楊雙羚，周 冉

(1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024； 2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

一類病毒反應(yīng)系統(tǒng)的亞純可積性

楊雙羚1，周 冉2

(1.東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130024； 2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012)

基于微分Galois理論以及動(dòng)力系統(tǒng)可積性理論，采用理論分析方式，在已有文獻(xiàn)研究基礎(chǔ)上，討論了一類病毒反應(yīng)系統(tǒng)的亞純可積性，證明了該系統(tǒng)不存在兩個(gè)函數(shù)獨(dú)立的亞純首次積分，并給出了亞純不可積性的充分條件.

微分Galois理論；Kovacic算法；首次積分；可積性

考慮病毒反應(yīng)模型[1]

(1)

其中：x，y，z分別表示健康細(xì)胞濃度、感染細(xì)胞濃度以及病毒濃度；λ，β，a，k，u是具有生物學(xué)意義的正參數(shù).該模型由Nowak提出，作為刻畫病毒動(dòng)力系統(tǒng)相互作用的重要模型而被廣泛研究.[2-4]到目前為止，關(guān)于該模型可積性的研究很少，文獻(xiàn)[5]利用擬齊次多項(xiàng)式理論研究了該模型的多項(xiàng)式首次積分.

本文主要考慮系統(tǒng)(1)亞純首次積分的存在性與唯一性.

1 預(yù)備知識(shí)

下面主要介紹微分Galois理論[6]的相關(guān)定義與結(jié)論.考慮復(fù)全純向量場(chǎng)

(2)

其中t∈C是復(fù)時(shí)間，M是n維解析流形.如果非常值函數(shù)Φ(x)：U→C沿著系統(tǒng)的任意解都是常數(shù)，則稱函數(shù)Φ(x)是系統(tǒng)(2)的首次積分，其中U是M中的開集.如果向量場(chǎng)(1)有兩個(gè)(一個(gè)或者沒有)線性無關(guān)的首次積分，則相應(yīng)稱向量場(chǎng)(1)完全可積(部分可積或者不可積).假設(shè)系統(tǒng)(1)有非平凡解φ(t)，記Γ={φ(t)}是對(duì)應(yīng)的相曲線，則系統(tǒng)(1)沿Γ的變分方程是

(3)

其中TΓM是TM限制在Γ上的向量叢.

記法叢F=TΓM/TM，相應(yīng)的自然投影π：M→F，則變分方程(1)可以降低維數(shù)，約化成法向變分方程

(4)

注意到方程(3)是線性微分方程，因此考慮相應(yīng)的微分Galois群G以及單位聯(lián)通分支G0.[6]

下面結(jié)果解釋了系統(tǒng)(3)亞純首次積分的存在性與單位聯(lián)通分支G0之間的關(guān)系.

引理1[7]假設(shè)系統(tǒng)(3)在Γ某鄰域上有m個(gè)函數(shù)獨(dú)立的亞純首次積分，則：

(1) 如果m=n-1，那么G0={1}；

(2) 如果m=n-2，那么G0是交換群；

(3) 如果m=n-3，那么G0是可解群.

一般地，計(jì)算給定線性微分方程組的微分Galois群G以及單位聯(lián)通分支G0是十分困難的，但對(duì)于二階線性微分方程，文獻(xiàn)[7]給出了完整的算法.考慮二階微分方程

ξ″=rξ，r∈C(x).

(5)

引理2[8]方程(5)的微分Galois群G必為如下四種情形之一：

(Ⅰ)G可約，即共軛于某個(gè)上三角矩陣群；

(Ⅱ)G共軛于代數(shù)群的某個(gè)子群

且情形(1)不成立；

(Ⅲ)G是有限群，且情形(1)和情形(2)不成立；

(Ⅳ)G=SL(C，2).

引理3[8]引理2前三種情形成立的必要條件分別是：

(1)r(x)的每個(gè)極點(diǎn)要么階數(shù)是偶數(shù)，要么階數(shù)是1；r(x)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞的階數(shù)要么是偶數(shù)，要么大于2.

(2)r(x)至少有一個(gè)極點(diǎn)的階數(shù)是2或者大于2的奇數(shù).

