古慧娟

摘要：本文闡述了反比例函數(shù)的解析式三種形式，性質，對常見的基本題型加以分析，來理解和鞏固反比例函數(shù)的性質，以及對一些題型方法的歸納和總結。

關鍵字：反比例函數(shù)，解析式，性質，分析

【中圖分類號】G633.6

一般地，形如 （k是常數(shù)， ）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。

一、反比例函數(shù)解析式

反比例函數(shù)解析式的三種表達式： ， ， （ ）。在求反比例函數(shù)解析式的時候，可以類比一次函數(shù)解析式的求法進行講解。其步驟為：（1）設：一般設解析式為 （ ），（2）求：根據(jù)已知條件求k；（3）寫：把k的值代入寫出解析式。學生常常忘記第三步，因此在講題時應強調最后一步必須代入寫出解析式才可以。

反比例函數(shù)解析式的第二種表達式 （ ）常出現(xiàn)在選擇題和填空題當中。不管是哪種表達式，都要求 ，而此種表達式，x的指數(shù)是-1。

例【1】已知函數(shù) 是反比例函數(shù)，求m的值。

分析：條件給出的是反比例函數(shù)的第二種表達式，其中x的指數(shù)是-1次，反反比例系數(shù)不等于0。因此可得： ，解得 。而反比例系數(shù) ，解得 ，所以得 。

反比例函數(shù)解析式的第三種表達式 （ ）。如圖：反比例函數(shù)圖象上的點P，過點p作x軸，y軸的垂線，分別交于點E，F(xiàn)，則矩形OEPF的面積 。

△OPE的面積 。只要點P 在反比例函數(shù)圖象上，面積的值是確定的，與P點位置無關。

例【2】如右上圖，點P在反比例函數(shù) 的圖象上，過點p作x軸，y軸的垂線，分別交于點E，F(xiàn)，若矩形OEPF的面積為4，求這個反比例函數(shù)的解析式。

分析：由公式可得： ，解得 ，由于圖象位于第一象限，所以k=4，所以其解析式為 。

二. 反比例函數(shù)的性質

1. 反比例函數(shù) （k是常數(shù)， ）的圖象是雙曲線；

2. 當k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一，第三象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小；

3. 當k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二，第四象限，在每個象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大。

例題【3】已知反比例函數(shù) ，下列結論不正確是（ ）

A.圖象經(jīng)過點（1，1） B.圖象在第一、第三象限

C.當x>1時，0

分析：A選項，由題可知，反比例系數(shù)k=1， ，所以點（1，1）在函數(shù)圖象上。

B選項，k=1>0，由反比例函數(shù)性質可知，圖象在第一、第三象限，所以B正確。

C選項，用圖像法分析。如圖，

當x>1時，圖象位于直線x=1的右邊，

而這部分圖象對應的函數(shù)值y的范圍是0

所以C正確。

D選項，不正確。容易認為錯誤的原因是沒有強調在一個象限內(nèi)，而真正錯誤的原因是后半部分，改為y值隨x的增大而減小。當x<0時，已經(jīng)強調了是在第三象限內(nèi)，同理，當x>0時，y隨x的增大而減小，這句話也是對的，它強調了是在第一象限內(nèi)。由此歸納，反比例函數(shù)性質（2）（3）的結論成立的條件，可以有三種描述方法：①在每一個象限內(nèi)；②當x<0時；③當x>0時。

例題【4】點 在反比例函數(shù) 的圖象上，比較 的大小關系。

分析：方法一：代入求值。 ，由此可知， 。

此方法適用于知道點的橫（或縱）坐標和確切的函數(shù)解析式；

方法二：根據(jù)反比例函數(shù)的性質。由題可知，A，B，C三個點在同一個象限內(nèi)，即第一象限，由性質可知，y隨著x的增大而減小，所以 。此方法適用于所有的點在同一個象限內(nèi)。

方法三：圖象法。由下圖可知， ，此方法沒有任何條件限制。

變式題（一）：點 在反比例函數(shù) 的圖象上，其中 ，比較 的大小關系。

分析：此題沒有點的具體坐標和確切的解析式，因此不能采用方法一，由于k>0，可知此雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，而題 ，可知A，B，C三個點都在第三象限內(nèi)，因此可采用方法二，而方法三是不受條件限制的，因此也可采用方法三。

變式題（二）：點 在反比例函數(shù) 的圖象上，其中 ，比較 的大小關系。

分析：此題沒有點的具體坐標和確切的解析式，因此不能采用方法一，由于k>0，可知此雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，而題 ，可知A，B，C三個點不同在一個象限內(nèi)，因此不可采用方法二，而方法三是不受條件限制的，因此這題只能采用方法三圖象法來做。

參考文獻：1、義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學2011

2、義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學教師教學用書