij],稱其為A和B的Hadamard積.

定義4[2]若A=[aij]∈Rn×n的非主對角線元非正，即aij≤0,i≠j,i,j∈N,且A-1≥0,則稱A為非奇異M-矩陣.用Mn表示非奇異M-矩陣的集合，稱τ(A)=min{|λ|:λ∈σ(A)}為A的最小特征值，其中σ(A)為A的譜.

注1由文獻[2]知，若A為非奇異M-矩陣，則0<τ(A)≤aii,i∈N;若A,B均為非奇異M-矩陣，則B°A-1也是一個非奇異M-矩陣.

為敘述方便先給出一些記號. 設A=[aij]∈Rn×n,aii≠0.?i,j,k∈N,j≠i,記

2009年李耀堂等[4]給出了如下結(jié)果：

設A=[aij]∈Mn,且A-1是雙隨機矩陣，則

(1)

2013年周端美等[5]給出如下結(jié)果：

設A=[aij],B=[bij]∈Mn,且A-1是雙隨機矩陣，則

(2)

同年，程光輝等[6]給出如下結(jié)果：

設A=[aij]∈Mn,且A-1是雙隨機矩陣，則

(3)

不久，李耀堂等[7]改進了式(1)～(3)，并給出以下結(jié)果：

設A=[aij],B=[bij]∈Mn,且A-1是雙隨機矩陣，則

(4)

設A=[aij],B=[bij]∈Mn,且A-1=[αij],則

(5)

下面分別給出τ(B°A-1)和τ(A°A-1)單調(diào)遞增收斂的下界序列，新估計式改進了式(1)～(5)，且數(shù)值算例顯示，τ(A°A-1)的下界序列可以達到真值.

2 主要結(jié)果

首先給出一些記號. 設A=[aij]∈Rn×n,aii≠0.i,j,k∈N,j≠i,t=1,2,…,記

引理1設A=[aij]∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)矩陣，則?i,j∈N,j≠i,t=1,2,…,有

因為

由hi的定義知0≤hi≤1,且

即

因為

即

用上述類似的方法, 可證

證畢.

應用引理1及類似于文獻[4]中引理2.2和定理3.1的證明，可得

引理2設A=[aij]∈Rn×n是行嚴格對角占優(yōu)M-矩陣，則A-1=[αij]存在, 且對任意j,i∈N,j≠i,t=0,1,2,…,

定理1設A=[aij],B=[bij]∈Mn,且A-1=[αij],則對任意t=1,2,…,

τ(B°A-1)≥Ωt,

(6)

證明由A∈Mn知，存在一個正對角矩陣D，使得D-1AD是一個行嚴格對角占優(yōu)M-矩陣[2]. 由文獻[2]引理5.1.2可得τ(B°A-1)=τ(D-1(B°A-1)D)=τ(B°(D-1A-1D))=τ(B°(D-1AD)-1).

為方便起見，且不失一般性，可設A是行嚴格對角占優(yōu)M-矩陣.

(7)

由此得

(ii)假設A和B中至少有1個是可約矩陣.由文獻[2]知,Zn={A=[aij]∈Rn×n|aij≤0,i≠j,i,j∈N}中的矩陣是非奇異M-矩陣的充分必要條件是其所有順序主子式為正.定義V=[vij]是n階置換陣，其中v12=v23=…=vn-1,n=vn1=1,其余vij為0.對任意正數(shù)ε>0,當ε充分小時，可知A-εV和B-εV的所有順序主子式都為正，所以A-εV和B-εV都是不可約非奇異M-矩陣.然后用A-εV和B-εV分別代替A和B，并令ε→0，利用連續(xù)性可得式(6)成立.證畢.

定理2由定理1得到的下界序列{Ωt},t=1,2,…是單調(diào)遞增的且以τ(B°A-1)為上界, 因而該序列是收斂的.

