蔣金團(施甸縣第一中學 云南 保山 678200)

牛云景(昆明市西山區(qū)第一中學 云南 昆明 650106)

一道經(jīng)典光學高考題的3種解法和教學啟示

蔣金團
(施甸縣第一中學 云南 保山 678200)

牛云景
(昆明市西山區(qū)第一中學 云南 昆明 650106)

對2011年高考新課標卷第34題進行了另解，并根據(jù)費馬原理對該題進行了賞析.

一題多解 幾何光學 正弦定理 反射定律 費馬原理

2011年高考新課標卷第34題是一道區(qū)分度很好的高考題，命題者設(shè)計時對各種層次的學生都有所照顧.筆者曾兩次在月考中使用過該題，從考試成績的統(tǒng)計情況來看，這是一道不容易得零分也不容易得滿分的好題.值得細細品味.

1 原題賞析

圖1 題圖

一半圓柱形透明物體橫截面如圖1所示，地面AOB鍍銀，O表示半圓截面的圓心，一束光線在橫截面內(nèi)從M點入射，經(jīng)過AB面反射后從N點射出.已知光線在M點的入射角為30°，∠MOA=60°，∠NOB=

30°.求：

(1)光線在M點的折射角；

(2)透明物體的折射率.

解法1：(1)如圖2所示，透明物體內(nèi)部的光路為折線MPN，Q和M點相對于底面EF對稱，Q，P和N3點共線.設(shè)在M點處，光的入射角為i，折射角為r，∠OMQ=α，∠PNF=β,根據(jù)題意有

圖2 透明物體內(nèi)部光路圖α=30°

(1)

由幾何關(guān)系得，∠PNO=∠PMO=r,于是

β+r=60°

(2)

且

α+r=β

(3)

由式(1)、(2)、(3)得

r=15°

(4)

(2)根據(jù)折射率公式有

sini=nsinr

(5)

由式(4)、(5)得

(6)

點評分析:這是一道層次分明的考題，學生畫出半圓內(nèi)部的光路圖，再寫個折射定律，這是難度不大的事，所以得零分很不容易，但是要想快速求出M點處的折射角并非易事，命題者把半圓補成圓，巧妙利用入射光線和反射光線的對稱性以及圓的對稱性來尋找?guī)缀侮P(guān)系，這種靈活性的設(shè)計對只有中等思維品質(zhì)的學生確實是一個大的挑戰(zhàn)，甚至是無從下手.因此，筆者結(jié)合學生的實際情況，創(chuàng)出兩種學生更容易接受的解法.

2 另外兩種解法

解法2:(1)作出光路圖后，所有幾何信息包含在兩個三角形中，因此可以用解三角形的方法求折射角r.如圖3所示，由幾何關(guān)系得∠MPO=∠MOA-r=60°-r,由反射定律得∠NPB=∠MPO=60°-r,∠PNO=∠NPB-∠NOP=60°-r-30°=30°-r,在△MOP中，由正弦定理得

(7)

在△NOP中，由正弦定理得

(8)

由式(7)、(8)得r=15°.

圖3

(2)第二問同參考答案.

解法3:(1)采用解析幾何的方法求解.以圓心O為坐標原點建立直角坐標系.設(shè)圓的半徑為R，如圖3所示，則M(-Rcos 60°,Rsin 60°),N(Rcos 30°,Rsin 30°),由反射定律知，直線PM和直線PN的斜率的絕對值相等，即

(9)

由兩點間的距離公式得

(10)

在△MOP中，由余弦定理得

(11)

由式(9)～(11)得

(2)第二問同參考答案.

3 用費馬原理解讀光路徑

根據(jù)費馬原理，光在任意介質(zhì)中從一點傳播到另一點時，沿所需時間最短的路徑傳播.對應到本題，光從M點傳播到N點時速度是不變的，因此只要求出光的路程函數(shù)再求導，就可以得到相應的極值條件.

光在介質(zhì)中的路程

對路程函數(shù)求導，并且令導數(shù)等于零，則有

即cos ∠MPA=cos ∠NPB,這個結(jié)果恰好是反射定律的體現(xiàn).因此，接下來的解答過程同解法3.

從以上分析可以看出來，費馬原理是幾何光學中的一條重要原理，反射定律只是它的一個特例而已.同時也讓我們見識到了命題者的高瞻遠矚，命題專家通過設(shè)定好入射點和出射點的坐標，則根據(jù)最短原理，P點的坐標是確定的，整個思路一氣呵成，既考查了高中的核心知識，又為高中和大學之間的知識過渡做好了鋪墊.總之，這道題充分體現(xiàn)了高考考試說明中學習能力、應用能力的兩大能力要求，對中學物理教學及學生能力培養(yǎng)有很好的導向性意義，是一道成功有亮點的好題.

4 一題多解的教學啟示

教學中適當?shù)囊活}多解，可以激發(fā)學生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，訓練學生對物理思想和物理方法的嫻熟運用，鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)，發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維.

一題多解訓練，應當注意以下幾點：

(1)目的要明確.上這種課，不是單純地追求一題多解，而是要通過這種練習活動，達到鍛煉學生的思維，拓寬學生的思路，增長學生的知識，培養(yǎng)和提高學生創(chuàng)造性學習能力這個根本目的.所以，教學內(nèi)容的安排、教學活動的組織、教學方法的選擇等等，都要有利于實現(xiàn)這個根本目的.這是上這種課的總要求.

(2)要注意把握上這種課的時間.這種課必須要在學生對有關(guān)的知識和技能熟練掌握的基礎(chǔ)上進行.如果學生對有關(guān)的知識和技能沒有熟練掌握，就談不上靈活運用，就談不上縱向、橫向聯(lián)系，也就不能進行一題多解.所以，上這種課，一般是在學生對某一部分知識或某幾部分知識熟練掌握的時候，在綜合練習時進行.學生對基礎(chǔ)知識掌握得越深刻，越透徹，基本技能越嫻熟，越靈活，就越能夠進行一題多解，上這種課就越能收到好的效果.

(3)選題要得當，方法要靈活.選題得當是學生一題多解的前提條件.它既要能夠一題多解，又要顧及班上差生、好生的具體情況，使差生想想也能找出幾種解法，使好生也有用武之地；一題多解訓練的具體方式方法是很多的，不能死搬硬套，人云亦云.要從實際出發(fā)，不能千題一律，堂堂如此.要根據(jù)班上學生學習的具體情況和實際教學需要，靈活選擇教學方法.只有這樣，才能調(diào)動全班學生的學習積極性，取得好的教學效果.

2017-02-09)