吳自庫，陳建毅

(青島農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266109)

二維對(duì)流擴(kuò)散方程逆過程的最小二乘支持向量機(jī)求解

吳自庫，陳建毅

(青島農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266109)

利用最小二乘支持向量機(jī)方法求解了二維對(duì)流擴(kuò)散方程逆過程.相對(duì)于已有的反問題研究方法，本方法具有簡(jiǎn)單、實(shí)用、穩(wěn)定性好等諸多優(yōu)點(diǎn).數(shù)值結(jié)果表明最小二乘支持向量機(jī)方法可有效地求解二維對(duì)流擴(kuò)散方程逆過程，并且具有較高的精度和穩(wěn)定性.

二維對(duì)流擴(kuò)散方程；逆過程；最小二乘支持向量機(jī)；近似解

二維對(duì)流擴(kuò)散方程是一類具有廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)物理方程.它可以描述許多物理現(xiàn)象，例如污染物的擴(kuò)散、海水的鹽度、交通流等.近年來二維對(duì)流擴(kuò)散方程反問題成為研究熱點(diǎn)之一，研究較多的主要有逆過程反問題、源項(xiàng)反問題、模型參數(shù)估計(jì).[1-4]

現(xiàn)階段一些學(xué)者利用軟計(jì)算方法解微分方程及其相關(guān)問題，常用的方法有人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法(ANN)、最小二乘支持向量機(jī)方法(LS-SVM)等.其原理是利用基核函數(shù)逼近問題的解，將問題轉(zhuǎn)化為二次優(yōu)化問題.Lagaris等[5-6]利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法研究了常微分方程和偏微分方程.Baymani等[7]研究了Stokes方程的解.最近Mehrkanoon等[8-9]利用最小二乘支持向量機(jī)方法研究了常微分方程及其相關(guān)問題，取得了令人滿意的結(jié)果.吳自庫等[10-11]利用最小二乘支持向量機(jī)方法研究了一維熱傳導(dǎo)熱源反問題和一維對(duì)流擴(kuò)散過程逆過程反問題.本文利用最小二乘支持向量機(jī)方法研究二維對(duì)流擴(kuò)散過程逆過程反問題.

1 最小二乘支持向量機(jī)方法簡(jiǎn)介

(1)

這里K為基核函數(shù)，αi和b為回歸參數(shù).最小二乘支持向量機(jī)原理就是將估計(jì)回歸參數(shù)問題轉(zhuǎn)化為如下的二次規(guī)劃問題：

(2)

(3)

其中γ∈R+為懲罰因子，ei∈R為偏差項(xiàng)，αT=(α1，α2，…，αM)，eT=(e1，e2，…，eM).

問題(2)和(3)的拉格朗日函數(shù)為

(4)

這里ηi是拉格朗日乘子.依據(jù)最優(yōu)性條件(KKT條件)有

(5)

2 二維對(duì)流擴(kuò)散方程逆過程最小二乘支持向量機(jī)求解機(jī)制

考慮如下問題：

(6)

這里dx、dy、κ和c為模型參數(shù)，f1、f2、g1、g2和g為已知函數(shù).

取方程(6)如下形式的近似解：

(7)

B(x，y，t)=(1-t)(x-x2)(y-y2)；

(8)

A(x，y，t)=A1(x，y，t)+A2(x，y，t)，

(9)

A1(x，y，t)=(1-x)f1(y，t)+xf2(y，t)+(1-y)[g1(x，t)-(1-x)g1(0，t)-xg1(1，t)]+y[g2(x，t)-(1-x)g2(0，t)-xg2(1，t)]，

(10)

A2(x，y，t)=t[g(x，y)-A1(x，y，1)].

(11)

將(7)式代入(6)式得

(12)

其中：

F(V)=cB(V)+Bt(V)+dxBx(V)+dyBy(V)-κ(Bxx(V)+Byy(V))；

G(V)=cA(V)+At(V)+dxAx(V)+dyAy(V)-κ(Axx(V)+Ayy(V))-f(V)；

E(V，Vj)=E1(V，Vj)+E2(V，Vj)+E3(V，Vj)，

E1(V，Vj)=[Bt(V)+cB(V)+dxBx(V)+dyBy(V)-k(Bxx(V)+Byy(V))]K(V，Vj)，

E2(V，Vj)=B(V)(Kt(V，Vj)+dxKx(V，Vj)+dyKy(V，Vj))- 2κ(Bx(V)Kx(V，Vj)+By(V)Ky(V，Vj))，

E3(V，Vj)=-κB(V)(Kxx(V，Vj)+Kyy(V，Vj)).

