王建寧

【摘要】轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)中的重要思想方法之一，它是學(xué)生將未知領(lǐng)域的問題轉(zhuǎn)化為已有的知識體系進(jìn)而解決問題的關(guān)鍵。教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)不斷加強轉(zhuǎn)化與化歸思想的滲透和培養(yǎng)。文章結(jié)合兩道習(xí)題再現(xiàn)了這種數(shù)學(xué)思想的重要性。

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化與化歸思想；線性規(guī)劃；取值范圍

轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)中的基本思想方法之一，這一重要的數(shù)學(xué)思想在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中能將新舊知識聯(lián)系起來，在應(yīng)用已經(jīng)掌握的知識和方法來解決新問題的過程中不可或缺，它是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的關(guān)鍵。因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中要不斷加強轉(zhuǎn)化與化歸思想的滲透，使學(xué)生面對很多實際問題適時劃歸，突破難點，運用學(xué)過的知識高效快捷準(zhǔn)確的解決問題。而線性規(guī)劃問題是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，面對的問題多以最值問題呈現(xiàn)，實際生活中總有利潤最大、風(fēng)險最小、產(chǎn)量最高等實際問題與之對應(yīng)。

下面我將結(jié)合自己在教學(xué)實踐中遇得到兩個例題談?wù)勣D(zhuǎn)化與化歸思想在線性規(guī)劃中的體現(xiàn)、應(yīng)用及滲透。

在高一數(shù)學(xué)中有這樣一道題目：已知且，，求的取值范圍.

當(dāng)時已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的相關(guān)性質(zhì)，學(xué)生很快根據(jù)已知條件分別求出了a與b的取值范圍.

即由，可得

，

所以

即的取值范圍為.

學(xué)生做完之后，教師問了一句“對嗎？”一部分學(xué)生很快進(jìn)行了檢查在確定沒有運算錯誤的前提下十分自信地點了點頭。但是教師在黑板上給出了如下解題過程：

設(shè)

由2x+y=1，-x+y=-5可得x=2，y=-3

所以

由可得

所以

即a-5b的取值范圍為.

顯然，學(xué)生求解的范圍變大了，為什么呢？基于學(xué)生在高一的認(rèn)知水平和知識體系，只能對學(xué)生解釋：這里的兩個變量是相互制約的，當(dāng)a變大時，b相應(yīng)地要變小，才能使不等式成立，也就是說不能同時取到最大值。比如時，如果，那么顯然與相矛盾。學(xué)生好像有所理解，但是對學(xué)生而言，初次接觸這類題目，感覺解法好奇怪，還很難上升到道理性認(rèn)識。

時間轉(zhuǎn)眼到了高二，教學(xué)過程中遇到了這樣一道習(xí)題：設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，求的取值范圍.

有部分學(xué)生給出了如下解決方案：

數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公差為d

則，

由題可知

分別求出

因為

又

即.

此時，另有一部分學(xué)生對這種解法提出疑問，曾經(jīng)在高一時講過的一個例題和這道題很相似并且通過查閱錯題本很快找到了前面的習(xí)題，給出了這種解法存在的問題：a1與d相互制約而不能同時取得最大值。然后給出了下面的解法：

解：因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其首項為a1，公差為d

則，

設(shè)

可得

解得

得到

所以的取值范圍是.

至此，相信大多數(shù)學(xué)生對這類習(xí)題都有了較為深刻的認(rèn)識，將習(xí)題2劃歸到習(xí)題1的解法上，只是提出問題的形式有所不同，但考察的實質(zhì)相同。這就要求學(xué)生在解題過程中運用轉(zhuǎn)化的思想將問題劃歸到能解決的已知問題上，而不是受惑于問題的表象和字母的選取與表現(xiàn)形式。此刻學(xué)生情緒高漲，問題解決到這里也很完美。但是與高一相比，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了線性規(guī)劃的相關(guān)知識，因而可以將這道習(xí)題再做如下探討：

觀察已知條件：題中給出的取值范圍，相當(dāng)于告訴我們，求的取值范圍.

問題可看成在線性約束條件①下，求目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.

引導(dǎo)學(xué)生給出由約束條件①確定的平面區(qū)域為平行四邊形（如圖）：

由圖可知目標(biāo)函數(shù)在點處取到最大值，；在點處取到最小值，

所以的取值范圍為.

與上面的結(jié)果相同，可謂殊途同歸。運用轉(zhuǎn)化與化歸的思想將這個問題劃歸到線性規(guī)劃的方向上，確定可行域，進(jìn)而求出目標(biāo)函數(shù)的最大值與最小值，確定S9的取值范圍，是求解此類問題的又一個方向，既體現(xiàn)了一題多解和一題多變的思想，又充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，在滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面都能取得良好的效果。

而且通過求解過程還可以看到前面先分別求出a1與d范圍再求出的取值范圍出錯的原因。由作為約束條件得到的是平面區(qū)域為矩形，目標(biāo)函數(shù)最值在點和點處分別取到，即，所以.

顯然可行域發(fā)生變化是本題產(chǎn)生錯誤的最根本原因。如果此時再讓學(xué)生將錯題本上的習(xí)題1運用線性規(guī)劃的知識重新求解，絕大多數(shù)學(xué)生都能順利完成，而且結(jié)合圖形能分析出分別求出a和b的范圍而出錯的原因，從而對這道曾經(jīng)的遺留問題產(chǎn)生新的認(rèn)識，正是“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”。

當(dāng)然，轉(zhuǎn)化與化歸思想在高中數(shù)學(xué)中非常常見，正是這一經(jīng)典的數(shù)學(xué)思想引導(dǎo)學(xué)生將未知領(lǐng)域的問題不斷劃歸到已知領(lǐng)域，利用已有的知識解決新問題。教師在平時的教學(xué)過程中要不斷加強這一數(shù)學(xué)思想的滲透，才能不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用創(chuàng)新能力。endprint