屈 帥，王藝蓉，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

音叉受迫振動(dòng)的干涉測(cè)量

屈 帥，王藝蓉，白在橋

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

通過(guò)干涉測(cè)量法得到音叉振動(dòng)的幅頻特性曲線，同時(shí)測(cè)量位移振幅和速度振幅. 實(shí)驗(yàn)中使用高品質(zhì)因子音叉，激勵(lì)信號(hào)的電壓也降到了mV量級(jí)，既可以讓音叉經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間消除暫態(tài)過(guò)程，又可以減緩音叉由于長(zhǎng)時(shí)間激勵(lì)所帶來(lái)的升溫現(xiàn)象. 使用干涉測(cè)量法測(cè)量音叉受迫振動(dòng)振幅，并給出2種數(shù)據(jù)處理方式. 該方法具有驅(qū)動(dòng)功率小，測(cè)量精度高，直接測(cè)量位移量，同時(shí)測(cè)量?jī)煞矫嫘盘?hào)的優(yōu)點(diǎn).

音叉；高品質(zhì)因子；幅頻特性；小波分析；邁克耳孫干涉法

音叉是典型的振動(dòng)系統(tǒng)，其二臂對(duì)稱、振動(dòng)相反，而中心桿處于振動(dòng)的節(jié)點(diǎn)位置，凈受力為零而不振動(dòng)，其固有頻率可因其質(zhì)量和音叉臂長(zhǎng)短、粗細(xì)而不同. 音叉廣泛應(yīng)用于多個(gè)行業(yè)，如用于生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的“純音”、鑒別耳聾的性質(zhì)、用于檢測(cè)液位的傳感器、用于檢測(cè)液體密度的傳感器以及計(jì)時(shí)器等[1].

通過(guò)線圈法測(cè)量音叉所得到的幅頻特性曲線反映的是音叉速度振幅的大小，不能得到音叉位移振幅的大小. 由于音叉是鐵制的，存在磁滯現(xiàn)象，并且接收線圈難以避免收到感應(yīng)自激發(fā)線圈的信號(hào). 在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，即使固定音叉，接收線圈仍然能夠收到信號(hào),且距離越近，感生信號(hào)越強(qiáng).

通過(guò)麥克風(fēng)法測(cè)量音叉幅頻特性曲線(圖1)反映的是音叉位移振幅的大小. 由于選用的是電容式麥克風(fēng)，還可以避免接收到互感信號(hào). 但由于音叉發(fā)聲過(guò)小，容易受到環(huán)境噪聲干擾，還會(huì)接收到環(huán)境噪聲. 作者通過(guò)LabVIEW編程濾去環(huán)境噪聲，結(jié)果還是不太理想，而且會(huì)有階梯狀的部分.

文獻(xiàn)[2]中使用接收線圈和壓電換能片同時(shí)測(cè)量音叉振動(dòng)時(shí)的速度振幅和位移振幅，討論“速度共振”與“位移共振”的相同與不同之處. 作者借鑒了文獻(xiàn)中同時(shí)測(cè)量速度振幅與位移振幅的思想，通過(guò)邁克耳孫干涉裝置來(lái)測(cè)量音叉速度振幅與位移振幅，并繪制相應(yīng)的幅頻特性曲線. 測(cè)量結(jié)果真實(shí)反映音叉位移振幅，精度可以達(dá)到μm量級(jí).

圖1 麥克風(fēng)法測(cè)量音叉位移振幅

1 實(shí)驗(yàn)原理與實(shí)驗(yàn)裝置

本實(shí)驗(yàn)借助于高品質(zhì)因數(shù)音叉研究受迫振動(dòng)及共振現(xiàn)象，用帶鐵芯的電磁線圈產(chǎn)生不同頻率的電磁力，作為驅(qū)動(dòng)力. 搭建邁克耳孫干涉儀光路，通過(guò)激光干涉法測(cè)量位移振幅[3]. 將1面遠(yuǎn)小于音叉質(zhì)量的鍍銀反射鏡固定在音叉臂上，音叉臂端的位移會(huì)帶來(lái)干涉光路光程差的改變. 從而投射到光敏傳感器的干涉條紋會(huì)有吞吐，并反映到示波器上. 該實(shí)驗(yàn)具有不直接接觸音叉、測(cè)量靈敏度高、避免電磁線圈互感等特點(diǎn).

