張 丹，劉春生，李德根

瑞利隨機分布下滾筒截割載荷重構算法與數(shù)值模擬

張 丹1，劉春生1，李德根2

(1.黑龍江科技大學 機械工程學院，黑龍江 哈爾濱 150023; 2.黑龍江科技大學 學術理論研究部，黑龍江 哈爾濱 150023)

為了獲得滾筒截割載荷特性曲線，對截齒與滾筒的受力進行了分析研究，得到了截齒軸向阻力與滾筒截割載荷的數(shù)值關系，運用自制的多截齒旋轉截割煤巖實驗設備，進行了截齒截割煤巖實驗，得到了截齒三向力曲線，建立了滾筒截割載荷隨機載荷曲線重構模型，給出了載荷重構算法，利用測試數(shù)據(jù)對滾筒截割載荷進行了數(shù)值模擬，得到了滾筒截割載荷重構載荷譜。研究結果表明：實驗條件下煤巖崩落周期約為0.04 s，滾筒截割載荷數(shù)值上大于滾筒上各截齒同一時刻各截割阻力之和;滾筒截割載荷與參與截割的截齒截割阻力峰值、隨機分布狀態(tài)、截齒位置角、煤巖崩落周期及各截齒作用位置有關;所提算法與修正離散正則化算法比較，計算速度提高了約70倍，少樣本數(shù)據(jù)下，該算法精度優(yōu)于修正離散正則化算法，但重構數(shù)據(jù)只在重構點處具有真實性;使用改進的FFT算法進行重構曲線數(shù)值擬合，與FFT算法相比，計算量減小為原來的1/16，計算速度提高了約27倍，擬合優(yōu)度相同，均為0.94，擬合曲線在總體趨勢上比較平滑，呈現(xiàn)月牙形，與截割厚度變化規(guī)律一致，波形特征比較容易辨識，特征值便于判斷和提取。研究結果為截齒三向力與滾筒截割載荷的關聯(lián)提供依據(jù)，同時為滾筒截割載荷重構及數(shù)值擬合提供高效便捷的算法。

采煤機;滾筒載荷重構;數(shù)值模擬;瑞利隨機理論;截割實驗

采煤機滾筒承擔著截煤、裝煤、噴霧降塵等工作，功率消耗占裝機功率80%以上，其載荷特性對整機的工作性能有重要影響。因此，對滾筒載荷的研究一直是采煤機設計領域的熱點課題。由于煤巖本身特性及井下工況的特殊性，滾筒截割載荷特性十分復雜，且實際工作中滾筒截割阻力作用點在實時變化，所以很難直接測得滾筒截割載荷，但截齒三向力可以通過多種手段獲得，如實驗法、計算機模擬法等，實驗法更接近真實工況，獲得的載荷信息更接近真實載荷。李曉豁先后研究了連續(xù)采煤機截齒隨機載荷的數(shù)學模型和掘進機截割硬巖的載荷，并對截割硬巖的載荷進行了模擬研究[1-2];趙麗娟研究了含硫化鐵結核薄煤層采煤機工作機構載荷問題，并基于經(jīng)濟截割相關理論，進行了采煤機運動學參數(shù)的優(yōu)化研究[3-4];劉春生進行了單齒截割試驗，建立了截割阻力數(shù)學模型，后又對鎬型截齒截割阻力譜的分形特征進行了研究，并于2014年采用修正離散正則化算法，對實驗獲得的截齒截割煤巖載荷曲線進行了重構與推演[5-7]。上述研究中，前兩者的研究均以理論研究及計算機仿真研究為手段，缺乏有效的實驗載荷進行驗證，后者的研究以實驗曲線上各點為原始數(shù)據(jù)，其計算精度與選取的數(shù)據(jù)點個數(shù)密切相關，因此，若要獲得較高的計算精度，勢必導致計算量較大，運算緩慢。

筆者通過對截齒及滾筒載荷進行受力分析，深入了滾筒截割載荷與截齒軸向載荷的數(shù)學關系，基于瑞利隨機理論，提出多截齒滾筒隨機載荷曲線的重構思想及重構算法，以截齒軸向載荷實驗曲線為依據(jù)，通過載荷作用時間及作用幅值的疊加，即可得到滾筒截割載荷重構曲線。繼而采用改進的FFT算法進行數(shù)值仿真即可得到滾筒重構載荷擬合曲線。研究結果為截齒三向力與滾筒截割載荷的關聯(lián)提供依據(jù)，同時為滾筒截割載荷重構提供高效便捷的算法，為采煤機整機及零部件結構設計提供依據(jù)。

