王宏甲,趙慶志,喬磊,楊召彬,吳俊杰

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255000)

基于差分插補(bǔ)原理的多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)與仿真*

王宏甲,趙慶志,喬磊,楊召彬,吳俊杰

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255000)

為了實(shí)現(xiàn)采用差分插補(bǔ)原理的數(shù)控系統(tǒng)能夠進(jìn)行多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)，以平面直線(xiàn)插補(bǔ)為基礎(chǔ)，對(duì)差分插補(bǔ)原理進(jìn)行了再研究。從差分插補(bǔ)原理的基準(zhǔn)軸與非基準(zhǔn)軸進(jìn)給判定中，找到了實(shí)現(xiàn)基于差分插補(bǔ)原理的多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)的關(guān)鍵點(diǎn)。通過(guò)對(duì)多維線(xiàn)性插補(bǔ)的分析，給出了多維線(xiàn)性插補(bǔ)的具體流程及其差分代碼的初始化，實(shí)現(xiàn)了基于差分插補(bǔ)原理的多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)。該插補(bǔ)方法簡(jiǎn)單可行，易于實(shí)現(xiàn)多軸控制。通過(guò)空間直線(xiàn)插補(bǔ)實(shí)例分析以及刀具路徑的插補(bǔ)仿真，進(jìn)一步說(shuō)明了基于差分插補(bǔ)原理的多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)方法能夠滿(mǎn)足空間多維數(shù)控加工的要求。

差分插補(bǔ)原理；多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)；路徑仿真

0 引言

插補(bǔ)運(yùn)算是數(shù)控系統(tǒng)最重要的計(jì)算任務(wù)。插補(bǔ)程序的計(jì)算效率和計(jì)算精度是衡量數(shù)控系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)[1]。在以步進(jìn)電機(jī)為驅(qū)動(dòng)裝置的經(jīng)濟(jì)型數(shù)控系統(tǒng)中，插補(bǔ)方法主要有逐點(diǎn)比較法、數(shù)字積分法以及比較積分法等[2]。這些方法不但在平面加工中得到了廣泛的應(yīng)用，而且在多軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床的空間插補(bǔ)加工中也發(fā)揮了重要的作用。尤其是在數(shù)控機(jī)床的升級(jí)改造過(guò)程中，多軸聯(lián)動(dòng)機(jī)床的迅速普及，要求經(jīng)濟(jì)型數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)算法能夠適應(yīng)多軸聯(lián)動(dòng)加工的基本要求，滿(mǎn)足現(xiàn)代化生產(chǎn)的需要[3]。

在上世紀(jì)80年代，王敏教授深入分析國(guó)內(nèi)外數(shù)控插補(bǔ)技術(shù)，從理論上開(kāi)創(chuàng)性地研究了適合變量可分離的正高次曲線(xiàn)數(shù)控加工的差分插補(bǔ)原理。該插補(bǔ)方法具有插補(bǔ)功能強(qiáng)大，控制精度高，操作使用容易等優(yōu)點(diǎn)[4]。近年來(lái)，趙慶志[5-8]、單東日[9]等學(xué)者對(duì)該方法進(jìn)行了深入的研究，實(shí)現(xiàn)了直線(xiàn)以及圓錐曲線(xiàn)采用統(tǒng)一運(yùn)算框圖的直接插補(bǔ)，使數(shù)控系統(tǒng)的插補(bǔ)功能有了極大的改善?，F(xiàn)階段，以差分插補(bǔ)原理為核心的數(shù)控機(jī)床主要進(jìn)行平面內(nèi)復(fù)雜輪廓的加工，但是對(duì)于空間直線(xiàn)的插補(bǔ)則力不從心，沒(méi)有進(jìn)行深入研究。在這種情況下，采用差分插補(bǔ)原理的數(shù)控機(jī)床進(jìn)行空間直線(xiàn)插補(bǔ)時(shí)，還需輔以其他插補(bǔ)方法，比如DDA法等。這就使得數(shù)控系統(tǒng)更加復(fù)雜，增加了數(shù)控系統(tǒng)的開(kāi)發(fā)難度。

