余勝軍(保定市教育科學(xué)研究所 河北 保定 201000)(收稿日期：2017-08-09)

2017年高考全國理綜卷Ⅰ第21題的解析和思考

余勝軍
(保定市教育科學(xué)研究所 河北 保定 201000)
(收稿日期：2017-08-09)

2017年高考全國理綜卷Ⅰ第21題，考查常規(guī)的三力動(dòng)態(tài)平衡問題，但是在用常規(guī)的正交分解法或者矢量三角形方法解決此題時(shí)，卻會(huì)遇到較大的麻煩.用多種方法解答了此題，并對解題方法進(jìn)行歸納總結(jié).

三力平衡 正交分解 矢量法則

1 試題及其情境分析

圖1 題圖

( )

A．MN上的張力逐漸增大

B．MN上的張力先增大后減小

C．OM上的張力逐漸增大

D．OM上的張力先增大后減小

本題是一個(gè)常規(guī)的三力動(dòng)態(tài)平衡問題，常用的方法是正交分解法，即以物體為研究對象，建立直角坐標(biāo)系，把3個(gè)力沿兩個(gè)坐標(biāo)軸進(jìn)行分解，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)平衡原理列出兩個(gè)坐標(biāo)軸上的平衡方程，根據(jù)角度的變化判斷力的變化.其次是用矢量三角形方法，3個(gè)力平衡，通過平移后，3個(gè)力的矢量線段將組成首尾銜接的三角形，根據(jù)三角形的邊、角變化來判斷力的變化.

但是筆者分別用兩種解題方法進(jìn)行解答，發(fā)現(xiàn)如下問題：

(1)用正交分解法解答本題時(shí)，首先是確立變量角度的問題，在動(dòng)態(tài)變化的受力分析圖中，找到合適的變量角度不容易.其次是平衡方程的建立，找到角度的幾何關(guān)系是關(guān)鍵.最后是根據(jù)數(shù)學(xué)三角函數(shù)的各種變化推導(dǎo)，這對三角函數(shù)及其變換有很高的要求，且用時(shí)較長，高考答題過程中考生很難平心靜氣地逐步解答此題.因?yàn)樾詢r(jià)比太低，遠(yuǎn)超6分的題目應(yīng)該消耗的時(shí)間.

(2)用矢量三角形方法解答本題時(shí)，作出某時(shí)刻的矢量三角形很容易，但是要找到連續(xù)變化的矢量三角形之間的關(guān)系卻不容易，關(guān)鍵是不能迅速找到三角形中變量和不變量的關(guān)系，或者是找不到畫連續(xù)變化三角形的參考線或輔助線.

接下來，筆者將用兩種方法解答此題并進(jìn)行詳細(xì)的闡述.

2 正交分解法解題

解法1：建立常規(guī)的水平豎直方向的直角坐標(biāo)系

以重物為研究對象，轉(zhuǎn)過較小角度和較大角度時(shí)受力情況如圖2(a)、(b)所示.

(1)

豎直方向上

(2)

圖2 解法1受力分析圖

水平方向上

TOMsinθ=TMNsin(α-θ)

(3)

豎直方向上

TOMcosθ=mg-TMNcos(α-θ)

(4)

式(3)除以式(4)得

整理得到

再利用三角函數(shù)的兩角和差公式進(jìn)一步整理

即

(5)

代入式(3)得到

(6)

由題設(shè)條件和式(5)、(6)知道，mg和α是不變量，隨著θ角增大，TMN一直增加，所以MN的張力一直增大；當(dāng)α-θ等于90°時(shí)TOM達(dá)到最大值，所以O(shè)M上的張力先增大后減小.正確答案為A和D.

對圖2(b)所示，根據(jù)平衡有：水平方向上

TOMsinθ=TMNsin(α-θ)

豎直方向上

TOMcosθ+TMNcos(α-θ)=mg

由此可見，上面兩個(gè)表達(dá)式跟式(3)、(4)一樣，也就是說轉(zhuǎn)過的角度大小不影響平衡方程的最終表達(dá)，圖2(a)、(b)結(jié)論歸一.

綜合觀察上面的解法，顯而易見，如此解答，耗時(shí)耗力，不經(jīng)濟(jì)！我們都知道，建立直角坐標(biāo)系時(shí)坐標(biāo)軸方向的選擇是任意的，以分解力的數(shù)量少和簡化解題過程為原則.那么本題建立坐標(biāo)系能不能選別的方向呢？請看下面解答.

解法2：選擇另外兩個(gè)力為坐標(biāo)系的其中一軸(估計(jì)想到此法的考生不多)

如圖3(a)所示，選擇OM的方向?yàn)閥軸，垂直O(jiān)M方向?yàn)閤軸，如此選取坐標(biāo)軸的意義在于：在x軸上平衡，只有TMN和mg兩個(gè)力的分力，不涉及第三個(gè)力，直接找到變量關(guān)系.由幾何關(guān)系直接得到

(7)

如圖3(b)所示，選擇MN的方向?yàn)閤軸，垂直MN方向?yàn)閥軸，如此選取坐標(biāo)軸的意義在于：在y軸上平衡，只有TOM和mg兩個(gè)力的分力，不涉及第三個(gè)力，直接找到變量關(guān)系.由幾何關(guān)系直接得到

(8)

整理式(7)、(8)，同樣得到式(5)、(6).