1 滾筒受力分析

滾筒上的截齒按照一定次序依次截割煤巖，第i個截齒所產(chǎn)生的截割阻力矩為

式中，Dc為滾筒直徑,mm;Zi(t)為第i個截齒的截割阻力,N。

滾筒上n個截齒產(chǎn)生的截割阻力矩之和為

滾筒截割阻力矩MG等于滾筒截割載荷與截割載荷作用點到滾筒中心徑向距離L之積，假設截割載荷作用點與滾筒半徑之間存在如下關系：L=KlDc(Kl為截齒作用點位置系數(shù))，則有

式中，F(xiàn)Z(t)為滾筒截割載荷,N。

式中，Kli為第i個截齒作用點位置系數(shù)。

由于滾筒截割載荷作用點到轉動中心的距離與滾筒直徑比值呈現(xiàn)三角函數(shù)變化規(guī)律，即L在實時變化，因此Kli也在不斷變化，但其值小于1，可見滾筒截割載荷數(shù)值上大于滾筒上各個截齒同一時刻截割阻力之和。

2 截割實驗

2.1 載荷測試曲線

利用項目組自主研發(fā)的旋轉截割煤巖實驗設備，設置滾筒轉速為40.8 r/min，進行截割角度為35°時的截齒三向力測試實驗，其結構與測試原理可參照文獻[7]。在截齒上建立空間坐標系，將截齒載荷分解為圖1所示3個方向：沿截齒軸向為軸向阻力Y(t)，平行于滾筒軸線且垂直于截齒軸向(垂直于所示平面)的為徑向阻力X(t)，在該平面內(nèi)垂直于截齒軸向的載荷為側向阻力X′(t)。由于實驗臺結構及測試條件的限制，測試三向力的傳感器位于截齒齒身底部，使用軸向阻力進行后續(xù)載荷重構更具實用性。軸向阻力測試誤差主要包括傳感器標定誤差、系統(tǒng)采集誤差、齒身彈性變形引起的誤差等，其中，傳感器標定誤差是誤差主要來源，實驗用傳感器靜態(tài)精度為1%～2% FS，初步估算軸向阻力測試誤差小于5%。

圖1 截齒受力示意Fig.1 Pick force diagram

設截割阻力與軸向阻力間夾角為β1，則由圖1可知，截割阻力與軸向阻力、徑向阻力具有如下函數(shù)關系：

大量研究表明，滾筒實際工作中，軸向阻力與徑向阻力具有相同變化規(guī)律[8]，假設截齒軸向阻力與徑向阻力具有如下關系：

式中，Ky為徑向力系數(shù)。

聯(lián)立式(3),(4)，截割阻力與軸向阻力之間有

實驗取樣時間為10 s，滾筒約旋轉7周，得到截齒軸向阻力實驗曲線如圖2所示。由圖2可知，截齒上軸向阻力在宏觀上呈周期性變化，滾筒轉動第1圈時，截齒剛剛接觸煤巖，不存在大塊煤崩落過程，伴隨小塊煤剝落，載荷波動頻繁，但載荷值及波動值均較小，隨截齒逐漸楔入煤巖，截割厚度逐漸增大，截齒上軸向阻力譜各峰值隨截割厚度的增大而增大;當截割厚度達到最大值時，此時阻力譜同時達到峰值，當旋轉截割實驗臺減速進給，截齒截割厚度逐漸減小，截齒破碎煤巖載荷也隨之逐漸減小，最后1圈，截齒逐漸與煤巖分離。