為了適應(yīng)數(shù)控加工發(fā)展的需要，針對(duì)上述情況，本文將對(duì)擁有較強(qiáng)平面插補(bǔ)功能的差分插補(bǔ)原理進(jìn)行再研究，以期應(yīng)用該插補(bǔ)方法實(shí)現(xiàn)多維線(xiàn)性插補(bǔ)，豐富差分插補(bǔ)原理的應(yīng)用，滿(mǎn)足現(xiàn)代化加工的需要。

1 采用差分插補(bǔ)原理的平面直線(xiàn)插補(bǔ)

1.1 差分插補(bǔ)原理簡(jiǎn)述

差分插補(bǔ)原理能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)變量可分離的正高次曲線(xiàn)的直接插補(bǔ)。該原理是從原點(diǎn)開(kāi)始，依據(jù)函數(shù)遞增的趨勢(shì)進(jìn)行推導(dǎo)。為滿(mǎn)足插補(bǔ)的理論依據(jù)，曲線(xiàn)方程需經(jīng)坐標(biāo)系平移和變向化為可分離變量的正高次曲線(xiàn)。從而，建立以曲線(xiàn)加工起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，起點(diǎn)處沿加工方向的切線(xiàn)在第一象限的“相對(duì)坐標(biāo)系”，并求出該坐標(biāo)系下x，y的各階差分。

在插補(bǔ)的過(guò)程中，每進(jìn)給一次之前，需先比較一下x，y一階差分值的大小，取一階差分值較小的坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)軸。在每一次進(jìn)給中，基準(zhǔn)軸均進(jìn)給一步。非基準(zhǔn)軸的進(jìn)給取決于函數(shù)值偏差與非基準(zhǔn)軸的一階差分值相比較的結(jié)果。當(dāng)偏差值超過(guò)非基準(zhǔn)軸一階差分值一半時(shí)，兩軸同時(shí)進(jìn)給才能保證誤差最小。此時(shí)，進(jìn)給的實(shí)際誤差不會(huì)超過(guò)半個(gè)脈沖當(dāng)量[4]。

1.2 平面直線(xiàn)差分插補(bǔ)代碼的初始化

將在平面直角坐標(biāo)系中用ISO代碼定義的直線(xiàn)方程，按照坐標(biāo)平移和變向化為相對(duì)坐標(biāo)系中的正一次曲線(xiàn)方程，其形式為：

a1y=b1x

則其差分插補(bǔ)代碼為：

jx1，jy1，F(xiàn)，G，jj，L

各代碼含義為：

jx1：x的一階差分；jy1：y的一階差分；

F：插補(bǔ)偏差；G：計(jì)數(shù)方向；

jj：曲線(xiàn)在x軸(或者y軸)上的投影長(zhǎng)度；

L： 機(jī)床絕對(duì)坐標(biāo)象限。

其中，jx1=b1，jy1=a1，在插補(bǔ)的過(guò)程中，必須保證jx1>0，jy1>0，其具體差分計(jì)算見(jiàn)相關(guān)參考文獻(xiàn)[4]。F為插補(bǔ)偏差，F(xiàn)=P1(x)-Q1(y)或者F=Q1(y)-P1(x)，在插補(bǔ)初始化時(shí)，F(xiàn)=0。G為計(jì)數(shù)方向，用來(lái)判斷投影方向。若曲線(xiàn)終點(diǎn)的切線(xiàn)斜率絕對(duì)值K大于1時(shí)，G=Gy，曲線(xiàn)的投影方向?yàn)閥軸，否則G=Gx，曲線(xiàn)的投影方向?yàn)閤軸。jj為曲線(xiàn)在投影方向上的計(jì)數(shù)長(zhǎng)度。L為曲線(xiàn)加工起始段所在的機(jī)床絕對(duì)坐標(biāo)系象限號(hào)。

2 采用差分插補(bǔ)原理的多維線(xiàn)性插補(bǔ)

