呂 娜 侯東昌 孫玉周

(中原工學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 鄭州 450007)

基于高階Cauchy-Born準(zhǔn)則的平面應(yīng)變梯度結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)理論研究★

呂 娜 侯東昌 孫玉周

(中原工學(xué)院建筑工程學(xué)院，河南 鄭州 450007)

應(yīng)用高階Cauchy-Born準(zhǔn)則，通過(guò)建立新舊坐標(biāo)系下平面矢量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，推導(dǎo)新坐標(biāo)系下應(yīng)變梯度的關(guān)系式，為應(yīng)變梯度傳感器的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)，為結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)提供了新方法。

結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)，光纖光柵傳感器，應(yīng)變梯度，高階Cauchy-Born準(zhǔn)則

0 引言

近年來(lái)，隨著我國(guó)土木工程的繁榮發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)問(wèn)題成為一項(xiàng)越來(lái)越重要的研究。智能結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)技術(shù)將先進(jìn)傳感技術(shù)與被測(cè)結(jié)構(gòu)本身特性相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)服役狀態(tài)、損傷程度的監(jiān)測(cè)以及對(duì)損傷位置的判定[1]。在用于監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)健康的傳感器領(lǐng)域中，光纖光柵傳感器發(fā)展迅速，廣泛應(yīng)用于土木工程結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中。目前，光纖光柵已經(jīng)用來(lái)做成位移、應(yīng)變、溫度傳感器，并且已相當(dāng)成熟，而光纖光柵應(yīng)變梯度傳感器還處于探索階段，雖然有人提出應(yīng)變梯度傳感器，但現(xiàn)在還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)關(guān)于光纖光柵應(yīng)變梯度傳感器得以實(shí)際應(yīng)用的報(bào)道。

光纖光柵傳感器質(zhì)量輕、體積小，具有性能穩(wěn)定、多參數(shù)測(cè)量、分布測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)，光纖光柵傳感器的無(wú)電磁干擾、可測(cè)量多種信號(hào)、易于分布埋入結(jié)構(gòu)和構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)等特性，使其成為能夠用于長(zhǎng)期結(jié)構(gòu)監(jiān)測(cè)的理想傳感元件[1]。這為開(kāi)發(fā)新型傳感器提供了可能。

大量疲勞試驗(yàn)表明，結(jié)構(gòu)在其使用期限內(nèi)70%的損傷始于初始裂紋。伴隨著裂紋擴(kuò)展，結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度與剛度也將不斷劣化，最終導(dǎo)致突發(fā)性災(zāi)難事故。線彈性材料裂紋尖端的應(yīng)變場(chǎng)具有r-1/2奇異性，應(yīng)變梯度相對(duì)于應(yīng)變其變化更加劇烈，具有更高階的奇異性r-3/2[3]。相比傳統(tǒng)的應(yīng)變損傷識(shí)別，應(yīng)變梯度的監(jiān)測(cè)具有更加敏感、更早捕捉損傷的優(yōu)勢(shì)。

近年來(lái)，很多研究人員開(kāi)始運(yùn)用各種原理，注重于開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)新型應(yīng)變梯度傳感器，并關(guān)注存在于大量生物材料、高分子材料以及晶體材料中的撓曲電效應(yīng)[4,5]，目前已開(kāi)發(fā)出幾種可測(cè)量應(yīng)變梯度的傳感器，如鈦酸鍶鋇(BST)應(yīng)變梯度傳感器[6,7]，應(yīng)變梯度測(cè)量方面的研究還未見(jiàn)報(bào)道。若要將光纖光柵應(yīng)變梯度傳感器用于工程實(shí)際中，還需要解決一些問(wèn)題，如已知該狀態(tài)下的應(yīng)變梯度，如何確定任意方向的應(yīng)變梯度，最大應(yīng)變梯度該如何確定等問(wèn)題。本文應(yīng)用高階Cauchy-Born準(zhǔn)則，通過(guò)建立新舊坐標(biāo)系下平面矢量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，推導(dǎo)新坐標(biāo)系下應(yīng)變梯度的表達(dá)式，為應(yīng)變梯度傳感器的使用提供理論基礎(chǔ)。