圖2 截齒軸向阻力測試曲線Fig.2 Test curve of axial resistance of pick

利用上述圖2所示實驗曲線，便可使用截齒軸向阻力表示滾筒截割載荷。整理式(2)，(5)，得到滾筒截割載荷與截齒軸向阻力之間存在如下關系：

2.2 載荷測試信號的提取

單截齒阻力曲線并不能準確描述滾筒載荷特性，由于截齒排列具有一定的規(guī)律性，根據(jù)截齒排列特點及每一個截齒在滾筒上的位置，可以用實驗截齒載荷曲線中所包含的截齒阻力譜信息，描述滾筒上其他截齒的載荷信息[9-10]。提取圖2所示截齒最大截割厚度處的截齒軸向阻力曲線，并重新定義截割時間，將測試時間由0 s開始計數(shù)，得到截齒單周軸向阻力如圖3所示。

圖3 截齒軸向阻力時間歷程Fig.3 Timing chart of axial load of pick

截齒截割煤巖過程實質(zhì)上是煤巖受到作用力不斷從煤壁崩落的過程，因此，描述截齒載荷的有效信息，實際上是煤巖崩落始末時刻截齒的受力信息[11-12]。據(jù)此，以截割厚度最大處曲線作為原始數(shù)據(jù)，濾掉載荷高頻信號，提取載荷峰值與谷值，可知，滾筒旋轉一周過程中，截齒載荷出現(xiàn)17次波動，每一次峰值與谷值的形成，伴隨一次煤巖的崩落過程。實驗條件下，煤巖崩落周期約為0.04 s。

3 載荷時域重構模型

3.1 截齒等效截割阻力

通過上述實驗方法獲得的截齒軸向阻力曲線，由于含有一定的噪聲干擾信號，曲線不平滑，因此需要對軸向阻力曲線進行等效處理，剔出曲線中的噪聲信號并進行平滑化處理[13]，之后利用式(6)得到等效截割阻力譜。

(1)阻力譜等效模型

設z(u)為鎬型截齒截割破碎煤巖等效阻力譜，f(u)為其理論阻力譜，依據(jù)B樣條曲線逼近算法，提出阻力譜等效基本思想，有下述等式：

z(u)=f(u)

設Ni,p(u)是B樣條曲線基函數(shù)，定義域為樣條曲線節(jié)點矢量U，其數(shù)值為

z(u)為p次B樣條曲線，有[14]

式中，Pi為曲線的控制頂點。

(2)基于B樣條曲線的等效算法

采煤機截齒軸向阻力譜可用二維密集掃描點進行描述，將測試數(shù)據(jù)進行等距重采樣處理，得到較為光滑的數(shù)據(jù)點，計算單周軸向阻力譜節(jié)點處曲率值，并從大到小依次排列，曲率值較大的節(jié)點可以選作后續(xù)的型值點;對型值點進行參數(shù)化處理，確定節(jié)點處矢量值，對控制頂點進行反算，對型值點插值，得到型值點初始曲線;計算初始曲線與原始數(shù)據(jù)點的偏差值，若偏差不符合要求，需增加型值點，對插值曲線進行局部優(yōu)化，直至偏差值符合要求。

(3)曲線型值點的選定及其節(jié)點矢量的計算

采用近似法求解曲率半徑可以有效減少計算量，因此，可取任意一點di及其左右相鄰兩點di-1,di+1，由該3點構成一個圓弧，可將該點的曲率半徑近似看作該圓弧的半徑，設di到di+1矢量為A，di到di-1矢量為B，曲率半徑數(shù)值可表示[15]為

式中，k=1,2,…,14。

(4)控制頂點的反算和逼近偏差的計算

3.2 截齒截割阻力自關聯(lián)模型

由于煤巖的非均質(zhì)性，截齒三向阻力均具有很強的隨機性，但滾筒上各截齒所受阻力存在一定的關聯(lián)性[16]。假設初始接觸煤巖的截齒，其截割阻力為Z1(t)，第2個接觸煤巖的截齒，其截割阻力為Z2(t)，從第1齒截割煤巖到第2齒截割煤巖，其截割時間相隔為Δt，用Si表示截齒載荷隨機函數(shù)，則有

Z2(t)=Z1(t+Δt,Si)

同理，有

Z3(t)=Z2(t+Δt,Si)=Z1(t+2Δt,Si)