由上文分析知，差分插補(bǔ)原理以脈沖密度高的軸作為基準(zhǔn)軸。在每一次插補(bǔ)進(jìn)給中都要包含基準(zhǔn)軸，并判斷非基準(zhǔn)軸的脈沖是否存在。本文將以此為基礎(chǔ)，將平面直線(xiàn)插補(bǔ)擴(kuò)展到空間多維線(xiàn)性插補(bǔ)。

2.1 差分插補(bǔ)原理的多維線(xiàn)性插補(bǔ)分析

設(shè)有多維函數(shù)滿(mǎn)足：

X:Y:Z:θ=a:b:c:d

為方便分析，假設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a的值最大。將上述多維線(xiàn)性函數(shù)化為變量可分離的形式并求得X,Y,Z,θ的一階差分：

由于jx1

由多維線(xiàn)性插補(bǔ)原理[12]可知，在插補(bǔ)的過(guò)程中，各軸的進(jìn)給方向不發(fā)生變化，不存在過(guò)象限的問(wèn)題。所以在進(jìn)行插補(bǔ)之前，通過(guò)程序開(kāi)辟專(zhuān)門(mén)的內(nèi)存空間來(lái)存儲(chǔ)各個(gè)軸的進(jìn)給方向。在插補(bǔ)的過(guò)程中，坐標(biāo)參數(shù)均采用絕對(duì)值的形式進(jìn)行插補(bǔ)運(yùn)算。通過(guò)這一措施，就將多維線(xiàn)性插補(bǔ)的全部情況都納入到上述分析中，從而避免了各個(gè)象限的判斷計(jì)算，簡(jiǎn)化了插補(bǔ)程序，提高了插補(bǔ)計(jì)算的效率。

2.2 多維線(xiàn)性差分插補(bǔ)流程及插補(bǔ)代碼初始化

在相對(duì)坐標(biāo)編程模式下，有多維線(xiàn)性插補(bǔ)指令G01(a,b,c,…d)。

由上文分析可知，本文提出的基于差分插補(bǔ)原理的多維線(xiàn)性插補(bǔ)流程如下：

有了校園創(chuàng)作的體驗(yàn)，學(xué)生興致更高。我順勢(shì)把學(xué)生帶到玄武湖。這是這次校本選修課給我感受最深的一次活動(dòng)。我們總結(jié)了校園創(chuàng)作的經(jīng)驗(yàn)，又做了一些改進(jìn)，每到一個(gè)景點(diǎn)，要求學(xué)生展開(kāi)競(jìng)賽，誰(shuí)對(duì)得快，誰(shuí)對(duì)得好，就給誰(shuí)獎(jiǎng)勵(lì)。小小的激勵(lì)機(jī)制，使得學(xué)生情緒更加高漲，才思更加敏捷。面對(duì)一處處景點(diǎn)，佳聯(lián)疊出，引得游人駐足，贏得嘖嘖稱(chēng)贊。

(1)根據(jù)坐標(biāo)值的正負(fù)，判斷各軸的進(jìn)給方向。

(2)對(duì)各坐標(biāo)值取絕對(duì)值，令Max等于最大的絕對(duì)值。

(3)差分插補(bǔ)代碼初始化：

計(jì)算各軸的一階差分值，即jx1=|Max/a|，

jy1=|Max/b|，jz1=|Max/c|…

令各軸偏差等于0，即Fx=0，F(xiàn)y=0，F(xiàn)z=0…

插補(bǔ)循環(huán)次數(shù)jj=Max

(4)確定基準(zhǔn)軸的一階差分值，即各軸一階差分值中的最小值。

(5)進(jìn)行差分插補(bǔ)運(yùn)算。

由于線(xiàn)性插補(bǔ)不存在過(guò)象限問(wèn)題，所以本文設(shè)計(jì)的多維線(xiàn)性差分插補(bǔ)不再考慮G、L參數(shù)，減少了插補(bǔ)參數(shù)的計(jì)算，簡(jiǎn)化了插補(bǔ)流程，提高了插補(bǔ)計(jì)算的效率。為了保證插補(bǔ)運(yùn)算的實(shí)時(shí)性，上述流程的前四步，都將在譯碼階段完成。差分插補(bǔ)運(yùn)算的具體流程，如圖1所示。

