鄭 金(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

彈簧連接兩物體能共同做勻加速運(yùn)動(dòng)嗎

鄭 金
(凌源市職教中心 遼寧 朝陽(yáng) 122500)

利用多種方法對(duì)有關(guān)彈簧連接的兩個(gè)物體即彈簧雙振子直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行定性分析和定量解答，探究了彈簧雙振子在兩種不同受力條件下的運(yùn)動(dòng)形式及規(guī)律.

彈簧連接體 勻加速運(yùn)動(dòng) 非慣性系 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

常見(jiàn)一些有關(guān)彈簧兩端連接兩個(gè)物體在外力作用下一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的錯(cuò)題，而這種物理情境是難以實(shí)現(xiàn)的.對(duì)于由輕彈簧連接的兩個(gè)物體的直線運(yùn)動(dòng)按受力情況可分為兩種：其一是彈簧連接體中的一個(gè)物體受到恒定動(dòng)力的作用，則系統(tǒng)的質(zhì)心做勻加速直線運(yùn)動(dòng)；其二是彈簧連接體中的一個(gè)物體受到動(dòng)力的作用而做勻加速直線運(yùn)動(dòng).這兩種情形的彈簧連接體不可能共同做勻加速直線運(yùn)動(dòng).下面分別進(jìn)行探討.

1 彈簧連接體的質(zhì)心做勻加速運(yùn)動(dòng)

若其中一個(gè)物體受到恒定動(dòng)力的作用，則系統(tǒng)的質(zhì)心做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，那么質(zhì)心可視為非慣性系.兩個(gè)物體相對(duì)于系統(tǒng)的質(zhì)心做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).通過(guò)定性分析每個(gè)物體的受力變化情況，根據(jù)牛頓第二定律判斷加速度變化情況，可大致畫(huà)出速度圖像.

【例1】(2009年高考江蘇卷)如圖1所示，兩質(zhì)量相等的物塊A和B通過(guò)一輕質(zhì)彈簧連接，B足夠長(zhǎng)，放置在水平面上，所有接觸面均光滑.彈簧開(kāi)始時(shí)處于原長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終處在彈性限度內(nèi).在物塊A上施加一個(gè)水平恒力F，在A和B從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過(guò)程中，下列說(shuō)法中正確的有( )

圖1 例1題圖

A.當(dāng)A與B加速度相等時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大

B.當(dāng)A與B加速度相等時(shí)，A,B的速度差最大

C.當(dāng)A與B的速度相等時(shí)，A的速度達(dá)到最大

D.當(dāng)A與B的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能最大

解析:圖2所示為光滑水平面上的彈簧雙振子，若m1=m2，則與圖1等效.通過(guò)分析兩個(gè)小球受力大小的變化情況以及速度和加速度的變化情況，可畫(huà)出質(zhì)心和兩個(gè)物體的速度圖像如圖3所示.

圖2 彈簧雙振子中的一個(gè)振子受到恒力

圖3 A的質(zhì)量等于B的質(zhì)量時(shí)的速度圖像

曲線上某點(diǎn)切線的斜率表示加速度，畫(huà)一條豎直線表示某一時(shí)刻，與兩條曲線相交，過(guò)交點(diǎn)分別作兩條切線，當(dāng)兩條切線平行時(shí)，對(duì)應(yīng)的加速度相等，由圖可見(jiàn)，此時(shí)A，B的速度差最大，故選項(xiàng)B正確；由于拉力始終對(duì)系統(tǒng)做正功，機(jī)械能始終增加，不可能達(dá)到最大，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于兩物體始終做加速運(yùn)動(dòng)，所以第一次速度相等時(shí)，二者的速度都達(dá)到最大，故選項(xiàng)C正確；由于速度相等時(shí)，沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，則相對(duì)位移最大，即彈簧伸長(zhǎng)量最大，因此彈簧的彈性勢(shì)能最大.或者從曲線包圍的面積表示相對(duì)位移可知，第一次速度相等時(shí)，兩個(gè)曲線之間的面積最大，故選項(xiàng)D正確.