假設t時刻，滾筒上第i個齒到第i+1個齒，其截割時間相隔為Δt，若第i個齒的截割載荷為Zi(t)，則同一時刻任一截齒截割阻力滿足

式中，Tg為滾筒轉動周期,s;n為截齒個數(shù)。

4 基于瑞利分布的載荷重構算法

滾筒真實載荷與滾筒自身結構密切相關，根據(jù)獲得的實驗曲線，截齒三向阻力具有一定隨機性，根據(jù)實驗阻力曲線，可確定滾筒在某一位置的瞬時截割載荷，選擇截齒位于不同位置的實驗點分別進行計算，便可重構滾筒旋轉一周的截割載荷曲線。

4.1 截齒截割厚度

滾筒確定后，截齒的工作載荷主要取決于截割厚度，其最大值hmax取決于采煤機牽引速度、螺旋滾筒轉速及截線上的截齒數(shù)，其值[17]可表示為

式中，vq為牽引速度,m/min;n為滾筒轉速,r/min;m為截線上的截齒數(shù)。

截齒處于不同位置時，截割厚度不同。當截齒旋轉至與滾筒軸線相齊的水平位置時，截齒具有最大截割厚度[18-19]。對任意截齒，其截割厚度hi為

式中，φi為第i個截齒的位置角,(°);φ為滾筒轉動位置角,(°);Δφ為相鄰截齒周間夾角,(°)。

4.2 瑞利隨機分布

使用Matlab假設檢驗進行判別，實驗曲線符合瑞利分布，文獻[16]也有相同結論。瑞利分布中連續(xù)隨機變量ξ的概率密度[20-21]為

瑞利分布的均值

瑞利分布方差

如果ξ為[0，1]區(qū)間均勻分布的隨機數(shù)列，令

整理瑞利分布隨機數(shù)η，而

4.3 基于瑞利分布的滾筒截割載荷重構

截割過程中，伴隨大塊煤崩落，同時參與破煤的截齒，其截割阻力具有一定的隨機性，其值與大塊煤崩落周期有如下關系

式中，t為截齒截割時間,s;Ti為第i個截齒截煤過程中大塊煤崩落周期,s;R(i)為瑞麗分布隨機數(shù),其值為0～1,i=0,1,…,n0,反映了同一時刻不同截齒所處的截割阻力狀態(tài);n0為同時參與截割的截齒數(shù)。

將式(8)代入式(5)，滾筒截割載荷可表示為

煤巖破碎過程中伴隨小塊煤至大塊煤崩落的重復性行為。同樣截割厚度下，大塊煤巖崩落時，截割阻力達到最大值，假設實驗煤巖與真實煤巖具有相同截割阻抗A，則實驗截齒與滾筒上第i齒的最大截割阻力分別為

式(9),(12),(13)代入式(10)整理有

該式即為基于瑞利隨機理論的滾筒截割載荷重構表達式，可見，滾筒截割載荷與參與截割的截齒截割阻力峰值、隨機分布狀態(tài)、截齒位置角及煤巖崩落周期有關，也與各截齒作用位置有關。

5 載荷重構算法的數(shù)值模擬

5.1 載荷時域重構

以鎬型截齒楔入角為β=35°的截齒破碎煤巖實驗載荷曲線為處理對象，其等距采樣時間為ΔT=0.02，N=36，取[δ]=0.1，設偏差許可值為[δ]，如果有δj>[δ]，則將Dj點作為新增型值點。對B樣條曲線進行優(yōu)化，直至所有點滿足δi≤[δ]，求得的控制頂點如圖4所示，實驗軸向載荷曲線的等效截割阻力如圖5所示。

圖4 截齒截割阻力B樣條曲線控制點Fig.4 Cutting resistance B-spline curve control points

圖5 截齒等效截割阻力曲線Fig.5 Equivalent cutting resistance curve of pick

滾筒上截齒按一定次序截割煤巖，截齒排列對滾筒截割載荷有一定影響。滾筒上截齒包括端盤截齒和葉片截齒，假設端盤截齒受力大小與葉片截齒受力大小近似呈一定比例關系，且課題重點探索載荷變化的規(guī)律，因此可按照測試間接獲得的截割阻力推算端盤截齒受力大小，忽略載荷峰值特征對載荷特性的影響。圖6為某采煤機滾筒葉片截齒排列圖，滾筒上共20個截齒，截線距為70 mm，螺旋升角20°。易知，同時有10個截齒進行截割煤巖，假設1號截齒即將退出截割，11號截齒即將進入截割，則第1～10號截齒正在截割煤巖，各截齒截割厚度不同，假設截割阻力大小與截割厚度近似呈線性關系，則可根據(jù)滾筒不同位置上各截齒的截割厚度，結合實驗測試數(shù)據(jù)推算各截齒的截割阻力。