圖3 解法2換方向建立坐標(biāo)軸

由此可見，靈活選取坐標(biāo)軸的方向建立坐標(biāo)系，有時(shí)候是能夠簡化分析過程和推導(dǎo)過程的.

3 矢量法解題

矢量法解題，就是利用力的示意圖或圖示，直接根據(jù)平行四邊形或者三角形圖形及其幾何關(guān)系直觀得出結(jié)論的方法.

解法3：矢量三角形

以重物為研究對象，緩慢拉起，重物處于平衡狀態(tài).受力分析后平移FOM和FMN得到矢量三角形如圖4所示，由三角形正弦定理得

(9)

圖4 矢量三角形法分析圖

由題設(shè)條件知道θ=π-α，α是定值，重力大小方向不變，所以這是一個(gè)定值等比式.緩慢拉起的過程中γ先減小到90°，再繼續(xù)減小，β一直增大，所以FOM先增大后減小，F(xiàn)MN一直增大.

用此方法解題的難點(diǎn)之一便是確定θ是定值，作圖時(shí)有些必要輔助線能幫助我們迅速找到關(guān)系.另外一個(gè)難點(diǎn)是根據(jù)物理情確定三角形角度的變化情況.

解法4：利用參考圓解題

由解法3知道，重力矢量長短及方向不變，矢量三角形中重力所對的角度在緩慢抬起的過程中不變，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知道，可以把重力矢量看成某圓的一條固定弦，另外兩個(gè)力的首尾銜接點(diǎn)在該圓周上，根據(jù)圓周角定理知道，重力所對圓周角不變，跟解法3的結(jié)論完全一致.畫出典型的矢量三角形圖像如圖5所示，當(dāng)MN水平時(shí)，OM恰好過圓心，此時(shí)FOM矢量達(dá)到最大值，所以FOM先增大后減小，F(xiàn)MN矢量所對圓周角逐漸增大，所以其大小逐漸增大.

圖5 用參考圓解題分析圖

解法5：利用等效思想解題

在緩慢抬起MN的過程中，MN與OM的夾角不變，兩繩子張力的合力G大小和方向均不變，為了使得作圖方便，看起來直觀，可以用合力G順時(shí)針偏轉(zhuǎn)來等效替代繩子的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).這樣，G矢量一端的軌跡構(gòu)成參考圓，半徑為G，如圖6所示.把初始狀態(tài)的MN平行向外平移，與圓周相切于Q點(diǎn).

圖6 利用等效思想解題分析圖

由圖可知TOM矢量端點(diǎn)由A到B，達(dá)到最大值，然后依次下降到C,D,E，所以TOM先增大后減小.而TMN端點(diǎn)依次向外為A1,B1,C1,D1,E1，逐漸增大.

解法4的難點(diǎn)是想到參考圓，解法5的難點(diǎn)是想到等效替代的思想和畫出參考圓，并找到直徑OM(解法4)和切線QB(解法5)這個(gè)臨界條件.

4 解題反思與啟示

以上是筆者想到的5種解法、兩種思路.其中解法1和解法2為比較常規(guī)的方法，從物理規(guī)律入手，當(dāng)然推算過程稍顯復(fù)雜；解法3、解法4和解法5，思考起點(diǎn)雖是物理受力分析和平衡規(guī)律，但解題入手點(diǎn)和思維方法卻更偏重于幾何知識(shí)，典型的應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題，是數(shù)學(xué)物理方法，其難點(diǎn)在于能否根據(jù)物理情景迅速抽象出幾何模型，并在幾何模型中找到變量關(guān)系.很顯然，前兩種解法很規(guī)矩，后面3種解法更直觀簡便，但是解答難度相差無幾，能用什么方法關(guān)鍵在于考生自己的能力結(jié)構(gòu)，和本題考查的知識(shí)結(jié)構(gòu)相關(guān)度不大.

如何形成優(yōu)良的能力結(jié)構(gòu)？筆者想，除了扎實(shí)的物理基本功底之外，還在于學(xué)生有足夠多實(shí)踐機(jī)會(huì)，在關(guān)鍵時(shí)候得到恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，絕不是教師喋喋不休，代審題、代解題等包辦代替的教學(xué)活動(dòng)能夠形成的.所以設(shè)置合適的物理情境，采用一題多解、多題歸一的教學(xué)活動(dòng)，給予學(xué)生思考、動(dòng)手動(dòng)腦的機(jī)會(huì)，實(shí)戰(zhàn)中一定會(huì)形成學(xué)生優(yōu)良的能力結(jié)構(gòu).而且學(xué)生對數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)該會(huì)比教師更熟悉，欠缺的只是跟物理模型的結(jié)合訓(xùn)練而已，一旦學(xué)生掌握用某種數(shù)學(xué)工具解決物理問題，一定會(huì)比教師解決得更快.