在兩個(gè)物體拉伸彈簧過(guò)程中，相對(duì)位移一直增大，間距一直增大.要注意相對(duì)位移與間距的區(qū)別.如果是壓縮彈簧，雖然相對(duì)位移一直增大，但間距卻一直減小.相對(duì)位移表示彈簧的形變量，而間距表示彈簧某時(shí)刻的長(zhǎng)度.從速度圖像可知，當(dāng)二者速度相等時(shí)，加速度不相等；當(dāng)二者加速度相等時(shí)，速度不相等.因此在恒力作用下的彈簧連接體系統(tǒng)不可能一起做勻加速直線運(yùn)動(dòng).

還可從非慣性系的角度進(jìn)行分析.系統(tǒng)的質(zhì)心做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為

在圖3中，傾斜直線表示質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的速度圖像，函數(shù)關(guān)系式為

由圖像形狀可知，當(dāng)?shù)谝淮嗡俣认嗟葧r(shí)，A的加速度最小，B的加速度最大；對(duì)于第一次速度相等之前的圖像，若作兩條切線都平行于傾斜直線，則兩個(gè)切點(diǎn)的連線是傾斜的，表明不在同一時(shí)刻，由于連線的傾斜角大于90°，可知A的加速度先等于質(zhì)心的加速度，B的加速度后等于質(zhì)心的加速度，不可能同時(shí)等于質(zhì)心的加速度.

下面定量分析彈簧連接體在恒力作用下的運(yùn)動(dòng).

若兩個(gè)物體質(zhì)量相等，則速度圖像關(guān)于過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線對(duì)稱.開(kāi)始彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，物體B的加速度為零，物體A的加速度

系統(tǒng)質(zhì)心的加速度

則物體A相對(duì)于質(zhì)心的加速度即二者之差為

由于物體A相對(duì)于質(zhì)心做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，在t=0時(shí)刻的相對(duì)加速度取最大值

因此相對(duì)加速度隨時(shí)間變化的關(guān)系為

所以物體A的加速度關(guān)系式

如果兩個(gè)物體的質(zhì)量不相等，那么速度圖像如何呢？選項(xiàng)C是否正確呢？或者說(shuō)，兩個(gè)振子的速度與加速度跟其質(zhì)量有何關(guān)系呢？首先進(jìn)行定性分析.物體在相同外力作用下，質(zhì)量越大，加速度越小，即速度增加得越慢，或者說(shuō)，經(jīng)歷相同的時(shí)間，達(dá)到的速度較小.由此可知，如果物體A的質(zhì)量大于物體B的質(zhì)量，則速度圖像如圖4所示，選項(xiàng)C一定正確.當(dāng)物體A的質(zhì)量小于物體B的質(zhì)量時(shí)，速度圖像如圖5所示，可知當(dāng)A與B的速度第一次相等時(shí)，A的速度已經(jīng)不是最大值，此時(shí)選項(xiàng)C錯(cuò)誤.下面進(jìn)行定量分析.

圖4 A的質(zhì)量大于B的質(zhì)量時(shí)的速度圖像

圖5 A的質(zhì)量小于B的質(zhì)量時(shí)的速度圖像

若以物體B為參考系，則物體A相對(duì)于B做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出A相對(duì)于B的v′-t圖像如圖6所示.

圖6 A相對(duì)于B的速度圖像

在t1時(shí)刻，A相對(duì)于B的加速度為零，此時(shí)aA=aB，vA>vB.在t=0時(shí)刻，彈簧處于原長(zhǎng)，在t=t2時(shí)刻，彈簧被拉伸至最長(zhǎng)，由圖6可知，這兩個(gè)時(shí)刻A相對(duì)于B的加速度大小相等，方向相反.

