陸群豐(浙江省慈溪市楊賢江中學(xué) 浙江 寧波 315300)

判斷疊放體是否做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩種方法

陸群豐
(浙江省慈溪市楊賢江中學(xué) 浙江 寧波 315300)

對(duì)疊放在水平面上的兩個(gè)物體在水平方向拉力作用下是否做相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了探討，提出了臨界拉力、臨界加速度的概念，導(dǎo)出判斷是否相對(duì)運(yùn)動(dòng)的條件.

相對(duì)運(yùn)動(dòng) 靜摩擦力 臨界拉力 臨界加速度

疊放在水平面上的物體，在拉力F的作用下，兩物體可能一起以相等的加速度運(yùn)動(dòng)，也可能分別以不同的加速度運(yùn)動(dòng)，兩物體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng).本文通過(guò)引導(dǎo)和討論，介紹兩種判斷疊放體是否做相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方法.

1 當(dāng)拉力作用在疊放體的上層物體上時(shí)

1.1當(dāng)兩物體一起以相同的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力的取值范圍

如圖1所示，在粗糙的水平面上疊放著兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的物體A和B，兩物體之間以及B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1和μ2，現(xiàn)給上層物體A施加拉力F，使兩物體一起以相同的加速度運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律,對(duì)整體有

F-μ2(m1+m2)g=(m1+m2)a

(1)

對(duì)A

F-Ff=m1a

(2)

對(duì)B

Ff-μ2(m1+m2)g=m2a

(3)

圖1 作用力施加于上層物體

當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體之間的摩擦力Ff是靜摩擦力，應(yīng)小于最大靜摩擦力，若把最大靜摩擦力按滑動(dòng)摩擦力計(jì)算，則兩物體剛要發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有

F-μ1m1g=m1a0

(4)

其中a0是臨界加速度.對(duì)比式(2)可知加速度a>a0.

當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，考慮下層物體B的受力，一定有物體之間的最大靜摩擦力大于物體B與地面之間的最大靜摩擦力，即

μ1m1g>μ2(m1+m2)g

這是物體B能夠運(yùn)動(dòng)的力學(xué)前提.

可見(jiàn)，物體之間的靜摩擦力Ff應(yīng)在范圍

μ2(m1+m2)g

以內(nèi).

由式(2)、(3)得

再結(jié)合靜摩擦力Ff的取值范圍，可知當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力F的取值范圍是

(5)

小結(jié)1:若拉力作用在疊放體的上層物體上,可得如下結(jié)論.

(1)當(dāng)拉力滿足式(5)時(shí)，兩物體一起以相同的加速度運(yùn)動(dòng).

(2)當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)的加速度大于物體之間的臨界加速度(即a>a0)時(shí)，兩物體一起以相同的加速度運(yùn)動(dòng).計(jì)算加速度的方法是式(1)，計(jì)算臨界加速度的方法是式(4).

1.2當(dāng)兩物體以不同的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力的取值范圍

如果在拉力F的作用下，兩物體分別以不同的加速度運(yùn)動(dòng)，即兩物體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律,對(duì)整體有

F-μ2(m1+m2)g=m1a1+m2a2

(6)

對(duì)A

F-μ1m1g=m1a1

(7)

對(duì)B

μ1m1g-μ2(m1+m2)g=m2a2

(8)

根據(jù)以上討論，當(dāng)

(9)

兩物體以不同的加速度運(yùn)動(dòng).

根據(jù)實(shí)際物理情景，應(yīng)有兩物體A和B的加速度a1>a2.

“假設(shè)兩物體一起以相等的加速度a運(yùn)動(dòng)”(強(qiáng)調(diào)：這種情況是為了做比較而假設(shè)出來(lái)的，把這個(gè)加速度姑且稱為虛擬加速度)，則滿足式(1).

對(duì)比式(6)和式(1)等號(hào)右邊，有

m1a1+m2a2=(m1+m2)a

可得

a1>a>a2

其中a1就是這種情況下的臨界加速度.

小結(jié)2:若拉力作用在疊放體的上層物體上,可得如下結(jié)論.

(1)當(dāng)拉力滿足式(9)時(shí)，兩物體以不同的加速度運(yùn)動(dòng).