圖6 某采煤機滾筒葉片截齒排列Fig.6 Arrangement of cutting blade of shearer drum

表11～10號截齒的截割厚度
Table1Nos.1-10picksthickness

序號2，103，94，85，761截齒位置角/(°)18365472900截割厚度/mm46488212141427150

根據(jù)測得的實驗曲線，大塊煤崩落周期T0≈0.04s。利用本文重構算法，按時間軸等距原則，選取實驗曲線中的數(shù)據(jù)，對滾筒截割載荷進行重構，得到計算點處的重構數(shù)據(jù)，如圖7所示，重構曲線可通過分段函數(shù)進行描述。

圖7 滾筒載荷重構曲線Fig.7 Roller load reconstruction curve

使用上述算法與文獻[7]使用的修正離散正則化算法對比情況見表2。以實驗測試數(shù)據(jù)為例，從計算速度來看，由于修正離散正則化算法需要對修正穩(wěn)定平穩(wěn)泛函方程進行求解，而本文算法只需進行各截齒同一時刻截割力幅值的疊加，因此，本算法計算量大大減少，以21個數(shù)據(jù)點為例，其計算速度提高了約70倍，明顯優(yōu)于修正離散正則化算法。需要指出的是，當數(shù)據(jù)點較少時，文中算法能獲得較好的計算精度。而當數(shù)據(jù)點大于21時，修正離散正則化算法具有更高的計算精度。

表2與修正離散正則化算法對比
Table2Comparisonwithmodifieddiscreteregularizationalgorithm

參 數(shù)修正離散正則化算法15212631本文算法15212631計算速度/ms72012001920312016171718計算精度/%7789919891929494

5.2 基于改進FFT算法的曲線擬合

當m=n時，fj=Sm(xj)，則

由于滾筒重構曲線中重構點之間為等分點且

eijx=cos(jx)+isin(jx)

函數(shù)族{1,eix,…,ei(N-1)x}在函數(shù)周期內(nèi)正交，將eijxk組成的向量記作

能夠證明，φ0,φ1,…,φN-1是正交的[23]。因此，f(x)在N個離散點上的最小二乘傅里葉逼近為

當N=23時，將k,j用二進制表示[24]為

k=k222+k121+k020=(k2k1k0)

j=j222+j121+j020=(j2j1j0)

則有

cj=c(j2j1j0),xk=x(k2k1k0)

上式可表示為

?(k2k1k0)(j222+j121+j020)=

引入記號

式(16)可寫為

c(j2j1j0)=A3(j2j1j0)

同理，式(17)中第2行可寫為

將上式還原為十進制表示：

k=(0k1k0)=k121+k020，即k=0,1,2,3，得

同樣，式(17)中第3行、第4行進行簡化并還原為十進制，有

根據(jù)式(18)～(20)，由A0(k)=x(k)=xk，逐次計算即可得到cj[25]。

將式(20)推廣到N=2p，則有

式中，q=1,…,p;k=0,1,…,2p-q-1;j=0,1,…,2q-1-1。

采用改進后的FFT算法與原算法對比情況見表3。改進后的FFT算法，其計算量僅為原算法的1/16，計算時間由461.9 ms減為17.4 ms，計算速度比原算法約提高了27倍，但擬合優(yōu)度一致，數(shù)據(jù)點越多，這種算法的優(yōu)勢越明顯。

利用上述算法對滾筒載荷重構曲線進行擬合，得到圖8所示結果。

重構擬合曲線表達式為

表3與原算法對比結果
Table3Comparisonwiththeoriginalalgorithm

類別計算量/次計算時間/ms擬合優(yōu)度FFT算法65536462094改進FFT算法409617094

圖8 滾筒載荷的傅里葉函數(shù)擬合Fig.8 Fourier function fitting of roller load

式中，ω為滾筒轉動角速度,rsd/s。

其系數(shù)如下：

可以利用該曲線進行滾筒的結構設計，同時為采煤機整機的結構設計提供依據(jù)。

6 結 論

(1)進行了滾筒截割煤巖實驗，截齒上軸向截割阻力在宏觀上呈周期性變化，小塊煤剝落過程中載荷波動頻繁，但載荷值及波動值均較小，穩(wěn)定截割階段，截齒上軸向阻力峰值隨截割厚度的增大而增大，實驗條件下，煤巖崩落周期約為0.04 s。