在定理1中取B=A，可得

推論1設A=[aij]∈Mn,且A-1=[αij]，則對任意t=1,2,…，

(8)

定理3設A=[aij],B=[bij]∈Mn,且A-1=[αij],則對任意t=1,2,…,有

證明由A=[aij]∈Mn知A-1=[αij]≥0.因為AA-1=I, 所以

對任意i,j∈N,i≠j,不失一般性，假設

即

從而

進一步

從而

證畢.

由定理3易得

推論2設A=[aij],B=[bij]∈Mn,則對任意t=1,2,…,有

(9)

在定理3和推論2中分別取B=A，可得

推論3設A=[aij]∈Mn,且A-1=[αij],則對任意t=1,2,…,有

由引理3及類似于定理3、推論2和推論3的證明，可得

定理4設A=[aij],B=[bij]∈Mn,且A-1=[αij]是雙隨機矩陣，則對任意t=1,2,…,有

推論4設A=[aij],B=[bij]∈Mn,且A-1是雙隨機矩陣，則對任意t=1,2,…,有

(10)

推論5設A=[aij]∈Mn,且A-1=[αij]是雙隨機矩陣，則對任意t=1,2,…,有

注2首先對式(2)～(6)(9)(10)做一簡單比較：

(i)設A=[aij],B=[bij]∈Mn.由于式(9)僅用A,B的元素即可對τ(B°A-1)進行估計, 而式(2)(4)和(10)要求A-1=[αij]是雙隨機矩陣;式(5)和(6)要求A-1=[αij]的所有主對角線元素已知, 此時僅有式(9)可給出τ(B°A-1)的估計.由于式(9)的前提條件弱于式(2)(4)～(6)和(10)，因此其適用范圍更廣.

由此知，此時式(10)的估計優(yōu)于式(2)和(4).

由定理3知，式(6)的估計優(yōu)于式(9).

由于式(6)無須A-1是雙隨機矩陣，故由式(6)可以給出τ(B°A-1)的估計，而此時式(2)(4)和(10)均不適用.

(iv)設A=[aij],B=[bij]∈Mn,A-1=[αij]是雙隨機矩陣,且其主對角線元素αii,i∈N已知.由定理4知式(6)的估計優(yōu)于式(10)；由(ii)知，式(10)的估計優(yōu)于式(2)和(4)；由(iii)知，式(6)的估計優(yōu)于式(5)和(9)；從而式(6)的估計優(yōu)于式(2)(4)(5)(9)和(10).

(v)從算法的時間復雜性來看，式(2)(4)～(6)(9)和(10)的時間復雜性是一樣的，均為O(n3).

與定理1、定理2和推論1的證明類似，可得

定理7設A=[aij]∈Mn,且A-1=[αij],則對任意t=1,2,…,τ(A°A-1)≥Lt.

3 數(shù)值算例

例1設

由Matlab(R2009a)計算得A-1≥0, 再由定義2和定義4知A∈M10且A-1是雙隨機矩陣. 取迭代總次數(shù)為10, 由式(1)(3)、定理7和文獻[7-10]中相關結(jié)論得到的數(shù)值結(jié)果及所需時間如表1所示，其中t表示迭代次數(shù). 事實上,τ(A°A-1)=0.968 7.

從表1可看出，由定理7得到的τ(A°A-1)的下界序列是單調(diào)遞增的，且大于由式(1)(3)和文獻[7-10]中相關結(jié)果得到的下界. 從達到下界所需時間看, 定理7所需時間比式(1)(3)和文獻[7,9-10]中相關結(jié)果略長，比文獻[8]定理11短.

表1 τ(A°A-1)的下界Lt及所需時間Table 1 The lower bounds Lt of τ(A°A-1)and the time required

例2設矩陣A=[aij]∈Rn×n是由Matlab(R2009a)隨機產(chǎn)生的逆為雙隨機矩陣的非奇異M-矩陣(滿足0-1分布).取迭代總次數(shù)為500，由定理7得到的數(shù)值結(jié)果的部分數(shù)據(jù)列于表2,其中t為迭代次數(shù)．

表2 τ(A°A-1)的下界LtTable 2 The lower bounds Lt of τ(A°A-1)

表2的數(shù)值結(jié)果顯示，當矩陣的階很大時，由定理7估計τ(A°A-1)是非常有效的.