(2)當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)的虛擬加速度小于物體之間的臨界加速度(即a1>a)時(shí)，兩物體以不同的加速度做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且上層物體的加速度、虛擬加速度和下層物體的加速度滿足關(guān)系a1>a>a2.計(jì)算虛擬加速度的方法是式(1)，計(jì)算臨界加速度的方法是式(7).

總結(jié)1:當(dāng)拉力作用在疊放體的上層物體上時(shí),可得如下結(jié)論.

(1)根據(jù)拉力判斷,若拉力小于臨界拉力

則兩物體以相同的加速度一起運(yùn)動(dòng).若拉力大于臨界拉力F0，則兩物體以不同的加速度做相對(duì)運(yùn)動(dòng).

(2)根據(jù)加速度判斷,若由式(1)計(jì)算得到的加速度大于由F-μ1m1g=m1a計(jì)算得到的加速度，則兩物體以相同的加速度一起運(yùn)動(dòng).若由式(1)計(jì)算得到的加速度小于由式(7)計(jì)算得到的加速度，則兩物體以不同的加速度做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且上層物體的加速度、虛擬加速度和下層物體的加速度滿足關(guān)系a1>a>a2.

圖2 例1題圖

A．當(dāng)F<2μmg時(shí)，A和B都相對(duì)地面靜止

C．當(dāng)F>3μmg時(shí)，A相對(duì)B運(yùn)動(dòng)

解析：根據(jù)以上總結(jié)1，臨界拉力

選項(xiàng)B正確.B具有最大加速度時(shí)，由式(8)解得

點(diǎn)評(píng):本題是2014年江蘇高考題，試題難度很大，據(jù)統(tǒng)計(jì)得分率最低，可是如果我們掌握以上結(jié)論，便能迎刃而解.

2 當(dāng)拉力作用在疊放體的下層物體上時(shí)

2.1當(dāng)兩物體一起以相同的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力的取值范圍

如圖3所示，在粗糙的水平面上疊放著兩個(gè)質(zhì)量分別為m1和m2的物體A和B，兩物體之間以及B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1和μ2，現(xiàn)給B施加拉力F，使兩物體一起以相同的加速度運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律,對(duì)整體仍滿足式(1)，對(duì)A

Ff=m1a

(10)

對(duì)B

F-Ff-μ2(m1+m2)g=m2a

(11)

圖3 作用力施加于下層物體

當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體之間的摩擦力Ff是靜摩擦力，應(yīng)小于最大靜摩擦力，若把最大靜摩擦力按照滑動(dòng)摩擦力計(jì)算，則兩物體剛要發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有

μ1m1g=m1a0

(12)

對(duì)比式(10)可知，物體一起運(yùn)動(dòng)的加速度小于臨界加速度a0，即a

當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，一定有

F>μ2(m1+m2)g

當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體之間的靜摩擦力應(yīng)在范圍Ff<μ1m1g以內(nèi).

由式(10)、(11)得

再結(jié)合靜摩擦力的范圍，可知當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)時(shí)，拉力的取值范圍是

F<(μ1+μ2)(m1+m2)g

小結(jié)3:若拉力作用在疊放體的下層物體上，可得如下結(jié)論.

(1)當(dāng)

μ2(m1+m2)g

時(shí)，兩物體一起以相同的加速度運(yùn)動(dòng).

(2)當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)的加速度小于物體之間的臨界加速度(a

2.2當(dāng)兩物體以不同的加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)拉力的作用范圍

如果拉力F較大，兩物體分別以不同的加速度運(yùn)動(dòng)，即兩物體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律則,對(duì)整體仍滿足式(6)，對(duì)A

μ1m1g=m1a1

(13)

對(duì)B

F-μ1m1g-μ2(m1+m2)g=m2a2

(14)

根據(jù)以上討論，當(dāng)拉力

F>(μ1+μ2)(m1+m2)g

兩物體以不同的加速度運(yùn)動(dòng)，即兩物體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng).

根據(jù)實(shí)際物理情景，應(yīng)有兩物體B和A的加速度a2>a1.

“假設(shè)兩物體一起以相等的加速度運(yùn)動(dòng)” (強(qiáng)調(diào)：這種情況是為了做比較而假設(shè)出來(lái)的，把這個(gè)加速度姑且稱為虛擬加速度)，則有滿足式(1).