1 Cauchy-Born準(zhǔn)則

在結(jié)構(gòu)變形中建立坐標(biāo)系如圖1所示，X=(X，Y)表示原始參考構(gòu)形，x=(x，y)表示當(dāng)前構(gòu)形。結(jié)構(gòu)從平面到曲面的變形映射由x=x(X)定義，其一階和二階變形梯度為：

(1)

其中，i=1，2；J，K=1，2。

將一階變形梯度F進(jìn)行展開(kāi)，形式如下：

(2)

將二階變形梯度G進(jìn)行展開(kāi)，形式如下:

(3)

在經(jīng)典Cauchy-Born準(zhǔn)則中，變形前的矢量R和變形后的矢量r可通過(guò)一階變形梯度F表示為[8]:

r=F·R

(4)

原始參考構(gòu)形中矢量R的起點(diǎn)為X，變形后當(dāng)前構(gòu)形中的矢量r可以準(zhǔn)確表示為：

r=x(X+R)-x(X)

(5)

對(duì)x(X+R)做關(guān)于X的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，可得:

(6)

將式(6)代入式(5)，保留二階項(xiàng)可得:

(7)

式(7)即為高階Cauchy-Born準(zhǔn)則下變形后的矢量近似表達(dá)式[10]。相對(duì)于經(jīng)典Cauchy-Born準(zhǔn)則，這里增加了一個(gè)基于二階變形梯度的修正項(xiàng)。如果要提高近似解的精度，還可以附加更多的高階項(xiàng)。

對(duì)彎曲或扭轉(zhuǎn)的研究表明，桿件的最大應(yīng)力往往發(fā)生于構(gòu)件表層，由于構(gòu)件表面一般為自由表面，即有一主應(yīng)力等于零，因而從構(gòu)件表層取出的微分單元體單元就接近二向應(yīng)力狀態(tài)。所以在工程監(jiān)測(cè)中選擇在構(gòu)件表面測(cè)量與二向應(yīng)力成比例的二向應(yīng)變具有理論與埋設(shè)難易程度的實(shí)際意義。本文提出的應(yīng)變梯度傳感器可粘貼在構(gòu)件表面工作，因而應(yīng)變梯度的分析可以視為平面問(wèn)題處理，可將光纖光柵看做方向矢量進(jìn)行研究。

2 應(yīng)變與應(yīng)變梯度

在平面坐標(biāo)系Oxy中，方向矢量R(X,Y)經(jīng)變形成為r(x,y)。由應(yīng)變的定義可知[11]：

(8)

(9)

(10)

將式(8)～式(10)代入一階應(yīng)變梯度表達(dá)式(2)，可得:

本文研究基于的數(shù)據(jù)是1996—2017年，2018年的中美貿(mào)易戰(zhàn)對(duì)中國(guó)石油安全也帶來(lái)了影響，后期筆者將做進(jìn)一步的研究。

(11)

(12)

(13)

(14)

將式(11)～式(14)代入經(jīng)典Cauchy-Born準(zhǔn)則表達(dá)式(4)，展開(kāi)寫成分量形式為:

x=(1+εX)X+θXYY

(15)

y=θYXX+(1+εY)Y

(16)

將式(11)～式(14)代入高階Cauchy-Born準(zhǔn)則表達(dá)式(7)，展開(kāi)寫成分量形式為:

(17)

(18)

在坐標(biāo)系OXY中，方向矢量R(X,Y)變形后方向?yàn)槭噶縭(x,y)，長(zhǎng)度由|R|變?yōu)閨r|，與X軸正方向夾角為α，則有:

X=|R|cosα,Y=|R|sinα

(19)

假設(shè)將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)α角(逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?，得到新坐標(biāo)系Oxy(見(jiàn)圖2)，方向矢量R(X,Y)變形后為r(x,y)，長(zhǎng)度仍然由|R|變化為|r|，則有:

X|α=|R|,Y|α=0

(20)

將式(19)代入式(15)，式(16)得:

x=(1+εX)|R|cosα+θXY|R|sinα

(21)

y=θYX|R|cosα+(1+εY)|R|sinα

(22)

將式(20)代入式(15)，式(16)得:

x|α=(1+εX|α)·|R|,y|α=θYX|α·|R|

(23)

新舊坐標(biāo)系下矢量坐標(biāo)變換關(guān)系為:

x|α=xcosα+ysinα

(24)

y|α=-xsinα+ycosα

(25)

εX|α=εXcos2α+εYsin2α+γXYsinαcosα

(26)

式(26)即為平面應(yīng)變狀態(tài)下任意方向線應(yīng)變表達(dá)式。

將式(19)代入式(17)，式(18)得:

(27)

(28)

將式(20)代入式(17)，式(18)得:

(29)

(30)

將式(27)～式(30)代入式(24)，化簡(jiǎn)得:

(31)

式(31)減去式(26)，化簡(jiǎn)得:

G111|α=G111cos3α+G222sin3α+
(G122+2G212)cosαsin2α+(G211+2G112)cos2αsinα

(32)

由式(32)可以計(jì)算分析α方向上的應(yīng)變梯度，在平面上任意一點(diǎn)，通過(guò)6個(gè)應(yīng)變梯度和角度關(guān)系即可表示出來(lái)該變形狀態(tài)下任意方向的應(yīng)變梯度。

當(dāng)不考慮高階梯度，應(yīng)用經(jīng)典Cauchy-Born準(zhǔn)則，結(jié)論退化為平面應(yīng)變狀態(tài)下任意方向線應(yīng)變表達(dá)式，這驗(yàn)證了式(32)推導(dǎo)結(jié)果的正確性。

由于應(yīng)變梯度是最敏感的測(cè)量對(duì)象，通過(guò)對(duì)式(32)的應(yīng)用，應(yīng)變梯度的有效量測(cè)為掌控結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中裂縫的發(fā)生與生長(zhǎng)情況提供了新途徑。

3 結(jié)語(yǔ)

本文應(yīng)用高階Cauchy-Born準(zhǔn)則，通過(guò)代入新舊坐標(biāo)系下平面位移矢量的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式，推導(dǎo)出了新坐標(biāo)系下應(yīng)變梯度的表達(dá)式，即任意方向上的應(yīng)變梯度可通過(guò)該變形狀態(tài)下的6個(gè)應(yīng)變梯度和角度來(lái)表示。該理論為使用應(yīng)變梯度理論制作光纖光柵應(yīng)變梯度傳感器進(jìn)行結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

為了更好地分析預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)損傷，下一步我們將深入分析最大應(yīng)變梯度該如何確定。

[1] 付興權(quán),干鵬飛.光纖健康監(jiān)測(cè)技術(shù)在橋梁結(jié)構(gòu)中的發(fā)展與應(yīng)用[J].山西建筑,2015，41(26):166-167.

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Planestraingradientanalysisbasedonhigher-orderCauchy-Bornrule★

LvNaHouDongchangSunYuzhou

(SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou450007,China)

In this paper, by using the high-order Cauchy-Born rule and the coordinate transformation formula of plane vector in the new and old coordinate systems, the expression of strain gradient in the new coordinate system is derived, which provides a theoretical basis for the application of strain gradient sensors.

structure health monitoring， sensor, strain gradient, higher-order Cauchy-Born rule

TU196

：A

1009-6825(2017)24-0030-03

2017-06-15 ★ ：國(guó)家自然科學(xué)基金(11472316)；河南省科技創(chuàng)新人才項(xiàng)目(164200510020)

呂 娜(1991- )，女，在讀碩士； 侯東昌(1991- )，男，在讀碩士； 孫玉周(1974- )，男，博士，教授