(3)r(x)的每個(gè)極點(diǎn)階數(shù)不超過2，r(x)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞的階數(shù)至少為2；如果r(x)可分式展開為

則

下面介紹如何用Kovacic算法判定引理2中情形(Ⅱ)是否發(fā)生.完整的算法可以參見文獻(xiàn)[9]附錄部分.情形(Ⅱ)的Kovacic算法如下：

步驟3 對(duì)于步驟二中成立的情形，尋找一個(gè)次數(shù)為d的首一多項(xiàng)式P滿足

P?+3θP″+(3θ2+3θ′-4r)P′+(θ2+3θθ′+θ3-4rθ-2r′)P=0.

如果存在滿足上述條件的多項(xiàng)式，則情形(Ⅱ)成立.如果對(duì)步驟二成立的每種情形，都不存在這樣的多項(xiàng)式，則情形(Ⅱ)不成立.

2 主要結(jié)論

相應(yīng)的法向變分方程組(NVE)為

易知上述方程組等價(jià)于二階方程

(6)

(7)

由亞純聯(lián)絡(luò)[8]，方程(7)的微分Galois群同構(gòu)于方程(6)的微分Galois群，故只需研究方程(7)的微分Galois群.注意到方程(8)的奇點(diǎn)是0和∞，即ρ={0，∞}，其中0的階數(shù)是2，∞的階數(shù)是1.由引理3，只有情形(Ⅱ)或情形(Ⅳ)可能成立，情形(Ⅲ)不成立.又因?yàn)槎A有限Galois群的單位連通分支G0={1}，故系統(tǒng)(7)不是完全可積的，即不存在兩個(gè)線性無關(guān)的亞純首次積分，進(jìn)而考慮系統(tǒng)(7)亞純首次積分的存在性.若系統(tǒng)存在一個(gè)首次積分，則情形(Ⅱ)成立.下面利用k-算法：

步驟2 容易知道

步驟3 經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，有

設(shè)多項(xiàng)式P(τ)=b0+b1z+…+baτa，代入得

對(duì)比同次冪系數(shù)，易知滿足上述條件的多項(xiàng)式總是存在.

綜上可得：

[1] MAY R M，NOWAK M A.Virus dynamics：mathematical principles of immunology and virology[M].New York：Oxford University Press，2000：63-117.

[2] SMITH H L，DE LEENHEER P.Virus dynamics：a global analysis[J].SIAM J Appl Math，2003，63(4)：1313-1327.

[3] PERELSON A S，NELSON P W.Mathematical analysis of HIV-1 dynamics in vivo[J].SIAM Review，1999，41(1)：3-44.

[4] MIN L，SU Y，KUANG Y.Mathematical analysis of a basic virus infection model with application to HBV infection[J].Journal of Mathematics，2008，38(5)：268-288

[5] VALLS C.Invariant algebraic surfaces for a virus dynamics[J].Z Angew Math Phys，2015，66(4)：1315-1328.

[6] KATZ N M.On the calculation of some differential Galois groups[J].Inventiones Mathematicae，1987，87(1)：13-61.

[7] LI W，SHI S.Galoisian obstruction to the integrability of general dynamical systems[J].J Differential Equations，2012，252(10)：5518-5534.

[8] MORALES-RUIZ J J.Differential Galois theory and non-integrability of Hamiltonian systems[M].Boston：Birkhauser，1999：11-26.

[9] SHI S，LI W.Non-integrability of generalized Yang-Mills Hamiltonian system[J].Discrete Contin Dyn Systems A，2013，33(4)：1645-1655.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

Onmeromorphicintegrabilityofavirusdynamics

YANG Shuang-ling1，ZHOU Ran2

(1.School of Mathematics and Statistics，Northeast Normal University，Changchun 130024，China； 2.College of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China)

Based on the differential Galois theory，the meromorphic integrability of a virus dynamics is proved by using the so-called Picard-Vessiot theory and Kovacic’s algorithm.A sufficient condition for the non-existence of meromorphic first integrals of this system is presented.

differential Galois theory；Kovacic’s algorithm；first integral；integrability

1000-1832(2017)03-0018-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2017.03.005

2016-03-09

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11501242).

楊雙羚(1991—)，女，碩士，主要從事概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)分析研究.

O 175.8 [學(xué)科代碼] 110·67

A