諸廣平

中考里的“一元二次方程”

諸廣平

考點(diǎn)一：一元二次方程根的定義

例1（2016·雅安）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，則另一實(shí)數(shù)根及m的值分別為（）.

A.4，-2B.-4，-2C.4，2D.-4，2

【分析】由題意，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，根據(jù)根的定義，當(dāng)x=2時(shí)，方程左右兩邊相等.因此只需要將2代入原方程，即可求得m的值，另一實(shí)數(shù)根自然也可以輕松求得.

解：把x=2代入原方程得：4+2m-8=0，因此m=2.原方程即為x2+2x-8=0，求得另一根為-4，因此選D.

考點(diǎn)二：判別一元二次方程根的情況

例2（2016·自貢）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）.

A.m＞1B.m＜1C.m≥1D.m≤1

【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-（m-2）=0有實(shí)數(shù)根，可知Δ≥0，從而可以求得m的取值范圍.

解：由題意得Δ=b2-4ac=22-4×1×［-（m-2）］≥0，m≥1，選C.

例3（2016·莆田）關(guān)于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情況是（）.

A.無實(shí)數(shù)根

B.有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【分析】先計(jì)算判別式的值，然后判斷方程根的情況.

解：∵Δ=a2+4＞0，故選D.

考點(diǎn)三：根與系數(shù)的關(guān)系

例4（2016·威海）已知x1，x2是關(guān)于x的方程x2+ax-2b=0的兩實(shí)數(shù)根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，則ba的值是（）.

解：∵x1+x2=-a=-2，x1·x2=-2b=1，解得a=2，b=.故選A.

例5（2016·煙臺）x1，x2是一元二次方程x2-2x-1=0的兩根，則x12-x1+x2的值為（）.

A.-1B.0C.2D.3

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2，x1·x2=-1，將代數(shù)式x12-x1+x2變形為x12-2x1-1+x1+1+x2，其中x12-2x1-1的值根據(jù)根的定義可得其值為0，再代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論.

∴x12-x1+x2=x12-2x1-1+x1+1+x2

=1+x1+x2=1+2=3.故選D.

考點(diǎn)四：一元二次方程的解法

例6（2013·廣州）解方程：x2-10x+9=0.

【分析】解一元二次方程通常有四種方法，即直接開平方法、配方法、求根公式法和因式分解法.只要方程有實(shí)數(shù)根，配方法和求根公式法都是可以的，但要根據(jù)具體的方程選擇合適的方法才不會(huì)讓解方程變得很麻煩.直接開平方法和因式分解法適合特殊形式的方程，解起來簡捷輕松.因此，本題可以運(yùn)用配方法、求根公式法和因式分解法三種方法求解.

解：方法一（配方法）：配方得（x-5）2=16，解得，x1=1，x2=9.

方法二（求根公式法）：因?yàn)棣?100-36= 64＞0.由求根公式解得，x1=1，x2=9.

方法三（因式分解法）：（x-1）（x-9）=0，解得，x1=1，x2=9.

考點(diǎn)五：一元二次方程的應(yīng)用

例7（2016·臺州）有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽了45場，每兩隊(duì)之間都比賽一場，則下列方程中符合題意的是（）.

【分析】先列出x支籃球隊(duì)，每兩隊(duì)之間都比賽一場，共可以比賽x（x-1）場，再根據(jù)題意列出方程為x（x-1）=45.故選A.

例8（2014·畢節(jié)）某工廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次.第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)95件，每件利潤6元.每提高一個(gè)檔次，每件利潤增加2元，但一天產(chǎn)量減少5件.

（1）若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為y元（其中x為正整數(shù)，且1≤x≤10），求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品一天的總利潤為1120元，求該產(chǎn)品的質(zhì)量檔次.

【分析】列方程解應(yīng)用題的一般步驟如下：（1）審題：讀題，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系；（2）設(shè)元：就是設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題意，選擇適當(dāng)?shù)奈粗?，并用字母表示出來，設(shè)元又分直接設(shè)元和間接設(shè)元；（3）列方程：根據(jù)題目中給出的等量關(guān)系，列出符合題意的方程；（4）解方程：求出所列方程的解；（5）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否符合題意，特別在檢驗(yàn)時(shí)，對一元二次方程的兩個(gè)根一方面要結(jié)合生活實(shí)際檢驗(yàn)，另一方面要結(jié)合具體的問題檢驗(yàn)；（6）寫出答案.

解：（1）y=［6+2（x-1)］×［95-5（x-1)］，整理，得y=-10x2+180x+400.

（2）由-10x2+180x+400=1120，化簡，得x2-18x+72=0，解得x1=6，x2=12（不合題意，舍去）.所以，該產(chǎn)品為第6檔次的產(chǎn)品.

例9（2013·重慶）“4·20”雅安地震后，某商家為支援災(zāi)區(qū)人民，計(jì)劃捐贈(zèng)帳篷16800頂，該商家備有2輛大貨車、8輛小貨車運(yùn)送，計(jì)劃大貨車比小貨車每輛每次多運(yùn)帳篷200頂，大、小貨車每天均運(yùn)送一次，兩天恰好運(yùn)完.

（1）求大、小貨車原計(jì)劃每輛每次各運(yùn)送帳篷多少頂？

（2）因地震導(dǎo)致路基受損，實(shí)際運(yùn)送過程中，每輛大貨車每次比原計(jì)劃少運(yùn)200m頂，每輛小貨車每次比原計(jì)劃少運(yùn)300頂.為了盡快將帳篷運(yùn)送到災(zāi)區(qū)，大貨車每天比原計(jì)劃多跑m次，小貨車每天比原計(jì)劃多跑m次，一天剛好運(yùn)送了帳篷14400頂，求m的值.

【分析】（1）把握兩個(gè)等量關(guān)系，一是“大貨車比小貨車每輛每次多運(yùn)帳篷200頂”，二是“大、小貨車兩天恰好運(yùn)完16800頂”，利用這兩個(gè)等量關(guān)系可設(shè)一元（或二元）建立一元一次方程（或二元一次方程組）解答；（2）在第（1）小題所得數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，一方面需用常數(shù)或含m的式子表示大、小貨車每次的運(yùn)輸量和實(shí)際每天的運(yùn)輸次數(shù)，另一方面，需抓住“2輛大貨車和8輛小貨車一天共運(yùn)送帳篷14400頂”這個(gè)等量關(guān)系式解答.

解：（1）設(shè)小貨車原計(jì)劃每輛每次運(yùn)送帳篷x頂，則大貨車原計(jì)劃每輛每次運(yùn)送帳篷（x+200）頂，根據(jù)題意，得

2［8x+2（x+200）］=16800，解得x=800.

x+200=800+200=1000.

答：大、小貨車原計(jì)劃每輛每次分別運(yùn)送帳篷1000頂、800頂.

（2）根據(jù)題意，得

2（1000-200m）+8（800-300）（1+m）=14400，

化簡為m2-23m+42=0，

解得m1=2，m2=21.

∵1000-200m不能為負(fù)數(shù)，且m為整數(shù)，∴m2=21不符合實(shí)際，舍去，故m的值為2.

（作者單位：江蘇省無錫市張涇中學(xué)）