1.1高品質(zhì)因子音叉

品質(zhì)因數(shù)Q反映系統(tǒng)阻尼振動(dòng)的性質(zhì)，是無(wú)量綱的量.

Q<0.5時(shí)，系統(tǒng)為過(guò)阻尼系統(tǒng)，阻尼振蕩時(shí)振幅隨時(shí)間呈指數(shù)衰減，并不發(fā)生周期性振蕩.

Q=0.5時(shí)，系統(tǒng)為臨界阻尼系統(tǒng)，阻尼振蕩時(shí)不發(fā)生周期性振蕩.

Q>0.5時(shí)，系統(tǒng)為小阻尼系統(tǒng)，阻尼振蕩時(shí)會(huì)發(fā)生周期性振蕩.

記錄阻尼振蕩中二倍電壓有效值的峰值隨時(shí)間的變化關(guān)系，如圖2所示，并采用指數(shù)擬合.

圖2 阻尼振蕩

1.2電磁激勵(lì)

將電磁線圈放置于鋁制音叉臂的下方，并靠近音叉臂，如圖3(a)所示. 對(duì)驅(qū)動(dòng)線圈施加交變電流，產(chǎn)生交變磁場(chǎng)，進(jìn)而產(chǎn)生交變的驅(qū)動(dòng)力.

(a)音叉與激勵(lì)線圈 (b)信號(hào)發(fā)生器 圖3 音叉、激勵(lì)線圈與信號(hào)發(fā)生器

交變信號(hào)通過(guò)信號(hào)發(fā)生器給出，無(wú)需使用功率放大器，信號(hào)發(fā)生器的輸出同步信號(hào)用于觸發(fā)示波器. 為減少鏡面的偏轉(zhuǎn)，減小驅(qū)動(dòng)力的力矩，將激勵(lì)線圈放置在靠近音叉固定端的位置.

1.3受迫振動(dòng)

阻力與速度的一次方成正比的規(guī)律僅適用于速度量級(jí)為10-2m/s的極緩慢運(yùn)動(dòng)，一般情況下阻力與速率平方成正比的規(guī)律較符合實(shí)際情況[4]. 為了求得解析解反映振動(dòng)的一般特征，假設(shè)音叉所受的阻力大小與速率成正比，若F表示阻力大小，m為振子質(zhì)量，可將阻力寫(xiě)成

(1)

在(1)式中δ是與阻力相關(guān)的比例系數(shù)，其值取決于運(yùn)動(dòng)物體的形狀、大小和周圍介質(zhì)的性質(zhì).

振子受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

當(dāng)阻尼較小時(shí)，(2)式的解為

(3)

(3)式最終會(huì)趨于圖4中的極限環(huán)，該極限環(huán)是橢圓形的，長(zhǎng)軸和短軸分別為Aω和A. (3)式第一項(xiàng)為暫態(tài)項(xiàng)，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后這一項(xiàng)將消失. 第二項(xiàng)是穩(wěn)定項(xiàng)，在振子振動(dòng)一段時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定后，其振動(dòng)式即成為

x=Acos (ωt+φ) ，

(4)

達(dá)到圖4中的極限環(huán).

圖4 受迫振動(dòng)相圖

1.4實(shí)驗(yàn)裝置

干涉光路主要由λ=632.8 nm的氦氖激光器、5∶5分束鏡、音叉與反射鏡、反射鏡、光強(qiáng)傳感器組成，如圖5所示.

(a)干涉裝置

(b)鏡子固定在音叉臂上圖5 干涉裝置

激光從激光器出發(fā)，經(jīng)過(guò)分束鏡，一束經(jīng)過(guò)音叉上的反射鏡反射，另一束經(jīng)過(guò)反射鏡反射，再經(jīng)過(guò)分束鏡，在光敏傳感器中心形成干涉圓環(huán).

隨著音叉的振動(dòng)，音叉上反射鏡的位置發(fā)生變化，干涉光路的光程差也會(huì)發(fā)生變化.

由于光程差的變化，光敏傳感器得到的干涉圓環(huán)就會(huì)有吞吐現(xiàn)象.

光強(qiáng)傳感器將圓環(huán)中心的光強(qiáng)值轉(zhuǎn)化為電壓值，反映到示波器上就會(huì)得到如圖6(b)的曲線，縱軸為光強(qiáng)傳感器反饋的電壓值.