對(duì)比式(6)和式(1)等號(hào)右邊，有m1a1+m2a2=(m1+m2)a，可得a2>a>a1(其中a1就是這種情況下的臨界加速度).

小結(jié)4:當(dāng)拉力作用在疊放體的下層物體上，可得如下結(jié)論.

(1)當(dāng)F≥(μ1+μ2)(m1+m2)g時(shí)，兩物體以不同的加速度運(yùn)動(dòng).

(2)當(dāng)兩物體一起運(yùn)動(dòng)的虛擬加速度大于物體之間的臨界加速度(即a>a1)時(shí)，兩物體以不同的加速度做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且下層物體的加速度、虛擬加速度和上層物體的加速度滿足關(guān)系a2>a>a1.計(jì)算虛擬加速度的方法是式(1)，計(jì)算臨界加速度的方法是式(13).

總結(jié)2:當(dāng)拉力作用在疊放體下層物體上時(shí)，可得如下結(jié)論.

(1)根據(jù)拉力判斷：若拉力小于臨界拉力

F0=(μ1+μ2)(m1+m2)g

則兩物體以相同的加速度一起運(yùn)動(dòng)；若拉力大于臨界拉力F0，則兩物體以不同的加速度做相對(duì)運(yùn)動(dòng).

(2)根據(jù)加速度判斷：若由式(1)計(jì)算得到的加速度小于由式(13)計(jì)算得到的加速度，則兩物體以相同的加速度一起運(yùn)動(dòng).

若由式(1)計(jì)算得到的加速度大于由式(13)計(jì)算得到的加速度，則兩物體以不同的加速度做相對(duì)運(yùn)動(dòng)，且下層物體的加速度、虛擬加速度和上層物體的加速度滿足關(guān)系a2>a>a1.

【例2】如圖3所示，物體A,B質(zhì)量分別為m1=1 kg，m2=2 kg，兩物體之間以及B與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為0.3和0.1，求以下兩種情況下兩物體的加速度：

(1)當(dāng)施加在B上的拉力F為5 N；

(2)當(dāng)施加在B上的拉力F為15 N.

解析：(1)由于滿足

F>μ2(m1+m2)g

所以B一定會(huì)被拉動(dòng).

根據(jù)以上知識(shí)，拉力F又滿足

F<(μ1+μ2)(m1+m2)g

可知兩物體一起以相等的加速度運(yùn)動(dòng)，物體之間是靜摩擦力.由式(1)解得

小于臨界加速度3 m/s2.

(2)由于拉力

F>(μ1+μ2)(m1+m2)g

因此兩物體運(yùn)動(dòng)的加速度不同，之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，摩擦力是滑動(dòng)摩擦力.由式(6)、式(13)解得

a1=3 m/s2a2=4.5 m/s2

很顯然，這兩個(gè)物體的加速度a2>a1.

“假設(shè)兩物體一起以相等的加速度運(yùn)動(dòng)” (強(qiáng)調(diào)：這種情況是為了做比較而假設(shè)出來(lái)的，因此加速度也是虛擬的)，則有滿足式(1)，解得

a=4 m/s2

這個(gè)假設(shè)出來(lái)的加速度介于兩物體的加速度之間.

【精彩習(xí)題鏈接】如圖4所示，在光滑水平面上有一質(zhì)量為m1的足夠長(zhǎng)的木板，其上疊放一質(zhì)量為m2的木塊.假定木塊和木板之間的最大靜摩擦力和滑動(dòng)摩擦力相等.現(xiàn)給木塊施加一隨時(shí)間t增大的水平力F=kt(k是常數(shù))，木板和木塊加速度的大小分別為a1和a2，下列反映a1和a2變化的圖線中正確的是( )

圖4 習(xí)題題圖

解析：答案是A.在達(dá)到最大靜摩擦力前，摩擦力為靜摩擦力，木塊和木板相對(duì)靜止，以相同加速度運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有

隨著時(shí)間的推移，拉力的線性增大，木塊和木板之間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，根據(jù)總結(jié)1，本題加速度應(yīng)滿足“上層物體的加速度、虛擬加速度和下層物體的加速度滿足關(guān)系a2>a>a1”，所以選項(xiàng)A正確.

2017-01-31)