駱麗葉

“圓”來如此
——透視220011777年中考題

駱麗葉

圓這一章所涉及的知識點多，且綜合性較強，同學(xué)們在學(xué)習(xí)這一章時會遇到一些困難.下面我們結(jié)合2017年中考題和大家已學(xué)內(nèi)容，一起來看看圓有哪些?？嫉膬?nèi)容吧.

考點一：圓周角

例1（2017·揚州）如圖1，已知⊙O是△ABC的外接圓，連接AO，若∠B=40°，則∠OAC=_______°.

圖1

【分析】如圖2，連接OC，根據(jù)圓周角定理求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)同圓的半徑相等，進而求出∠OAC的度數(shù).

圖2

解：如圖2，連接CO.

∵∠B=40°，∴∠AOC=2∠B=80°，

又∵AO=CO，

∴∠OAC=∠OCA=（180°-80°）÷2=50°.

【點評】求圓中角度的問題，若已知圓周角，可找該圓周角所對的弧，再找該弧所對的圓心角.更多計算還可以根據(jù)三角形的內(nèi)外角關(guān)系，或內(nèi)角和定理，或借助等腰三角形（圓的半徑相等，可構(gòu)造等腰三角形），或直角三角形（直徑所對圓周角為直角）的性質(zhì)等來計算.

考點二：垂徑定理

例2（2017·黔東南州）如圖3，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，∠A=15°，半徑為2，則弦CD的長為（）.

圖3

A.2B.-1C.2D.4

【分析】根據(jù)垂徑定理得到CE=DE，∠CEO=90°，根據(jù)圓周角定理得到∠COE=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，得出結(jié)論.

解：∵⊙O的直徑AB垂直于弦CD，

∴CE=DE，∠CEO=90°，∵∠A=15°，∴∠COE=30°，

∴CE=OC=1，

∴CD=2CE=2.

故選A.

【點評】運用垂徑定理求相關(guān)線段的長度，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理或者30°特殊角求解.

考點三：切線的性質(zhì)與判定

【分析】（1）如圖7，連接OB，由垂徑定理的推論得OE⊥BD，弦被平分，弧被平分，由圓周角定理得出∠BOE=∠A，證出∠OBC=90°即可；（2）由勾股定理求出OC，再由△OBC的面積求出BE，即可得出弦BD的長.

例3（2017·連云港）如圖4，線段AB與⊙O相切于點B，線段AO與⊙O相交于點C，AB=12，AC=8，則⊙O的半徑長為_______.

圖4

【分析】如圖5，連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可知OB⊥AB，可設(shè)圓的半徑為r，根據(jù)勾股定理即可求出半徑長.

圖5

解：如圖5，連接OB，設(shè)半徑為r.

∵線段AB與⊙O相切于點B，∴OB⊥AB，∴r2+AB2=（r+AC）2，即r2+122=（r+8）2，解得r=5.

【點評】根據(jù)切線的性質(zhì)求線段長度的問題，一般先找到直角三角形，再利用勾股定理使問題得以解決.

例4（2017·天水）如圖6，△ABD是⊙O的內(nèi)接三角形，E是弦BD的中點，點C是⊙O外一點且∠DBC=∠A，連接OE延長與圓相交于點F，與BC相交于點C.

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為6，BC=8，求弦BD的長.

圖6

圖7

（1）證明：如圖7，連接OB.

∵E是弦BD的中點，

∴BE=DE，OE⊥BD，

∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，

∵∠DBC=∠A，

∴∠BOE=∠DBC，

∴∠OBE+∠DBC=90°，

∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切線.

（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，

即弦BD的長為9.6.

【點評】證明切線的常用方法有兩種：①連接過這點的半徑，證明半徑與這條直線垂直，問題（1）就是用這個方法；②過圓心做直線的垂線段，證明垂線段長等于圓的半徑.問題（2）中，我們要知道若弦被直徑平分，求該弦長度時一般是先求其一半，可通過直角三角形求解.

考點四：三角形與內(nèi)切圓、外接圓

例5（2017·眉山）如圖8，在△ABC中，∠A=66°，點I是內(nèi)心，則∠BIC的大小為（）.

A.114°B.122°C.123°D.132°

圖8

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC +∠ACB，由內(nèi)心的概念得∠IBC=∠ABC，

∠ICB=∠ACB，即可求出∠BIC的度數(shù).

解：∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=114°，

∵點I是內(nèi)心，

∴∠IBC=∠ABC，∠ICB=∠ACB，

∴∠IBC+∠ICB=57°，

∴∠BIC=180°-57°=123°.

故選：C.

【點評】此題考查了三角形的內(nèi)切圓內(nèi)心問題，解決這類問題的關(guān)鍵是理解內(nèi)心的概念，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和即可完成.

考點五：圓錐的相關(guān)計算

例6（2017·大慶）圓錐的底面半徑為1，它的側(cè)面展開圖的圓心角為180°，則這個圓錐的側(cè)面積為_______.

【分析】利用公式先求出母線長，再求圓錐的側(cè)面積.

【點評】有關(guān)圓錐的計算問題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，其中圓錐的母線長為扇形的半徑，圓錐底面圓的周長為扇形的弧長，然后利用公式計算.

考點六：陰影部分面積的計算

例7（2017·臨沂）如圖9，AB是⊙O的直徑，BT是⊙O的切線，若∠ATB=45°，AB=2，則陰影部分的面積是（）.

圖9

【分析】如圖10，連接BD，弓形AD的面積等于弓形BD的面積，△DTB的面積即為陰影部分的面積.

圖10

解：設(shè)AT交⊙O于D，連接BD.

∵BT是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，而∠ATB=45°，

∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，

∴AD=BD=TD=2，

∴弓形AD的面積等于弓形BD的面積，

S陰=S△DTB=1.

故選：C.

【點評】求陰影部分面積，如不能直接用公式求解時，可將所求面積分割，利用旋轉(zhuǎn)將部分陰影圖形移位后，利用規(guī)則圖形的面積相互加減求解.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實驗中學(xué)）