林佩珠，劉家明，江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系，廣東 廣州 510303)

恒定電流密繞橢球形線圈磁場(chǎng)的空間分布

林佩珠，劉家明，江俊勤

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系，廣東 廣州 510303)

從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，推導(dǎo)出密繞在旋轉(zhuǎn)橢球面上載流線圈磁場(chǎng)的積分計(jì)算式. 利用Mathematica-10先對(duì)方位角φ積分并將結(jié)果表達(dá)為第一類和第二類完全橢圓積分的線性組合, 進(jìn)而繪制出形象直觀、高精確度的磁場(chǎng)三維分布圖. 數(shù)值結(jié)果直觀地表明:橢球內(nèi)部全空間的磁場(chǎng)是均勻的，磁感應(yīng)強(qiáng)度處處大小相等、方向相同；當(dāng)nI值一定時(shí)，長(zhǎng)軸與短軸的比值b/a越大, 橢球內(nèi)磁場(chǎng)越強(qiáng).

磁場(chǎng)；線圈；空間分布;橢圓積分；Mathematica-10

勻強(qiáng)磁場(chǎng)在物理學(xué)的理論分析和實(shí)驗(yàn)儀器中都起著重要的作用，如何有效地產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)一直是人們關(guān)心的問(wèn)題[1-7].亥姆霍茲線圈和共軸三線圈的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單[1-4]，但磁場(chǎng)的均勻性較差；有限長(zhǎng)恒定電流圓柱形螺線管磁場(chǎng)的均勻性有了較大改善，但在比較接近端口處均勻性仍然不好[5]. R.P.費(fèi)恩曼在其物理學(xué)講義[6]中提及在旋轉(zhuǎn)橢球面上沿著軸線方向均勻纏繞線圈可以在其內(nèi)部產(chǎn)生均勻磁場(chǎng),但由于數(shù)學(xué)的復(fù)雜性，至今未見有文獻(xiàn)全面準(zhǔn)確地分析該磁場(chǎng)的空間分布，例如文獻(xiàn)[7]雖然進(jìn)行過(guò)研究，但只限于討論球形線圈(并非文獻(xiàn)[5]所述的一般旋轉(zhuǎn)橢球形線圈)，其結(jié)果表達(dá)式已經(jīng)十分復(fù)雜而且是近似的、未能繪制出磁場(chǎng)的空間分布圖.

本文將文獻(xiàn)[8]提出的研究帶電圓環(huán)片電場(chǎng)空間分布的方法推廣應(yīng)用于研究載流橢球形線圈磁場(chǎng)的空間分布. 從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，利用Mathematic10的符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算能力及繪圖功能，先把對(duì)方位角的積分表達(dá)為第一類和第二類完全橢圓積分，然后用數(shù)值分析的方法全面、高精度地研究密繞在旋轉(zhuǎn)橢球面上載流線圈磁場(chǎng)的空間分布，包括:在橢球內(nèi)空間的磁場(chǎng)是否處處均勻，橢球內(nèi)空間的磁感應(yīng)強(qiáng)度與橢球幾何形狀的關(guān)系．

1 橢球形密繞線圈磁場(chǎng)的積分計(jì)算式

線圈纏繞在旋轉(zhuǎn)橢球面上，沿著z軸單位長(zhǎng)度的匝數(shù)為n，橢球面方程為

(1)

圖1 橢球形線圈

由于具有軸對(duì)稱性，只需研究xoz平面上任一點(diǎn)P(x,0,z)的磁場(chǎng)分布，即xoz平面上磁場(chǎng)的分布代表了任何過(guò)z軸平面上的磁場(chǎng)分布情況.

在柱坐標(biāo)系中，電流元Idl′的位矢可寫為

r=ρcosφi+ρsinφj+z′k，

φ為方位角，0≤φ≤2π，觀測(cè)點(diǎn)P(x,0,z)相對(duì)于電流元Idl′的位矢R和距離R分別為

R=(xi+zk)-r=(x-ρcosφ)i-ρsinφj+(z-z′)k,

而

dl′=(-ρsinφi+ρcosφj)dφ，

所以

[ρcos φ(z-z′)i+ρsin φ(z-z′)j+

把R和dl′×R代入畢奧-薩伐爾定律，z′～z′+dz′內(nèi)包含的匝數(shù)為dN=ndz′，先對(duì)φ積分得

(2)

式中

(3)

(4)

(5)

(6)

式(2)顯示，xoz平面內(nèi)的磁場(chǎng)沒有y分量，這是因?yàn)?/p>

由式(2)～(6)得到的是位于z′～z′+dz′內(nèi)ndz′匝圓形線圈所產(chǎn)生的磁場(chǎng)，再對(duì)z′積分就得到載流橢球形線圈產(chǎn)生的總磁場(chǎng)

通過(guò)監(jiān)測(cè)分析石化企業(yè)中一臺(tái)驅(qū)動(dòng)離心壓縮機(jī)組的汽輪機(jī)，設(shè)計(jì)工作轉(zhuǎn)速6 500r/min，一階臨界轉(zhuǎn)速：4 020r/min，二階臨界轉(zhuǎn)速：8 150r/min，多塊可傾滑動(dòng)軸瓦，迷宮密封，入口蒸汽壓力：3.8MPa，出口蒸汽壓力：0.008MPa，振動(dòng)報(bào)警值—峰峰值38μm，振動(dòng)停機(jī)值-峰峰值65μm。

(7)

(8)

(5)～(8)可以確定空間任一點(diǎn)的磁場(chǎng).

