祁 平，于海東，劉 爽，岳麗娟

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130024)

基于線性反饋滑模法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步

祁 平，于海東，劉 爽，岳麗娟

(東北師范大學(xué)物理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春130024)

將整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)推廣到分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng).利用線性反饋控制理論和滑?？刂评碚?，設(shè)計(jì)了線性反饋滑?？刂破?，在僅加一項(xiàng)控制器的條件下不但使該分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)達(dá)到了同步且縮短了達(dá)到同步的時(shí)間.數(shù)值仿真結(jié)果表明了該方法的有效性.

分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)；線性反饋法；線性反饋滑模法；混沌同步

在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生各種不同類(lèi)型的多渦卷混沌吸引子是近年來(lái)物理學(xué)和信息科學(xué)界所研究的熱點(diǎn)之一.1991年，Suykens等[1]首次提出了多渦卷蔡氏混沌吸引子的概念，之后人們對(duì)多渦卷混沌吸引子的產(chǎn)生進(jìn)行了一些研究；王發(fā)強(qiáng)等[2]通過(guò)構(gòu)造分段線性函數(shù)在四維系統(tǒng)中產(chǎn)生橫向偶數(shù)個(gè)多渦卷；陳仕必等[3]用多項(xiàng)式和階躍函數(shù)構(gòu)造出網(wǎng)格多渦卷；諶龍等[4]提出一種基于平移變換的多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法.現(xiàn)有的文獻(xiàn)中大多數(shù)都是整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)的構(gòu)造方法.而整數(shù)階微分是分?jǐn)?shù)階微分的特例，整數(shù)階混沌系統(tǒng)是對(duì)實(shí)際混沌系統(tǒng)的理想化處理.利用分?jǐn)?shù)階微分算子能夠更準(zhǔn)確地描述實(shí)際系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，由于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，所以將其用于通信保密具有更高的安全性.人們提出了很多分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步方法，如驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步法[5]、自適應(yīng)同步法[6]、主動(dòng)控制同步法[7]、線性反饋同步法[8]、滑模控制法[9]等.潘光等[10]提出了一種分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步的自適應(yīng)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)方法；孫寧等[11]提出使用新的分?jǐn)?shù)階滑模面的主動(dòng)控制法，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的投影同步.但目前文獻(xiàn)中對(duì)分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步研究較少.

本文在蔡氏系統(tǒng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，產(chǎn)生多渦卷混沌吸引子，從而有規(guī)律地提高了系統(tǒng)的復(fù)雜性，并將整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)推廣為分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)，通過(guò)線性反饋法對(duì)該分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步進(jìn)行了研究，但同步效果不是十分理想且同步時(shí)間較長(zhǎng).因此，提出了線性反饋滑模法，在僅加一項(xiàng)控制器的條件下，對(duì)該分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)進(jìn)行了同步研究.結(jié)果表明，線性反饋滑模法極大地縮短了同步時(shí)間.

1 分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)

在Chua系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加非線性項(xiàng)構(gòu)造單方向多渦卷混沌系統(tǒng)，其無(wú)量綱狀態(tài)方程為

(1)

其中α=15.2，β=18.9，ε=0.7為系統(tǒng)參數(shù)，即非線性函數(shù)為

(2)

圖1 非線性函數(shù)f(x1)圖像

當(dāng)λ=1，k=1，n=2時(shí)，非線性函數(shù)f(x1)的圖像如圖1所示.該非線性函數(shù)由斜率為∞的鍵波所隔開(kāi)的6個(gè)分段線性函數(shù)組成，相應(yīng)的線性函數(shù)區(qū)即為渦卷區(qū)，在該非線性函數(shù)的作用下可產(chǎn)生由鍵波運(yùn)動(dòng)所聯(lián)系的六渦卷運(yùn)動(dòng).經(jīng)分析可知，當(dāng)λ，k值一定時(shí)，改變參數(shù)n的數(shù)值即可產(chǎn)生2n+2個(gè)渦卷吸引子.

當(dāng)λ=1，k=1，n=2和n=3時(shí)仿真結(jié)果如圖2所示.

將整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)推廣到分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)，分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)的方程為：

其中f(x1)為非線性函數(shù)，即

(4)

其中α，β，ε，λ，k為系統(tǒng)參數(shù)，其取值與整數(shù)階系統(tǒng)中參數(shù)取值相同.選取系統(tǒng)的階次q1=q2=q3=0.98，取不同的n值可以得到2n+2個(gè)多渦卷混沌吸引子.

(a)n=2六渦卷混沌吸引子

(b)n=3八渦卷混沌吸引子

當(dāng)n=2時(shí)分?jǐn)?shù)階六渦卷混沌吸引子和當(dāng)n=3時(shí)分?jǐn)?shù)階八渦卷混沌吸引子如圖3所示.

(a)n=2六渦卷混沌吸引子

(b)n=3八渦卷混沌吸引子

由數(shù)值仿真結(jié)果可見(jiàn)，分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)可得到多渦卷混沌吸引子，拓寬了其在通信保密中的應(yīng)用.