[1] 黃廷祝，楊傳勝．特殊矩陣分析及應用[M]．北京：科學出版社，2003． HUANG T Z, YANG C S.SpecialMatrixAnalysisandApplications[M]. Beijing: Science Press,2003.

[2] HORN R A, JOHNSON C R.TopicsinMatrixAnalysis[M]. Cambridge :Cambridge University Press,1991.

[3] HIAI F, LIN M. On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product [J].LinearAlgebraandItsApplications,2017,515: 313-320.

[4] LI Y T, CHEN F B, WANG D F. New lower bounds on eigenvalue of the Hadamard product of anM-matrix and its inverse [J].LinearAlgebraandItsApplications,2009,430: 1423-1431.

[5] ZHOU D M, CHEN G L, WU G X, et al. On some new bounds for eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices [J].LinearAlgebraandItsApplications,2013,438: 1415-1426.

[6] CHENG G H, TAN Q, WANG Z D. Some inequalities for the minimum eigenvalue of the Hadamard product of anM-matrix and its inverse [J].JournalofInequalitiesandApplications,2013,65: 1-9.

[7] LI Y T, WANG F, LI C Q, et al. Some new bounds for the minimum eigenvalue of the Hadamard product of anM-matrix and an inverseM-matrix [J].JournalofInequalitiesandApplications,2013,480: 1-8.

[8] 趙建興，桑彩麗.非奇異矩陣的Hadamard積的最小特征值的估計[J].數(shù)學的實踐與認識，2015,45(9)：242-249. ZHAO J X, SANG C L. An sequences of the upper and lower bounds of the minimum eigenvalue of the Hadamard product for anM-matrix [J].MathematicsinPracticeandTheory,2015,45(9): 242-249.

[9] CHENG G, TAN Q L, WANG Z X. Some inequalities

for the Hadamard product of anM-matrix and an inverseM-matrix [J].JournalofInequalitiesandApplications,2013,2013(1):16.

[10] ZHDANOVA I V, ROGERS J, GONZALEZMARTINEZ J, et al. New inequalities for the Hadamard product of anM-matrix and its inverse [J].JournalofInequalitiesandApplications,2015,2015(1):1-12.

ZHAO Jianxing, SANG Caili

(CollegeofDataScienceandInformationEngineering,GuizhouMinzuUniversity,Guiyang550025,China)

LetAandBbe both nonsingularM-matrices, andA-1be the inverse matrix ofA. In order to get the new lower bounds of the minimum eigenvalueτ(B°A-1) of the Hadamard product ofBandA-1, firstly, we give some sequences of the upper and lower bounds of the elements ofA-1are given using the elements ofA.Then, using these sequences and Brauer theorem, some monotone increasing and convergent sequences of lower bounds ofτ(B°A-1) are obtained. Numerical examples are provided to verify the theoretical results, which show that these sequences of the lower bounds are more accurate than some existing results and can reach the true value of the minimum eigenvalue.

M-matrix; Hadamard product; minimum eigenvalue; lower bound; sequences

O 151.21

：A

：1008-9497(2017)05-505-06

2015-12-13.

國家自然科學基金資助項目(11501141); 貴州省科學技術(shù)基金資助項目(黔科合J字[2015]2073號)；貴州省教育廳科技拔尖人才支持項目(黔教合KY字[2016]066號).

趙建興(1981-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0001-5938-3518，男，博士，副教授，主要從事數(shù)值代數(shù)研究,E-mail：zhaojianxing@gzmu.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.05.001

NewlowerboundsfortheminimumeigenvalueoftheHadamardproductofnonsingularM-matrices. Journal of Zhejiang University (Science Edition)，2017,44(5):505-510，515