2 橢圓積分、數(shù)值分析、磁場(chǎng)的空間分布

磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算式(7)～(8)是十分復(fù)雜的二重積分，無(wú)法做解析計(jì)算. 本文使用Mathematica進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和繪圖，用直觀形象的方式研究磁場(chǎng)的空間分布，但是如果直接使用二重?cái)?shù)值積分，因其計(jì)算量過(guò)于龐大而難以進(jìn)行. 經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：可以把式(5)和式(6)的2個(gè)積分α和β表達(dá)為第一類和第二類完全橢圓積分(對(duì)z′才使用數(shù)值積分):

(9)

(10)

用人工方法把α和β化為橢圓積分，其過(guò)程將十分繁瑣，故使用Mathematica-10進(jìn)行計(jì)算，可得：

(11)

(12)

式中EllipticK(ξ)和EllipticE(ξ)為式(9)和式(10)所定義的第一類和第二類完全橢圓積分.

1)當(dāng)b=2a時(shí)，B的分布如圖2所示,|Bz|的分布如圖3所示.

圖2 當(dāng)b=2a時(shí)B的分布圖

圖3 當(dāng)b=2a時(shí)|Bz|的分布圖

圖4 當(dāng)b=1.5a時(shí)B的分布圖

圖5 當(dāng)b=1.5a時(shí)|Bz|的分布圖

3)當(dāng)b=a時(shí)，B的分布如圖6所示,|Bz|的分布如圖7所示.

圖6 當(dāng)b=a時(shí)B的分布圖

圖7 當(dāng)b=a時(shí)|Bz|的分布圖

3 結(jié) 論

從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，推導(dǎo)了密繞在旋轉(zhuǎn)橢球面上載流線圈磁場(chǎng)的積分計(jì)算式. 利用Mathematica-10符號(hào)運(yùn)算和數(shù)值計(jì)算能力及數(shù)字繪圖功能，先把對(duì)方位角的積分結(jié)果表達(dá)為第一類和第二類完全橢圓積分的線性組合,進(jìn)而繪制了磁場(chǎng)的三維分布圖，直觀呈現(xiàn)了磁場(chǎng)的性質(zhì).

1) 橢球內(nèi)部全空間的磁場(chǎng)是均勻的. 圖2～7中，橢球內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度處處大小相等;橢球內(nèi)部B的分布與|Bz|的分布完全相同，這說(shuō)明橢球內(nèi)部的磁場(chǎng)全部來(lái)自z分量的貢獻(xiàn)，即磁場(chǎng)方向全部為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸方向.

2) 當(dāng)nI一定時(shí)，長(zhǎng)軸與短軸的比值b/a越大, 橢球內(nèi)磁場(chǎng)越強(qiáng). 詳細(xì)的數(shù)值結(jié)果為:

a.當(dāng)b=2a時(shí)，

(13)

b.當(dāng)b=1.5a時(shí)，

(14)

c.當(dāng)b=a時(shí)，

(15)

由此可見,長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球形線圈優(yōu)于球形線圈，它不但在制作上易于纏繞，而且在相同的nI值情況下長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)橢球形線圈的磁場(chǎng)大于球形線圈和扁旋轉(zhuǎn)橢球形線圈的磁場(chǎng).

[1] 王森，羅成． 亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)的均勻性分析[J]． 大學(xué)物理，1998,17(3)：17-20.

[2] 曾曉英. 亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)的均勻性分析及誤差估

算[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2000，20(5)：38-39.

[3] 江俊勤. 亥姆霍茲線圈磁場(chǎng)均勻性的研究[J]． 廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào),2006,26(5)：61-66.

[4] 陳俊斌,朱霞,張甫治. 用等均勻性曲面研究共軸三線圈磁場(chǎng)的均勻性[J]． 大學(xué)物理，2007，26(3)：18-21.

[5] 江俊勤. 基于Mathematica的數(shù)字化物理學(xué)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2015:78-104.

[6] 費(fèi)恩曼R P，萊登R B，桑茲M. 費(fèi)恩曼物理學(xué)講義(第2卷)[M]． 李洪芳，王子輔，鐘萬(wàn)蘅,譯. 上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2013:397.

[7] 于鳳軍． 球形線圈磁場(chǎng)均勻性的研究[J]． 大學(xué)物理，2012，31(6)：13-16.

[8] 江俊勤. 帶電薄圓環(huán)片電場(chǎng)的空間分布[J]． 安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，39(4)：434-436.

[9] 郭玉川，庹晏斌，文小輝，等. 改進(jìn)型赫姆霍茲線圈磁場(chǎng)均勻性及實(shí)用性分析[J]. 物理實(shí)驗(yàn)，2015，35(11):42-46.

[責(zé)任編輯：尹冬梅]

Magneticfieldofsteadycurrenttightlywoundellipsoidalcoil

LIN Pei-zhu, LIU Jia-ming, JIANG Jun-qin

(Department of Physics and Information Engineering, Guangdong University of Education, Guangzhou 510303, China)

Based on the Biot-Savart law, an integral expression of the magnetic field induced by steady current tightly wound ellipsoidal coil was derived. Using the Mathematica-10, an integral result for the azimuth angle was expressed as the linear combination of the first and the second kinds of complete elliptic integral, and then three-dimensional maps of the distribution of the magnetic field were plotted. The results showed：1) Inside the ellipsoidal coil, the magnetic field was uniform; 2) The bigger the ratio of the long axis and the short axis, the stronger was the magnetic field.

magnetic field; coil; spatial distribution; elliptic integral; Mathematica-10

2016-10-31

廣東省高等學(xué)校物理專業(yè)綜合改革試點(diǎn)項(xiàng)目(No.XM060012物理學(xué)9010-15281)

林佩珠(1968-)，女，廣東揭陽(yáng)人，廣東第二師范學(xué)院物理系實(shí)驗(yàn)師，學(xué)士，主要從事大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)與研究工作.

O441

：A

：1005-4642(2017)09-0012-04