王玉珍

圓外切三角形與圓的關(guān)系

王玉珍

我們知道，與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.

三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，它到三角形的三條邊的距離相等，都等于半徑.

我們?nèi)绾芜\(yùn)用這些知識(shí)解決問題呢？我們一起看下面這個(gè)例子.

已知1：如圖1，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別D、E、F，BC=a，AC=b，AB=c，⊙O的半徑是r.

求證：∠BOC=90°+∠BAC.

圖1

【分析】由題可知，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，要求角的關(guān)系，聯(lián)想到“三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)”，再用前面學(xué)的角平分線的知識(shí)完成.

證明：∵⊙O內(nèi)切于△ABC，

∴OB和OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，

【總結(jié)】通過本小題的解答我們發(fā)現(xiàn)，由“⊙O內(nèi)切于△ABC”得到“點(diǎn)O是內(nèi)心”進(jìn)而得到“OB和OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線”這個(gè)結(jié)論，從而解決了問題.如果我們把題目的條件改為“已知：如圖1，OB和OC分別是∠ABC和∠ACB的角平分線”，解題過程還是一樣的.

【拓展一】已知條件不變，求證：△ABC的面積

【分析】三角形的面積等于底乘高除以2，但題目中沒有告訴高，看到切點(diǎn)聯(lián)想到切線的性質(zhì)“圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑”，由“⊙O內(nèi)切于△ABC”得到“點(diǎn)O是內(nèi)心”，而內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，都等于半徑，想到把這個(gè)大三角形分成三個(gè)小三角形，進(jìn)而求出三個(gè)小三角形的面積來解決.

圖2

證明：如圖2，連接OD、OE、OF、OA.

因?yàn)辄c(diǎn)D是切點(diǎn)，

所以O(shè)D⊥AB，

【總結(jié)】本小題考查了切線的性質(zhì)和內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，利用把大三角形分成三個(gè)小三角形解決了問題.

【拓展二】已知條件不變，若∠ACB=90°，求證：

【分析】要證的結(jié)論里出現(xiàn)了半徑r，必然想到作輔助線：連接OE、OF，如圖3，由切線的性質(zhì)得OE⊥BC，OF⊥AC，又∠ACB是直角，那么四邊形OFCE是矩形，而OF=OE=r，所以四邊形OFCE是邊長為r的正方形，由切線長定理可知，AD=AF，BD=BE，所以a+b-c=BC+ACAB=BE+CE+CF+AF-BD-AD=CE+CF=2r，整理之后即可得到答案.

圖3

這幾個(gè)問題都借助了圓的外切三角形的知識(shí)，有的問題可能只用其中的一個(gè)結(jié)論就能解決，究竟如何選擇，需要我們開動(dòng)腦筋思考，前后進(jìn)行聯(lián)系，這樣才能靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問題.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）