2 線性反饋法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步

系統(tǒng)(3)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，響應(yīng)系統(tǒng)為：

其中u為控制器，通過(guò)選擇合適的控制器u可使初值不同的響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到同步.

誤差為

ei=yi-xi.

(6)

則誤差系統(tǒng)為：

(7)

設(shè)控制器為

u=-ke1.

(8)

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

(9)

(10)

根據(jù)混沌系統(tǒng)的有界性

(11)

其中

(12)

當(dāng)k>0時(shí)，則Q為正定的，響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到同步.

選取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初值為(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.1，0.1)，響應(yīng)系統(tǒng)的初值為(y1(0)，y2(0)，y3(0))=(0.8，0.5，0.6)，系統(tǒng)階數(shù)為q1=q2=q3=0.98，k=50，同步結(jié)果如圖4所示.

(a)e1隨時(shí)間t變化圖像

(b)e2隨時(shí)間t變化圖像

(c)e3隨時(shí)間t變化圖像

數(shù)值仿真結(jié)果表明，線性反饋法實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步，但同步效果不是十分理想，較長(zhǎng)時(shí)間之后才可使驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)達(dá)到同步.

3 線性反饋滑模法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步

線性反饋滑模控制器為

u=u1+u2.

(13)

其中u1為線性反饋控制器，u2為滑模控制器.線性反饋控制器為

u1=-ke1=-k(y1-x1).

(14)

選取分?jǐn)?shù)階滑模面為

s(e)=CDα-1e(t).

(15)

則

(16)

設(shè)滑?？刂坡蔀?/p>

(17)

其中p，r為增益，且p>0，r>0，sgn(s)為符號(hào)函數(shù)，即

(18)

u2=-C-1(psgn(s)+rs)+α(εf(y1)-εf(x1))-αe2.

(19)

線性反饋滑?？刂破鳛?/p>

u=u1+u2=-ke1-C-1(psgn(s)+rs)+α(εf(y1)-εf(x1))-αe2.

(20)

證明考慮如下的Lyapunov函數(shù)為

(21)

則

(22)

當(dāng)pmin>0，rmin>0時(shí)，系統(tǒng)的軌跡在控制律作用下達(dá)到滑模面，此時(shí)誤差系統(tǒng)為：

(23)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

(24)

(25)

其中

(26)

當(dāng)k>0時(shí)，則Q為正定的，響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到同步，根據(jù)混沌的有界性，在線性反饋滑?？刂破鞯淖饔孟买?qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)可以達(dá)到同步.

選取驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初值為(x1(0)，x2(0)，x3(0))=(0.9，0.1，0.1)，響應(yīng)系統(tǒng)的初值為(y1(0)，y2(0)，y3(0))=(0.8，0.5，0.6)，且k=50，p=0.2，r=26，數(shù)值仿真結(jié)果如圖5所示.

(a)e1隨時(shí)間t變化圖像

(b)e2隨時(shí)間t變化圖像

(c)e3隨時(shí)間t變化圖像

線性反饋滑模法較好地實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)同步，線性反饋滑模法與線性反饋法對(duì)比可知，在僅加一項(xiàng)控制器的條件下線性反饋滑模法縮短了2個(gè)系統(tǒng)的同步時(shí)間.

4 結(jié)論

本文在Chua氏系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造出整數(shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)，并將其轉(zhuǎn)變?yōu)榉謹(jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)，基于線性反饋法和滑模變結(jié)構(gòu)理論，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論和滑?？蛇_(dá)條件設(shè)計(jì)了一個(gè)線性反饋滑?？刂破?，在僅加一項(xiàng)控制器的條件下，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階多渦卷混沌系統(tǒng)的同步.數(shù)值仿真結(jié)果表明，線性反饋滑模法比線性反饋法的控制效果好，實(shí)現(xiàn)同步時(shí)間短，控制器相對(duì)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，應(yīng)用前景廣闊.

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(責(zé)任編輯：石紹慶)

Linearfeedbackslidingmodecontrollerforsynchronizationoffractionalmulti-scrollchaoticsystem

QI Ping，YU Hai Dong，LIU Shuang，YUE Li Juan

(School of Physics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China)

In this paper，the fractional chaotic system is extended from integer order chaotic system.We design a linear feedback sliding mode controller based on the theory of learning feedback control and the theory of sliding mode control.The synchronization of the fractional multi-scroll chaotic systems is achieved.The synchronization time of the fractional multi-scroll chaotic systems is shortened by linear feedback sliding mode control law.The result of numerical simulation shows the effectiveness of the proposed controller law.

fractional multi-scroll chaotic system；linear feedback；linear feedback synovial；chaos synchronization

1000-1832(2017)03-0083-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.018

2016-09-02

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10847110),吉林省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(201115008).

祁平(1986—)，女，碩士研究生；通信作者：岳麗娟(1963—)，女，博士，教授，主要從事非線性混沌控制與同步研究.

TP 271 [學(xué)科代碼] 120·20

A