(a)干涉模擬

(b)波形圖圖6 干涉圓環(huán)及吞吐現(xiàn)象的波形

(5)

本實(shí)驗(yàn)中吞吐條紋個(gè)數(shù)峰值為567個(gè)，位移振幅的峰值約為0.09 mm，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于音叉的臂長(zhǎng)，故可以將臂端的振動(dòng)視為平動(dòng).

音叉的速度振幅為Aω，激光波長(zhǎng)為λ，波包內(nèi)周期最短部分的周期為T(mén)，則：

(6)

本實(shí)驗(yàn)中所有測(cè)量頻率對(duì)應(yīng)的波包內(nèi)最短周期為2.81 μs，速度振幅的峰值約為0.1 m/s. 此時(shí)解析解已經(jīng)不再嚴(yán)格，但仍能反映出該振動(dòng)的一些共同特征.

2 實(shí)驗(yàn)方法與數(shù)據(jù)分析

可以從示波器上直接讀出波包中簡(jiǎn)諧波的周期，盡量選取如圖6(b)中t=0附近的波形圖，在這部分的簡(jiǎn)諧波周期已經(jīng)趨于穩(wěn)定.

從示波器上數(shù)波包內(nèi)簡(jiǎn)諧波的周期個(gè)數(shù)，進(jìn)行傅里葉變換后得到常數(shù)項(xiàng)，并從信號(hào)中減去. 記錄簡(jiǎn)諧波與x軸相交點(diǎn)的個(gè)數(shù)n，周期個(gè)數(shù)N為

(7)

這種方法可操作性強(qiáng)，但實(shí)用性不高. 本實(shí)驗(yàn)中，位移振幅峰值附近的周期個(gè)數(shù)已經(jīng)達(dá)到500個(gè)左右，計(jì)數(shù)困難，再加上環(huán)境噪聲，零點(diǎn)附近有時(shí)會(huì)存在高頻信號(hào)，這也給計(jì)數(shù)帶來(lái)了困難.

本文采用一種實(shí)用性強(qiáng)、精度高的數(shù)據(jù)處理方法. 將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)離線處理，導(dǎo)入到Matlab，通過(guò)Wavemenu工具箱進(jìn)行小波分析(圖7)，小波函數(shù)選擇4階Daubechies，去除4層噪聲.

輸入信號(hào)為s，輸出信號(hào)為a4，di為分離出來(lái)的隨機(jī)噪聲，則：

s=a4+d4+d3+d2+d1.

(8)

通過(guò)信號(hào)a4計(jì)算出波包內(nèi)簡(jiǎn)諧波的半周期，方法也是從信號(hào)中減去傅里葉變換得到的常數(shù)項(xiàng)，記錄簡(jiǎn)諧波與x軸相交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，根據(jù)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間值，差分后得到半周期,如圖8所示.

圖7 Wavemenu工具箱

圖8 波包內(nèi)簡(jiǎn)諧波的半周期

從圖8可以明顯看出，半周期在編號(hào)40～80的范圍內(nèi)趨于穩(wěn)定且時(shí)間最短，在此區(qū)間內(nèi)求平均得到半周期.

通過(guò)周期的倒數(shù)繪制速度幅頻特性曲線，縱軸為速度振幅相對(duì)值，如圖9所示.

圖9 速度幅頻特性曲線

與此同時(shí)，通過(guò)波包內(nèi)簡(jiǎn)諧波與x軸相交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，也就是圖8中2個(gè)峰的編號(hào)差，還可以得到位移幅頻特性曲線，縱軸為位移振幅相對(duì)值，如圖10所示.

音叉的位移振幅平方可以表示為

(9)

(12)式符合洛倫茲擬合的形式，擬合結(jié)果較好，但峰值下部仍存在“不對(duì)稱”的現(xiàn)象.

圖10 位移幅頻特性曲線

3 總結(jié)和討論

通過(guò)邁克耳孫干涉裝置可以同時(shí)測(cè)量速度振幅和位移振幅，位移振幅測(cè)量分度值可達(dá)μm，速度振幅通過(guò)波包內(nèi)最短的簡(jiǎn)諧波周期的倒數(shù)間接測(cè)量，簡(jiǎn)諧波周期分度值可達(dá)ns. 由于測(cè)量精度高，實(shí)驗(yàn)中可以將音叉振動(dòng)控制在μm量級(jí).