3 空間直線(xiàn)插補(bǔ)實(shí)例分析

為方便分析，現(xiàn)以加工起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)，終點(diǎn)為E(6,5,3)的空間直線(xiàn)段OE為例。使用文中的多維線(xiàn)性差分插補(bǔ)算法進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算，其插補(bǔ)過(guò)程及計(jì)算數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 空間直線(xiàn)插補(bǔ)過(guò)程以及計(jì)算數(shù)據(jù)

4 刀具路徑的多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)仿真

利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行刀具路徑的插補(bǔ)仿真是驗(yàn)證插補(bǔ)算法正確性的重要途徑。為進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)方法，本文在OpenGL渲染環(huán)境中進(jìn)行刀具路徑的插補(bǔ)仿真顯示模塊開(kāi)發(fā)。刀具路徑的顯示模塊，是將插補(bǔ)計(jì)算提供的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為屏幕上顯示的刀具路徑，實(shí)現(xiàn)刀具路徑的多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)仿真。

由多維線(xiàn)性插補(bǔ)與數(shù)控加工原理可知，空間復(fù)雜曲線(xiàn)的加工是由各直線(xiàn)軸與旋轉(zhuǎn)軸沿各自軸線(xiàn)加工運(yùn)動(dòng)復(fù)合而成。采用計(jì)算機(jī)進(jìn)行刀具路徑仿真加工時(shí)，可將空間點(diǎn)依次繞各個(gè)軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)，然后投影到二維計(jì)算機(jī)屏幕上進(jìn)行顯示。

由計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的三維幾何變換[13]可知，在右手笛卡爾坐標(biāo)系中，設(shè)繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)角為β，則繞x軸的三維旋轉(zhuǎn)變化矩陣為：

繞y軸的三維旋轉(zhuǎn)變化矩陣為：

繞z軸的三維旋轉(zhuǎn)變化矩陣為：

在仿真插補(bǔ)運(yùn)算的過(guò)程中，將插補(bǔ)程序計(jì)算出的多維坐標(biāo)數(shù)據(jù)，依次帶入到各軸的旋轉(zhuǎn)變化矩陣中進(jìn)行計(jì)算，最后將得到的二維平面數(shù)據(jù)傳到OpenGL中進(jìn)行顯示，即可實(shí)現(xiàn)刀具路徑的多維線(xiàn)性空間插補(bǔ)仿真。本文采用上述方法，開(kāi)發(fā)的數(shù)控雕刻機(jī)控制系統(tǒng)界面如圖2所示。

圖2 數(shù)控雕刻機(jī)控制系統(tǒng)界面

通過(guò)CAD/CAM軟件[14]，對(duì)灰度圖片進(jìn)行自動(dòng)化編程，將生成的G代碼導(dǎo)入到本文開(kāi)發(fā)的數(shù)控雕刻機(jī)控制系統(tǒng)中進(jìn)行空間直線(xiàn)的仿真測(cè)試，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 空間直線(xiàn)插補(bǔ)仿真

在對(duì)旋轉(zhuǎn)軸插補(bǔ)仿真測(cè)試中，加工路徑為起點(diǎn)(0，0，5)，繞Y軸旋轉(zhuǎn)加工5圈，到達(dá)終點(diǎn)(0，30，10)的圓錐形螺旋線(xiàn)，其仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 繞Y軸圓錐形螺旋線(xiàn)加工仿真

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)差分插補(bǔ)原理的分析，將平面直線(xiàn)插補(bǔ)擴(kuò)展到空間多維線(xiàn)性插補(bǔ)，拓展了差分插補(bǔ)原理的應(yīng)用范圍，實(shí)現(xiàn)了平面圓錐曲線(xiàn)與多維線(xiàn)性插補(bǔ)方法的統(tǒng)一，為后期開(kāi)發(fā)基于差分插補(bǔ)原理的多軸數(shù)控雕刻機(jī)控制系統(tǒng)奠定了良好的基礎(chǔ)。

[1] 李彥奎,呂彥明. 時(shí)間分割圓弧插補(bǔ)算法的改進(jìn)[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù), 2017(1):16-18.