(2)滾筒截割載荷數(shù)值上大于滾筒上各個截齒同一時刻截割阻力之和，瑞利隨機分布下的滾筒重構載荷有效反映了滾筒截割載荷與參與截割的截齒截割阻力峰值、隨機分布狀態(tài)、截齒位置角、煤巖崩落周期及各截齒作用位置之間的關系。

(3)以截齒最大截割厚度處的測試載荷為依據(jù)，對滾筒載荷進行了重構，對比研究了本重構算法與修正離散正則化算法在計算速度及精度上的差別，本算法在數(shù)據(jù)點較少時，重構曲線仍能夠達到較好的精度，只有當數(shù)據(jù)點大于30時，修正離散正則化算法才能達到0.9以上的精度。重構載荷曲線可通過分段函數(shù)描述，但重構曲線上的載荷數(shù)據(jù)，只在重構點處具有一致性。

(4)使用改進的FFT算法進行了重構載荷曲線擬合，改進后的FFT算法，計算量減小為原來的1/16，計算速度提高了約27倍，計算精度一致。曲線擬合優(yōu)度達0.94，擬合曲線宏觀趨勢比較平滑，波形特征比較容易辨識，其特征值便于判斷和提取，重構截割載荷曲線在總體趨勢上，呈現(xiàn)月牙形，與截割厚度變化規(guī)律一致。

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ReconstructionalgorithmanditsnumericalsimulationfordrumloadbasedonRayleighstochastictheory

ZHANG Dan1，LIU Chunsheng1，LI Degen2

(1.SchoolofMechanicalEngineeringHeilongjiangUniversityofScienceandTechnology,Harbin150023,China; 2.DepartmentofAcademicResearch,HeilongjiangUniversityofScienceandTechnology，Harbin150023,China)

In order to obtain the drum cutting load characteristic curve,the relationship between the axial resistance of picks and cutting load of drum was obtained by analyzing the force of pick and drum.The experiment was carried out that the coal was cut with multiple picks rotation cutting by using self-made laboratory equipment.And the picks force curve was obtained,the drum random load spectrum reconstruction model was established and the load reconstruction algorithm was presented.The drum cutting load was simulated by using the test data and the load spectrum of drum cutting load was obtained.The results show that the coal caving cycle is about 0.04 s under the experimental conditions,and the drum cutting resistance is greater than the one of the picks at the same moment.The drum cutting resistance is related to the picks resistance peak,random distribution,pick position angle,coal caving cycles and cutter tooth position.Compared with the modified discrete regularization algorithm,the computational speed is improved by about 70 times,and the accuracy of the algorithm is better than that of the modified discrete regularization algorithm under less sample data.However,the reconstructed data only have the authenticity at the reconstruction point.Improved FFT algorithm that the amount of calculation is reduced to the 1/16 of original and the calculation speed is increased by about 27 times with the same accuracy.The fitting curve is smooth in the overall trend,showing crescent shape,consistent with the cutting thickness variation,the fitting goodness is 0.94,the waveform characteristic is easy to identify,and the eigenvalue is easy to judge and extract.The results provide the basis for the correlation of the three-direction force and the drum cutting load,and provide an efficient and convenient algorithm for the drum cutting load reconstruction.

shearer;load reconstruction;numerical simulation;Rayleigh stochastic theory;cutting experiment

10.13225/j.cnki.jccs.2016.1726

TD421.6

:A

:0253-9993(2017)08-2164-09

黑龍江省自然科學基金資助項目(QC2015053);哈爾濱科技局創(chuàng)新人才基金資助項目(2015RAQXJ017);國家自然科學基金資助項目(51674106)

張 丹(1982—)，女，黑龍江雙城人，副教授，博士。E-mail:bishe_2006@163.com

張丹，劉春生，李德根.瑞利隨機分布下滾筒截割載荷重構算法與數(shù)值模擬[J].煤炭學報,2017,42(8):2164-2172.

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