該實(shí)驗(yàn)中對(duì)音叉的激勵(lì)信號(hào)的電壓也降到了mV量級(jí). 電壓的降低可以有效減緩伴隨音叉長(zhǎng)時(shí)間振動(dòng)所帶來(lái)的升溫現(xiàn)象. 音叉的品質(zhì)因子Q對(duì)溫度十分敏感，如不能有效地控制溫度不變，(1)式中的δ就不再是常數(shù). 本次實(shí)驗(yàn)中使用的音叉品質(zhì)因子較高，需要較長(zhǎng)時(shí)間才能消除暫態(tài)過(guò)程. 通過(guò)邁克耳孫干涉裝置測(cè)量音叉較微小的振動(dòng)，有效地解決了這個(gè)問(wèn)題.

在測(cè)量上也是直接對(duì)位移量進(jìn)行測(cè)量，并可以計(jì)算出音叉臂端振動(dòng)的速度值. 線圈法和麥克風(fēng)法采用的都是間接測(cè)量的方式，不能真正測(cè)量到速度振幅和位移振幅. 這就帶來(lái)了許多關(guān)于“速度振幅”與“位移振幅”的討論，文獻(xiàn)[2]中認(rèn)為線圈法測(cè)量的是速度振幅，傳感器法(如麥克風(fēng)、壓電換能片)測(cè)量的是位移振幅.

將位移幅頻特性曲線和速度幅頻特性曲線繪制到圖11上，通過(guò)圖11可以更全面地討論“速度共振”與“位移共振”的現(xiàn)象. 進(jìn)而分析其中的非線性因素.

圖11 速度幅頻與位移幅頻

[1] 張洪,曹常芳,皮厚禮. 音叉共振式液體密度測(cè)量實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)[J]. 物理實(shí)驗(yàn),2016,36(12):16-18.

[2] 倪敏,薛珍美. 音叉的速度共振與位移共振曲線的測(cè)量和研究[J]. 實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2010,29(2):71-74.

[3] 徐勛義,張祖豪,劉子健,等. 基于邁克耳孫干涉的金屬絲楊氏模量測(cè)量[J]. 物理實(shí)驗(yàn),2016,36(9):19-22.

[4] 盧圣治. 理論力學(xué)基本教程[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2009:42.

[5] 沙振舜. 當(dāng)代物理實(shí)驗(yàn)手冊(cè)[M]. 南京:南京大學(xué)出版社,2012.

[6] 王大輝,趙學(xué)慶,張永生,等. 光學(xué)系統(tǒng)受迫振動(dòng)的激光測(cè)量法[J]. 強(qiáng)激光與粒子束,2012,24(9):2017-2021.

[7] 李鎮(zhèn)業(yè),李培哲,周怡然,等. 大口徑分光計(jì)中棱鏡色散光譜線彎曲的測(cè)定[J]. 物理實(shí)驗(yàn),2016,36(5):29-33.

[責(zé)任編輯：郭 偉]

Interferometryoftheforcedvibrationofatuningfork

QU Shuai, WANG Yi-rong, BAI Zai-qiao

(Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

The amplitude-frequency characteristic of the forced vibration of a tuning fork was obtained by Michelson interfering, and the displacement amplitude and velocity were measured. A high quality factor tuning fork was used in the experiment. The voltage of the excitation signal fell into millivolt level. The excitation signal, could not only eliminate the transient process, but also slow down the warming up of the tuning fork in the long incentive period. The amplitude of the tuning fork was measured using Michelson interference method, and two data processing methods were given. The advantages of this method were low driving power, high accuracy, measuring the displacement directly, and measuring two parameters at the same time.

tuning fork; high quality factor; amplitude-frequency characteristic; wavelet analysis; Michelson interference method

2017-05-02；修改日期：2017-06-11

屈 帥(1997-)，男，河南鄭州人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系勵(lì)耘實(shí)驗(yàn)班2015級(jí)本科生.

指導(dǎo)教師：白在橋(1971-)，男，重慶人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系副教授，博士，從事理論物理方面的研究工作.

O422.5

：A

：1005-4642(2017)09-0044-05