[2] 王永章. 機(jī)床的數(shù)字控制技術(shù)[M]. 哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社, 2015.

[3] 李瓏. 發(fā)展經(jīng)濟(jì)型數(shù)控系統(tǒng)的必要性探究[J]. 經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊, 2017(6):175-176.

[4] 王敏.差分插補(bǔ)方法及其在數(shù)控線(xiàn)切割機(jī)中的應(yīng)用(一)[J].電加工,1981(4):16-22.

[5] 趙慶志. 基于可重構(gòu)理論的慢走絲線(xiàn)切割機(jī)床控制系統(tǒng)研究與設(shè)計(jì)[D].南京:南京航空航天大學(xué), 2005.

[6] 趙慶志,譚培紅,高振華. 拋物線(xiàn)ISO代碼譯成差分插補(bǔ)代碼及其實(shí)現(xiàn)[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與制造,2006(5): 57-59.

[7] 劉肖,趙慶志,于光偉,等. 雙曲線(xiàn)ISO代碼譯成差分插補(bǔ)代碼及程序的實(shí)現(xiàn)[J]. 山東理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,24(2):82-86.

[8] 王宜龍,趙慶志,王海濤. 橢圓ISO代碼譯成差分插補(bǔ)代碼及其程序的實(shí)現(xiàn)[J]. 機(jī)床與液壓,2009,37(9): 54-55,118.

[9] 單東日. 基于二次代數(shù)樣條差分插補(bǔ)的平面參數(shù)曲線(xiàn)數(shù)控加工[J]. 制造技術(shù)與機(jī)床, 2009(2):95-98.

[10] 單東日,王濤. 圓錐樣條合成矢量插補(bǔ)及C機(jī)能刀補(bǔ)[J]. 機(jī)械科學(xué)與技術(shù), 2010, 29(1):68-71.

[11] 王濤. 圓錐樣條合成矢量插補(bǔ)及C機(jī)能刀補(bǔ)[D]. 濟(jì)南:山東輕工業(yè)學(xué)院, 2010.

[12] 吳黎明. 數(shù)字控制技術(shù)[M].北京:科學(xué)出版社, 2009.

[13] 赫恩,巴克,卡里瑟斯. 計(jì)算機(jī)圖形學(xué)[M]. 蔡士杰,楊若瑜,譯. 北京:電子工業(yè)出版社, 2014.

[14] 韓式國(guó),趙軍,陳曉曉,等. 數(shù)控編程技術(shù)及其典型應(yīng)用研究[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù),2012(3):100-103.

(編輯李秀敏)

MultidimensionalLinearInterpolationandSimulationBasedonDifferenceInterpolationTheory

WANG Hong-jia,ZHAO Qing-zhi,QIAO Lei,YANG Zhao-bin ,WU Jun-jie

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255000, China)

In order to realize multidimensional linear interpolation of NC system with differential interpolation theory, the theory of differential interpolation is further studied by researching on plane linear interpolation. The key points to realize the multidimensional linear interpolation based on the difference interpolation theory are found from the determination of the feed of the basic axis and the non basic axis in the differential interpolation theory. Multidimensional linear interpolation with differential interpolation theory is realized by the determination of multidimensional linear interpolation process and its differential code. The interpolation method is simple and feasible, and it is easy to realize multi axis control. Further more, it can meet the requirements of space multidimensional NC machining by the analysis of spatial linear interpolation case and interpolation simulation of tool path.

differential interpolation; multidimensional linear interpolation; simulation of path

TH162；TG659

：A

1001-2265(2017)09-0012-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.09.004

2017-05-11

山東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(ZR2016EL13)

王宏甲(1988—)，男，山東濰坊人，山東理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)與裝備，(E-mail)whj1988928@163.com；通訊作者：趙慶志(1962—)，男，山東日照人，山東理工大學(xué)教授，博士，研究方向?yàn)閿?shù)控技術(shù)與裝備、機(jī)電一體化技術(shù)，(E-mail)zhaoqzme@163.com。