為了求得回歸參數(shù)，依據(jù)LS-SVM原理將參數(shù)回歸問題轉(zhuǎn)化為如下二次規(guī)劃問題：

(13)

(14)

其中(13)式為目標(biāo)函數(shù)，(14)式為約束條件，γ∈R+為正則化參數(shù)，ei是偏差項(xiàng).上述優(yōu)化問題的拉格朗日函數(shù)為

(15)

依據(jù)最優(yōu)性條件(KKT)有

(16)

消去偏差項(xiàng)ei得到如下回歸方程：

(17)

3 參數(shù)調(diào)節(jié)機(jī)制及穩(wěn)定性分析

(18)

(19)

(20)

故可以將‖Lu(V)‖∞作為衡量該方法解的穩(wěn)定性和精度的指標(biāo).由于Lu(V)為一致連續(xù)可微函數(shù)，且在邊界上為零，因而‖Lu(V)‖∞在內(nèi)部取得.不妨令

‖Lu(V)‖∞=|Lu(x*，y*，t*)|，(x*，y*，t*)∈(0，1)3，

(21)

令距離(x*，y*，t*)最近的樣本點(diǎn)為V*=(xI，yI，tI)，于是有

‖Lu(V)‖∞=|Lu(x*，y*，t*)-Lu(V*)+Lu(V*)|≤ |Lu(x*，y*，t*)-Lu(V*)|+|Lu(V*)|≤(Mx+My)h+Mtτ+‖e‖∞.

(22)

這里Mx=‖Lux(V)‖∞，My=‖Luy(V)‖∞，Mt=‖Lut(V)‖∞.由(22)式可知本算法是收斂且穩(wěn)定的.

4 數(shù)值例子

以兩個(gè)典型的例子驗(yàn)證利用最小二乘支持向量機(jī)方法求解二維對(duì)流擴(kuò)散方程逆過程反問題的有效性.在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中令步長(zhǎng)h=0.1，樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)M=729.

(23)

u(x，y，t)=e-tsin(πx)sin(πy).

(24)

反演的初始條件為

w(x，y)=u(x，y，0)=sin(πx)sin(πy).

(25)

(26)

這里f(x，y，t)=e-t[21(x+y-x2-y2)+2xy(x+y)]，c=1，dx=dy=1，κ=10.其解析解為

u(x，y，t)=e-t(x-x2)(y-y2).

(27)

反演的初始條件為

w(x，y)=u(x，y，0)=(x-x2)(y-y2).

(28)

數(shù)值實(shí)驗(yàn)中參數(shù)σ的優(yōu)化值及反演結(jié)果誤差見表1.圖1為例1的初始條件反演結(jié)果，左圖為反演的u(x，y，0)曲面，右圖為u(x，y，0)的解析解與近似解的誤差曲面.圖2為例2的相應(yīng)結(jié)果.數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明最小二乘支持向量機(jī)方法能較好地求解二維對(duì)流擴(kuò)散方程逆過程，而且本方法將問題最終轉(zhuǎn)換為僅含一個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)的線性方程組，可操作性強(qiáng)，避免了繁瑣的積分、微分運(yùn)算.

表1 LS-SVM數(shù)值仿真結(jié)果

圖1例1初始條件u(x，y，0)數(shù)值反演結(jié)果

圖2 例2初始條件u(x，y，0)數(shù)值反演結(jié)果

5 結(jié)論

本文利用LS-SVM法研究了二維對(duì)流擴(kuò)散方程逆過程反問題，推導(dǎo)了反演初始條件的公式，給出了初始條件的半解析解表達(dá)式.同其他方法相比，這種方法具有理論完備、處理邊界條件靈活、拋開了繁瑣的微分運(yùn)算等優(yōu)點(diǎn).數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示該方法能成功地反演出二維對(duì)流擴(kuò)散方程逆過程的初始條件，并具有較高的精度和較好的穩(wěn)定性.該方法完全可以應(yīng)用于更復(fù)雜的偏微分方程反問題的研究中.其求解偏微分方程反問題的機(jī)制就是將原問題轉(zhuǎn)換為含有1個(gè)調(diào)節(jié)參數(shù)的線性方程組，利用基核函數(shù)一致逼近問題的解.此外，這里采用的LS-SVM法更為簡(jiǎn)潔實(shí)用，不需要考慮對(duì)偶形式.然而，由于本問題的核心是估計(jì)近似解的回歸參數(shù)α和b，因而對(duì)于非線性偏微分方程反問題理論上可行，但實(shí)際操作難度大，這也是本文選擇線性偏微分方程反問題的主要原因.

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(責(zé)任編輯：李亞軍)

2-Dconvection-diffusionequationinverseprocessbasedonleastsquaresupportvectormachinesmethod

WU Zi-ku，CHEN Jian-yi

(Science and Information College，Qingdao Agricultural University，Qingdao 266109，China)

Least square support vector machines method is used to solve 2-Dconvection-diffusion equation inverse process.The method used here has many advantages compared with the other methods，such as simple，practical and good stability.This method has been successfully tested on practical examples and has yielded higher accuracy and stability.

2-Dconvection-diffusion equation；inverse process；least square support vector machines；approximate solution

1000-1832(2017)03-0047-05

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.011

2016-01-14

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61403233)；山東省教育廳科技計(jì)劃項(xiàng)目(J09LA12).

吳自庫(1968—)，男，博士，教授，主要從事偏微分方程反問題研究.

O 242 [學(xué)科代碼] 110·47

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