左達(dá)蹲下身子，拿起一扎鈔票，用大拇指把鈔票一頭弄彎曲，然后略一松開(kāi)，讓鈔票像被洗的撲克牌一樣翻卷著，發(fā)出一陣輕微的悅耳的脆響。然后，他把跟前的百元大鈔五扎一堆五扎一堆地一字排開(kāi)，又一屁股坐在了臟臟的水泥屋頂上，他正要埋頭簽字，突然停下了，仰望著徐藝，一笑，道：“要不然，咱倆賭一把？”

為正值，由a1=a2得

若f

若假設(shè)為正值，則a1=a2不成立，只能為負(fù)值，由a1=-a2得

若m1>m2，則在t=t2時(shí)刻f

若m1F，表明A后來(lái)受到的合外力方向向左，則加速度先減小到零，再反向增大，即最后加速度小于零，那么速度先增大后減小，速度圖像如圖5所示.

由圖5可知，在A和B從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次速度相等的過(guò)程中，當(dāng)二者加速度相同時(shí)，A的速度大于B的速度；當(dāng)二者速度相同時(shí)，加速度大小可能相等，但方向相反，因此不可能一起做勻加速運(yùn)動(dòng).

2 彈簧連接體的一個(gè)物體做勻加速運(yùn)動(dòng)

若其中一個(gè)物體受到動(dòng)力的作用而做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則該物體可視為非慣性系.如圖7所示，平板車沿水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，若以平板車為參考系，則滑塊受到一個(gè)大小為ma,方向與a反向的慣性力，相當(dāng)于等效重力，與豎直彈簧振子相似，由于豎直彈簧振子相對(duì)于懸點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期

與重力無(wú)關(guān)，因此，滑塊相對(duì)于平板車做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，周期為

與慣性力無(wú)關(guān).彈簧振子與小車的加速度可能某時(shí)刻相同，但不可保持加速度相同的穩(wěn)定狀態(tài).

圖7 彈簧連接體中的小車做勻加速運(yùn)動(dòng)

【例2】如圖8所示，升降機(jī)的天花板上懸掛一勁度系數(shù)κ=200 N/m的輕質(zhì)彈簧，彈簧下端拴一個(gè)質(zhì)量為2 kg的物體，若升降機(jī)自靜止開(kāi)始，以1 m/s2的加速度勻加速上升，物體將如何運(yùn)動(dòng)？(取g=10 m/s2)

圖8 例2題圖

分析:升降機(jī)以1 m/s2的加速度勻加速上升，表明升降機(jī)所受合外力恒定，由于彈簧彈力是變力，因此升降機(jī)受到的牽引力不是恒力，那么整體受到的合外力不是恒力.若認(rèn)為物體相對(duì)于系統(tǒng)的質(zhì)心做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)則是錯(cuò)誤的.而實(shí)際是物體在非慣性系中做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，即物體相對(duì)于升降機(jī)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體再次相對(duì)于升降機(jī)靜止時(shí)，彈簧伸長(zhǎng)量達(dá)到最大，然后間距變小.二者的速度圖像如圖9所示.

圖9 升降機(jī)和物體的速度圖像

總之，對(duì)于彈簧雙振子系統(tǒng)，若其中一個(gè)物體受到恒力作用，則二者的運(yùn)動(dòng)都是勻加速直線運(yùn)動(dòng)與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，不可能共同做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，也不能說(shuō)都做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，而是各自相對(duì)于系統(tǒng)的質(zhì)心做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，或者說(shuō)一個(gè)物體相對(duì)于另一個(gè)物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，彈簧長(zhǎng)度發(fā)生周期性變化，并非保持不變.若其中一個(gè)物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則該物體可視為非慣性系，那么另一個(gè)物體相對(duì)于非慣性系始終做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

1 張林海，黃振平.一道高考選擇題的定量計(jì)算.中學(xué)物理，2010(5)：26

2 張征印.奇思妙想 解惑答疑.數(shù)理天地，2011(5)：35

3 張曉紅.彈簧題的錯(cuò)解剖析.中學(xué)物理，1999(5)：46

2016-06-02)